Brüche durcheinander dividieren

Brüche durcheinander dividieren Übung

• Berechne das Ergebnis der Division zweier Brüche.

  Tipps

  Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du die Zahl als Bruch. Dazu teilst du durch $1$ und erweiterst so lange, bis du eine ganze Zahl im Nenner erhält.

  Beispiel:

  $\begin{array}{llll} 3,\!5 &=&\dfrac{3,\!5 \cdot 2}{1 \cdot 2} \\ \\ &=& \dfrac{7}{2} \end{array}$

  Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, musst du Nenner und Zähler vertauschen.

  Lösung

  Die Rechnung verläuft wie folgt:

  • Beide Zahlen müssen als Bruch vorliegen. Dazu wandelt er $7,\!5$ zuerst um:

  $7,\!5=\dfrac{15}{2}$

  Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibt er die Zahl als Bruch. Dazu teilt er durch $1$, teilt und erweitert so lange, bis er eine ganze Zahl im Nenner erhält. Hier ergibt sich:

  $\begin{array}{llll} 7,\!5 &=&\dfrac{7,\!5 \cdot 2}{1 \cdot 2} \\ \\ &=& \dfrac{15}{2} \end{array}$

  • Dann stellt er die Rechnung auf:

  $\dfrac{15}{2} :\dfrac{1}{4}$

  • Um das zu berechnen, muss er den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und ihn mit dem ersten Bruch multiplizieren:

  $=\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{4}{1}$

  Um den Kehrwert zu bilden, vertauscht er Nenner und Zähler.

  • Für die Multiplikation schreibt er die Rechnung als einen Bruch:

  $=\dfrac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

  • Nun rechnet Viktor aus:

  $=\dfrac{60}{2 }$

  • Zuletzt kürzt und vereinfacht er:

  $=30$

• Beschreibe das Vorgehen bei der Division zweier Brüche.

  Tipps

  Für die Multiplikation von Brüchen gibt es die Merkregel: Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler.

  Um Brüche zu dividieren, musst du den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und die Brüche multiplizieren. Das kann wie folgt geschrieben werden:

  $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

  Lösung

  Die Rechnung wird wie folgt durchgeführt:

  • Zuerst schreibt er die Rechnung auf:

  $\dfrac{15}{2}: \dfrac{1}{4}$

  • Dann schreibt er die Rechnung um:

  $=\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{4}{1}$

  Um Brüche zu dividieren, musst du den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und die Brüche multiplizieren.

  • Er bringt sie auf einen Bruchstrich:

  $=\dfrac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

  Um Brüche zu multiplizieren ist es hilfreich, sie zuerst auf einen Bruchstrich zu schreiben.

  • Danach berechnet Viktor die Multiplikationen:

  $=\dfrac{60}{2}$

  • Er kürzt:

  $=\dfrac{30}{1}$

  • Zum Schluss vereinfacht er:

  $=30$

• Bestimme das Ergebnis der Divisionen zweier Brüche.

  Tipps

  Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, vertauschst du Zähler und Nenner.

  Gehe die drei Divisionsrechnungen jeweils Schritt für Schritt auf Papier durch und überprüfe, welche Zwischenschritte du hier wiederfindest.

  Lösung

  Die erste Rechnung wird so durchgeführt:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{3}{2} : \dfrac{6}{8} &=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{8}{6} \\ \\ &=&\dfrac{3 \cdot 8}{2 \cdot 6}\\ \\ &=&\dfrac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2}\\ \\ &=&\dfrac{4}{2 }\\ \\ &=&2 \end{array}$

  Die zweite Division geht wie folgt:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{4}{5} : \dfrac{10}{8} &=&\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{8}{10} \\ \\ &=&\dfrac{4 \cdot 8}{5 \cdot 10}\\ \\ &=&\dfrac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}\\ \\ &=&\dfrac{16}{25 } \end{array}$

  Für die letzte Rechnung ergibt sich:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{2} &=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{1} \\ \\ &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

• Bestimme das Ergebnis der Division zweier Brüche.

  Tipps

  Um Brüche zu dividieren, muss man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

  Lösung

  Die erste Rechnung führen wir folgendermaßen durch:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{8}{3} : \dfrac{4}{9} &=&\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{9}{4} \\ \\ &=&\dfrac{8 \cdot 9}{3 \cdot 4}\\ \\ &=&\dfrac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1}\\ \\ &=&\dfrac{6}{1 }\\ \\ &=&6 \end{array}$

  Analog berechnen wir die zweite Division:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{8} : \dfrac{3}{2} &=& \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{2}{3} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot 2}{8 \cdot 3}\\ \\ &=& \dfrac{1}{4\cdot 3} \\ \\ &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$

  Bei der dritten Rechnung können wir geschickt vorgehen, um uns einiges an Schreibarbeit zu ersparen. Wir wissen nämlich, dass $\frac{8}{8}=1$ gilt! Wir teilen also durch $1$, das heißt, der erste Bruch bleibt einfach stehen:

  $\dfrac{3}{2} : \dfrac{8}{8} = \dfrac{3}{2}$

  Und für die vierte Rechnung können wir uns ebenfalls einen kleinen Trick zunutze machen, um das Rechnen etwas zu beschleunigen. Da wir wissen, dass wir bei der Division mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren werden, wissen wir auch: Wenn die beiden anfänglichen Brüche den gleichen Nenner haben, wird sich dieser bei der Multiplikation wegkürzen!
  Wir erweitern also den ersten Bruch so, dass wie beim zweiten Bruch $14$ im Nenner steht und müssen dann nur noch die Zähler durcheinander teilen:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{2}{7} : \dfrac{3}{14} &=& \dfrac{4}{14} : \dfrac{3}{14}\\ \\ &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

  Wenn du möchtest, kannst du die letzten beiden Brüche auch noch einmal mit der ausführlichen Methode berechnen.

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Division von Brüchen.

  Tipps

  Die Merkregel für das Dividieren von Brüchen lautet: mit dem Kehrwert multiplizieren.

  Um einen Kehrwert zu erhalten, teilst du $1$ durch den Bruch.

  Für den Bruch $\frac{a}{b}$ erhältst du:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{a}{b} &\Rightarrow& 1: \dfrac{a}{b} \\ \\ &=&\dfrac{1}{1} : \dfrac{a}{b} \\ \\ &=& \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{b}{a} \\ \\ &=& \dfrac{b}{a} & \end{array}$

  Lösung

  Diese Aussagen sind richtig:

  • Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, muss man Nenner und Zähler vertauschen.

  Um einen Kehrwert zu ermitteln, teilst du $1$ durch den Bruch.

  Für den Bruch $\frac{a}{b}$ erhältst du:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{a}{b}&\Rightarrow& 1: \dfrac{a}{b} \\ \\ &=&\dfrac{1}{1} : \dfrac{a}{b} \\ \\ &=& \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{b}{a} \\ \\ &=& \dfrac{b}{a} & \end{array}$

  Also vertauschst du den Nenner und den Zähler.

  • Um Brüche zu dividieren, muss man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

  Das ist die Regel für die Division von Brüchen.

  • Um die Probe durchzuführen, multipliziert man das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.

  Mit der Probe überprüfst du, ob du richtig gerechnet hast: Das Ergebnis dieser Rechnung sollte der erste Bruch sein.

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Um Brüche zu dividieren, kann man sie auch einfach multiplizieren.

  • Um Brüche zu dividieren, muss man den zweiten Bruch mit dem Kehrwert des ersten Bruchs multiplizieren.

  Die Regel für die Division von Brüchen lautet:
  Um Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

• Bestimme die Seitenlänge eines Rechtecks.

  Tipps

  Um die Probe durchzuführen, multipliziert man das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.

  Lösung

  Die Rechnung wird folgendermaßen vervollständigt:

  • Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A$ und wird berechnet mit:

  $A= a \cdot b$

  • Eine Seitenlänge $a$ und der Flächeninhalt $A$ sind bekannt. Richard muss also die zweite Seitenlänge $b$ bestimmen.

  • Um das zu berechnen, muss er nur noch die bekannten Größen einsetzen, also:

  $b=\dfrac{A}{a}=\dfrac{45}{2}~\text{m}^2:\dfrac{10}{3}~\text{m}$

  Mit dem Flächeninhalt $A$ und einer Seitenlänge $a$ kann Richard die letzte Seitenlänge $b$ durch eine Division von Brüchen berechnen.

  • Ausgerechnet ergibt das:

  $b=\dfrac{45}{2} \cdot \dfrac{3}{10}~\text{m} = \dfrac{9 \cdot 3 }{2 \cdot 2}~\text{m}=\dfrac{27 }{4}~\text{m}$

  Um Brüche zu dividieren, muss Richard den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

  • Der Zaun muss also $\frac{27 }{4}~\text{m}$ Meter lang werden. Doch ist dieses Ergebnis auch richtig? Um sicherzugehen, macht Richard die Probe:

  $\dfrac{27 }{4}~\text{m} \cdot \dfrac{10}{3}~\text{m}=\dfrac{45}{2}~\text{m}^2$

  Um die Probe durchzuführen, multipliziert er das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.