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Brüche subtrahieren – Überblick

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Team Digital
Brüche subtrahieren – Überblick
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche subtrahieren – Überblick

Die Subtraktion von Brüchen

Brüche begegnen uns überall: Bei Einbrüchen, Wolkenbrüchen oder Beinbrüchen zum Beispiel. Wenn wir von der Subtraktion von Brüchen sprechen, meinen wir natürlich mathematische Brüche, also Bruchzahlen. Aber wie geht das überhaupt, Brüche subtrahieren? Das schauen wir uns im Folgenden an.

Gleichnamige Brüche subtrahieren

Wusstest du, dass die Erde ungefähr zu zwei Dritteln mit Wasser bedeckt ist? Wenn wir mithilfe dieser Tatsache berechnen wollen, welcher Anteil der Erde Land ist, müssen wir Brüche subtrahieren. Genauer gesagt müssen wir von einem Ganzen, also drei Dritteln, zwei Drittel abziehen. Als Aufgabe geschrieben sieht das so aus:

$\dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{3} = ~?$

Diese Brüche sind gleichnamig. Das bedeutet, dass sie den gleichen Nenner haben.

Bei gleichnamigen Brüchen rechen wir bei der Subtraktion Zähler minus Zähler und können den Nenner beibehalten.

Wir rechnen:
$\quad \dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3-2}{3} = \dfrac{1}{3}$

Bildlich kannst du dir das folgendermaßen veranschaulichen:
Gleichnamige Brüche subtrahieren Erklärung

Wenn wir von einem ganzen Kreis zwei Drittel entfernen, dann bleibt genau ein Drittel übrig. Die Landmasse macht also ein Drittel der gesamten Erdoberfläche aus.

Ungleichnamige Brüche subtrahieren

Betrachten wir ein Beispiel, in dem wir ungleichnamige Brüche subtrahieren müssen. Ungleichnamig bedeutet, dass die Brüche unterschiedliche Nenner haben.
Das könnte zum Beispiel der Fall sein, wenn von einer Pizza noch drei Viertel übrig sind und dann eine halbe Pizza gegessen wird. Als Aufgabe geschrieben sieht das so aus:

$\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = ~? $

Bei ungleichnamigen Brüchen dürfen wir nicht einfach Zähler und Zähler subtrahieren. Wir müssen die Brüche vorher gleichnamig machen, also auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Den gemeinsamen Nenner nennt man auch Hauptnenner. Als gemeinsamen Nenner wählen wir am einfachsten das kleinste gemeinsame Vielfache der unterschiedlichen Nenner. In unserem Beispiel ist das die $4$. Wir erweitern den zweiten Bruch mit zwei, um auf den Hauptnenner zu kommen. Im Anschluss können wir wieder Zähler minus Zähler rechnen:

$\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4} $

Es bleibt also ein Viertel übrig, wie du auch aus der bildlichen Darstellung der Rechnung ablesen kannst.

Ungleichnamige Brüche subtrahieren Erklärung

Gemischte Brüche subtrahieren

Wie müssen wir vorgehen, wenn wir eine ganze Pizza und ein Drittel einer Pizza haben und ein Viertel einer Pizza essen? Die entsprechende Rechenaufgabe sieht so aus:

$1\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} =~ ? $

Der Term $1\frac{1}{3}$ ist ein gemischter Bruch. Er besteht aus einem Ganzen und einem Drittel. Bevor wir diese Aufgabe berechnen können, müssen wir den gemischten Bruch in einen Bruch umwandeln:

$1\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{3} +\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = ?$

Jetzt haben wir wieder zwei ungleichnamige Brüche, die wir zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen müssen. Bei Dritteln und Vierteln sehen wir nicht direkt, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist. Wenn wir vier mit zwei multiplizieren, ist das Ergebnis acht. Das ist nicht durch drei teilbar, also auch nicht das kleinste gemeinsame Vielfache. Stattdessen können wir vier mit drei multiplizieren. Da drei und vier die Nenner der beiden verschiedenen Brüche sind, können wir in jedem Fall das Produkt als gemeinsamen Nenner verwenden. Wir müssen also den Bruch $\frac{4}{3} $ mit vier erweitern und den Bruch $\frac{1}{4} $ mit drei. Im Anschluss subtrahieren wir wieder die Zähler und behalten den Nenner bei:

$\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4 } - \dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{16}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}$

Das Ergebnis sind also dreizehn Zwölftel bzw. ein Ganzes und ein Zwölftel, also etwas mehr als eine ganze Pizza.

Brüche subtrahieren – Zusammenfassung

Wir wollen noch einmal alle wichtigen Schritte für das Subtrahieren von Brüchen in einer Tabelle zusammenfassen:

Gleichnamige Brüche Ungleichnamige Brüche Gemischte Brüche
$\dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ $1\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12}$
Zähler subtrahieren und Nenner beibehalten Brüche gleichnamig machen $ ~~ \rightarrow ~~ $ Zähler subtrahieren und Nenner beibehalten gemischten Bruch umwandeln $ ~~ \rightarrow ~~ $ Brüche gleichnamig machen $ ~~ \rightarrow ~~ $ Zähler subtrahieren und Nenner beibehalten

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche subtrahieren

Wie subtrahiert man Brüche?
Wie subtrahiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?
Wie subtrahiert man negative Brüche?
Was sind Brüche?
Wie bringe ich zwei Brüche auf den gleichen Nenner?
Welche Regeln gibt es beim subtrahieren von Brüchen?
Wie kann man Brüche beim Subtrahieren kürzen?

Transkript Brüche subtrahieren – Überblick

Brüche. Sie begegnen uns überall. Aber um solche Brüche geht es hier natürlich nicht. In diesem Video wollen wir Brüche subtrahieren. Das ist die Erde. Wusstest du, dass ihre Oberfläche ungefähr zu zwei Dritteln mit Wasser bedeckt ist? Und wenn wir von den drei Dritteln der Oberfläche der Erde die zwei Drittel Wasser abziehen, bleibt ein Drittel Land übrig. Wir mussten also nur drei minus zwei rechnen - das war ja gar nicht so schwer! Weil alle Brüche den gleichen Nenner 3 haben, sind sie gleichnamige Brüche. Gleichnamige Brüche subtrahieren wir, indem wir die Zähler subtrahieren und die Nenner beibehalten - also gleich lassen. Und wie subtrahieren wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern? Rechnen wir einfach 3 minus 1und 4 minus 2 also ist das Ergebnis 2 Halbe. Moment mal! Das kann doch gar nicht stimmen! Teilen wir das Halbe zunächst in 2 Viertel auf, indem wir den Bruch mit 2 erweitern. Also ziehen wir von 3 Vierteln 2 Viertel ab und übrig bleibt 1 Viertel. Wenn wir die Brüche erst auf den gleichen Nenner bringen, müssen wir nur im Zähler subtrahieren, der Nenner bleibt gleich! Sobald Brüche gleichnamig sind, kann man leichter mit ihnen rechnen. Um ungleichnamige Brüche zu subtrahieren, musst du sie also immer zuerst auf den gleichen Nenner bringen - den nennt man auch Hauptnenner. Und was passiert, wenn einer der Brüche größer ist als 1? Ein ein Drittel ist ein gemischter Bruch - er besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Man nennt das auch gemischte Zahl. Zuerst wandeln wir ihn um, indem wir das Ganze in 3 Drittel zerlegen. Zusammen erhalten wir dann 4 Drittel. Weil der Zähler größer ist als der Nenner, nennt man 4 Drittel einen unechten Bruch. Und wie ziehen wir davon ein Viertel ab? Die beiden Brüche sind ungleichnamig! Erstmal müssen wir sie auf den gleichen Nenner bringen. Bei Dritteln und Vierteln ist das gar nicht so offensichtlich. Aber das hier funktioniert immer: Du erweiterst jeden Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches.Damit erhältst du 16 Zwölftel und 3 Zwölftel. Dann subtrahieren wir die Zähler und lassen die Nenner gleich. Und das Ergebnis lautet 13 Zwölftel. Geschafft! Also, Brüche subtrahieren auf einen Blick: Sind die Brüche gleichnamig, musst du nur die Zähler subtrahieren - der Nenner bleibt gleich. Wenn sie ungleichnamig sind, machst du sie zuerst gleichnamig, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst - und dann subtrahierst du die Zähler, der Nenner bleibt gleich. Bei Subtraktionen mit gemischten Brüchen, wandelst du die gemischten Brüche in unechte Brüche um, bringst die Brüche auf den Hauptnenner - und subtrahierst die Zähler, der Nenner bleibt gleich. Also merk dir: Wenn du einen gemeinsamen Nenner findest kannst du alle Differenzen lösen! Naja, fast alle.

85 Kommentare
85 Kommentare
  1. Coool

    Von Puni 123, vor 19 Tagen
  2. Hallo, ich finde das Video sehr gelungen es ist sehr hilfreich ich habe habe das Thema verstanden

    Von Lilly-Emilia, vor 2 Monaten
  3. ❤💘💞💕💖💔💔💔💝💝💝💖💖hihi

    Von Nils, vor 2 Monaten
  4. gutes video aber falches themer für mich bruder keine ahnung

    Von Mattis, vor 6 Monaten
  5. Das Video hat mir sehr geholfen und ich fühle mich jetzt sehr fit für die Arbeit. ich werde euch weiter empfehlen!

    Von Anni, vor 7 Monaten
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Brüche subtrahieren – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche subtrahieren – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du bei der Subtraktion zweier Brüche vorgehst.

    Tipps

    Hier ist die Aufgabe $\frac 34-\frac 12$ graphisch dargestellt. Subtrahiert man nun je Zähler und Nenner voneinander, so folgt $\frac 22$. Diese Lösung ist nicht korrekt.

    Die richtige Lösung kann der Abbildung entnommen werden.

    Diese ist $\frac 14$.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $ \frac 13 -\frac 16 =\frac 26 -\frac 16 = \frac 16. $

    Einen gemischten Bruch kannst du in einen unechten Bruch umwandeln.

    Lösung

    Wir möchten das Vorgehen bei der Subtraktion zweier Brüche betrachten. Hierbei unterscheiden wir zwischen drei Fällen:

    • Die Brüche sind gleichnamig.
    • Die Brüche sind ungleichnamig.
    • Es handelt sich um mindestens einen gemischten Bruch.
    Wir beginnen zunächst mit dem einfachsten Fall, nämlich dass beide Brüche bereits gleichnamig sind:

    Gleichnamige Brüche subtrahieren
    Dieser Vorgang besteht aus einem einzigen Schritt:

    • Man subtrahiert die Zähler, während der Nenner beibehalten wird.

    Ungleichnamige Brüche subtrahieren
    Hier müssen wir bereits zwei Schritte durchführen:

    1. Man macht die Brüche gleichnamig. Das heißt, man erweitert sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner.
    2. Anschließend subtrahiert man die Zähler, während der Nenner beibehalten wird.

    Gemischte Brüche subtrahieren
    Diese Subtraktion ist in drei Schritten erledigt:

    1. Man wandelt den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um.
    2. Dann macht man die Brüche gleichnamig.
    3. Anschließend subtrahiert man die Zähler, während der Nenner beibehalten wird.

  • Berechne die Differenzen der Brüche.

    Tipps

    Rechne den gemischten Bruch zunächst in einen unechten Bruch um.

    Du musst vor der Subtraktion beide Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner erweitern. Man darf nämlich nur gleichnamige Brüche subtrahieren.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $1\frac 14-\frac 12=\frac 54-\frac 24=\frac 34$

    Lösung

    Lass uns die gegebenen Subtraktionsaufgaben gemeinsam lösen. Doch vorher schauen wir uns das allgemeine Vorgehen bei der Subtraktion zweier Brüche an:

    1. Handelt es sich bei einem Bruch um einen gemischten Bruch, so wandle diesen in einen unechten Bruch um.
    2. Handelt es sich bei den Brüchen um ungleichnamige Brüche, so mache diese gleichnamig.
    3. Handelt es sich bei den Brüchen um gleichnamige Brüche, so subtrahiere die Zähler. Den Nenner musst du beibehalten.
    Gleichnamige Brüche
    Wir subtrahieren die Zähler. Die Nenner bleiben unverändert:

    $\bullet ~~\dfrac 33-\dfrac 23=\dfrac{3-2}{3}=\dfrac 13$

    $\bullet ~~\dfrac 35-\dfrac 15=\dfrac{3-1}{5}=\dfrac 25$

    Ungleichnamige Brüche
    Wir erweitern die Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

    $\bullet ~~\dfrac 34-\dfrac 12=\dfrac 34-\dfrac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\dfrac 34-\dfrac 24=\dfrac{3-2}{4}=\dfrac 14$

    Gemischte Brüche
    Wir wandeln den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um und machen sie dann gleichnamig:

    $\bullet ~~1\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac 43-\dfrac 14=\dfrac {4\cdot 4}{3\cdot 4}-\dfrac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac {16}{12}-\dfrac {3}{12}=\dfrac{16-3}{12}=\dfrac {13}{12}$

  • Ermittle die Subtraktionsaufgaben zu den gegebenen Differenzen.

    Tipps

    Wandle die gemischten Brüche zunächst in unechte Brüche um.

    Schaue dir hierzu das folgende Beispiel an:

    $1\dfrac 57=\dfrac 77+\dfrac 57=\dfrac{12}{7}$

    Beachte beim Subtrahieren, dass die Brüche gleichnamig sind, also einen gemeinsamen Hauptnenner haben.

    Schaue dir dieses komplette Beispiel an:

    $1\dfrac 57 - 1\dfrac 37=\dfrac{12}{7} - \dfrac{10}{7} = \dfrac{2}{7}$

    Lösung

    Lass uns die gegebenen Subtraktionsaufgaben gemeinsam lösen. Dabei gehen wir wie folgt vor:

    • Falls ein gemischter Bruch vorliegt, wandeln wir diesen zunächst in einen unechten Bruch um.
    • Falls die Brüche ungleichnamig sind, erweitern wir diese auf einen gemeinsamen Hauptnenner. Wir machen sie also gleichnamig.
    • Dann subtrahieren wir diese, indem wir die Zähler subtrahieren und die Nenner beibehalten.
    Nun können wir loslegen:

    Differenz $\dfrac 38$

    $1\dfrac 12-1\dfrac 18=\dfrac 32-\dfrac 98=\dfrac{3\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac 98=\dfrac{12}{8}-\dfrac 98=\dfrac{12-9}{8}=\dfrac 38$

    $\dfrac 58-\dfrac 28=\dfrac {5-2}8=\dfrac 38$

    $\dfrac 78-\dfrac 12=\dfrac 78-\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\dfrac 78-\dfrac 48=\dfrac{7-4}8=\dfrac 38$

    Differenz $\dfrac 78$

    $1\dfrac 18-\dfrac 14=\dfrac 98-\dfrac {1\cdot 2}{4\cdot 2}=\dfrac 98-\dfrac 28=\dfrac 78$

    $1\dfrac 12-\dfrac 58=\dfrac 32-\dfrac 58=\dfrac{3\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac 58=\dfrac{12}{8}-\dfrac 58=\dfrac{12-5}8=\dfrac 78$

    Differenz $\dfrac 18$

    $1\dfrac 12-1\dfrac 38=\dfrac 32-\dfrac {11}8=\dfrac{3\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac {11}8=\dfrac{12}{8}-\dfrac {11}8=\dfrac{12-11}8=\dfrac 18$

  • Bestimme die gesuchte Subtraktionsaufgabe und deren Lösung.

    Tipps

    Beachte, dass du von der größten Zahl die kleineren Zahlen subtrahierst.

    Mache die Brüche gleichnamig. Wandle hierzu gemischte Brüche zunächst in unechte Brüche um.

    Lösung

    Wir ziehen von der Gesamtanzahl der Flaschen den Anteil ab, welchen die beiden Jungs bereits getrunken haben. So erhalten wir folgende Subtraktionsaufgabe:

    $4-\dfrac 13-1\dfrac 35$

    Nun wandeln wir den gemischten Bruch zunächst in einen unechten Bruch um:

    $4-\dfrac 13-\dfrac 85$

    Jetzt machen wir Minuend und Subtrahend gleichnamig. Der gemeinsame Nenner ist hierbei die $15$. Alle Brüche werden also auf den Nenner $15$ erweitert:

    $\dfrac{60}{15}-\dfrac{5}{15}-\dfrac{24}{15}$

    Danach können wir die Zähler subtrahieren. Der Nenner wird beibehalten:

    $\dfrac{60-5-24}{15}=\dfrac{31}{15}=2\dfrac 1{15}$

    Nach der Busfahrt hat Mario also noch $2\dfrac 1{15}$ Flaschen Wasser.

  • Gib die Bezeichnungen für die Brucharten an.

    Tipps

    Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner.

    Ein gemischter Bruch setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch zusammen.

    Lösung

    Bevor wir den gegebenen Brüchen die jeweilige Bruchart zuordnen, definieren wir diese zunächst:

    • Bei einem echten Bruch ist der Zähler stets kleiner als der Nenner.
    • Bei einem unechten Bruch ist der Zähler stets größer als der Nenner.
    • Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellungsweise des unechten Bruchs. Dabei wird der unechte Bruch in eine ganze Zahl und einen echten Bruch aufgeteilt.
    • Gleichnamige Brüche sind Brüche mit dem gleichen Nenner.
    • Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern.
    Nun können wir die gegebenen Brüche betrachten:

    $\begin{array}{lll} \dfrac 12 \text{ und } \dfrac 15 & \quad\rightarrow\quad & \text{ungleichnamige echte Br}\ddot{\text{u}}\text{che} \\ \\ \dfrac 42 \text{ und } \dfrac 75 & \quad\rightarrow\quad & \text{unechte Br}\ddot{\text{u}}\text{che} \\ \\ \dfrac 17 \text{ und } \dfrac 57 & \quad\rightarrow\quad & \text{gleichnamige echte Br}\ddot{\text{u}}\text{che}\\ \\ 1\dfrac 12 \text{ und } 3\dfrac 13 & \quad\rightarrow\quad & \text{gemischte Br}\ddot{\text{u}}\text{che} \end{array}$

  • Ermittle die Lösung der gegebenen Subtraktionsaufgabe als unechten Bruch.

    Tipps

    Wandle zuerst alle gemischten Brüche in unechte Brüche um.
    Suche dann den gemeinsamen Hauptnenner aller vier Brüche.

    Du musst die Brüche gleichnamig machen. Der Hauptnenner ist $24$.

    Lösung

    Gegeben ist eine lange Subtraktionsaufgabe, welche Brüche in unterschiedlicher Form enthält. Beim Lösen dieser Aufgabe wandeln wir zunächst die gemischten Brüche in unechte Brüche um. Wir erhalten dann:

    $5\dfrac 23-2\dfrac 18-\dfrac 56-1\dfrac 14=\dfrac{17}3-\dfrac{17}8-\dfrac 56-\dfrac 54$

    Jetzt machen wir alle Brüche gleichnamig. Der gemeinsame Nenner ist hierbei $24$. Alle Brüche werden also auf den Nenner $24$ erweitert:

    $\dfrac{17\cdot 8}{3\cdot 8}-\dfrac{17\cdot 3}{8\cdot 3}-\dfrac {5\cdot 4}{6\cdot 4}-\dfrac {5\cdot 6}{4\cdot 6}=\dfrac{136}{24}-\dfrac{51}{24}-\dfrac {20}{24}-\dfrac {30}{24}$

    Nun können wir die Zähler subtrahieren. Der Nenner wird beibehalten:

    $\dfrac{136-51-20-30}{24}=\dfrac{35}{24}$