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Brüche multiplizieren

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Die Autor*innen
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Team Digital
Brüche multiplizieren
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche multiplizieren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Brüche zu multiplizieren.

Zunächst lernst du anhand von Bildern, was die Multiplikation von Brüchen bedeutet. Anschließend lernst du die allgemeine Regel für die Multiplikation von Brüchen. Abschließend lernst du, wie du das Rechnen vereinfachen kannst, indem du die Brüche bereits vor dem Multiplizieren kürzt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Bruch, Bruchteil, Zähler, Nenner, Multiplikation und Kürzen.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Brüche kürzt.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Brüche dividieren zu lernen.

Transkript Brüche multiplizieren

Immer wieder Brüche! ÜBERALL tauchen sie auf und erschweren uns das Leben. Eh, ich meinte natürlich das Rechnen. Wie man Brüche addiert und subtrahiert, weißt du bereits schon. Aber jetzt tauchen Aufgaben auf, in denen du Brüche MULTIPLIZIEREN sollst? Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu „Brüche multiplizieren gestoßen.“ Schauen wir uns gemeinsam ein Beispiel an. Wir wollen „ein Drittel mal zwei Drittel“ berechnen. Bei der Multiplikation gilt: Wenn wir zwei Brüche multiplizieren, so suchen wir immer den „Bruchteil eines Bruchteils“. Für unser Beispiel bedeutet das, dass wir ein Drittel eines Ganzen haben und von DIESEM Drittel wieder zwei Drittel benötigen. Wir markieren uns also 2 der 3 eingefärbten Kästchen. In Bezug auf das Ganze sind 2 von 9 Kästchen markiert und das ergibt zwei Neuntel. Schauen wir ein weiteres Beispiel an: „Ein Viertel mal 5 Neuntel“. Wir nehmen also ein Viertel von einem Ganzen und DAVON noch einmal 5 Neuntel. Wir markieren also 5 der 9 eingefärbten Kästchen. Damit sind 5 von insgesamt 36 Kästchen markiert und das ergibt 5 Sechsunddreißigstel eines Ganzen. Wir wollen aber nicht jedes Mal Bilder zeichnen, um auf das Ergebnis zu kommen. Wie lösen wir das nun RECHNERISCH? Schauen wir uns die Aufgabe doch mal genauer an. Wie kommt man denn rechnerisch auf die „5“ im Zähler und auf die „36“ im Nenner? Aha! Wir multiplizieren eins und 5 miteinander und erhalten 5 im Zähler. Und für den Nenner rechnen wir „4 mal 9“ und kommen auf 36. Die allgemeine Regel beim Multiplizieren von Brüchen lautet also: „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“. Überprüfen wir das noch einmal für die erste Aufgabe. Wir wollen „ein Drittel mal zwei Drittel“ berechnen. Wir rechnen also „eins mal 2“ im Zähler und „3 mal 3“ im Nenner. Das ergibt zwei Neuntel. Rechnerisch kommen wir also auf dasselbe Ergebnis! Betrachten wir nun ein weiteres Beispiel: „fünf Achtel mal zwei Fünftel“. Lösen wir das zuerst rechnerisch. Wir rechnen 5 mal 2 im Zähler und 8 mal 5 im Nenner. Wir erhalten 10 Vierzigstel. Das Ergebnis können wir aber noch kürzen und zwar mit der Zahl 10. Das ergibt ein Viertel. Hier noch einmal anschaulich: wir haben 5 Achtel und davon 2 Fünftel. Das sind ein Viertel vom Ganzen. Bei der Multiplikation können sehr schnell große Zahlen entstehen. Dann ist es oft sinnvoll, die Brüche schon VOR der Multiplikation zu kürzen. Dabei darf man auch über Kreuz kürzen. Das heißt, wir können den Zähler des einen Bruches mit dem Nenner des anderen Bruches kürzen. Beim Multiplizieren von 5 Achtel und 2 Fünftel lassen sich die Brüche einzeln nicht weiter kürzen. Wir können sie aber über Kreuz kürzen. Das bedeutet, dass wir den Zähler 5 des ersten Bruches und den Nenner 5 des zweiten Bruches mit 5 kürzen können und SOGAR auch den Zähler 2 des zweiten Bruches mit dem Nenner 8 des ersten Bruches mit der Zahl 2. Wir multiplizieren die gekürzten Brüche wie gewohnt und erhalten ein Viertel. Das ist also auch möglich! Fassen wir alles nochmal zusammen! Bei der Multiplikation zweier Brüche suchen wir immer den „Bruchteil eines Bruchteils“. Dabei rechnen wir immer: „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“. Um am Ende nicht allzu große Zahlen zu erhalten, können wir die Brüche VOR der Multiplikation kürzen. Die Brüche können dabei auch über Kreuz gekürzt werden. So und damit ist für dich das Multiplizieren von Brüchen kein Problem mehr!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Echt toll erklärt

    Von Amy, vor 5 Monaten
  2. Anna Hase stelle dir die ganze Zahl einfach als ein Bruch vor z.B : 3* 2/4
    = 3/1 *2/4 = 3*2 1*4
    =6/4

    Von Lois, vor 10 Monaten
  3. Danke sehr hilfreich echt vielen dank

    Von Luisa, vor 10 Monaten
  4. Sehr hilfreich!

    Von Lina, vor etwa einem Jahr

Brüche multiplizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche multiplizieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die korrekten Aussagen an!

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3~\cdot~ 1}{4~\cdot ~2}=\frac38$

    Du kürzt zum Beispiel bei der Aufgabe $\frac{7}{15}\cdot\frac{5}{21}$ zuerst $7$ und $21$ und anschließend $15$ und $5$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind korrekt

    „Das Produkt zweier Brüche gibt den Bruchteil eines Bruchteils an.“

    Zum Beispiel: $\require{cancel}~\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{5} = \frac{2}{30}=\frac{1}{15}$// Hier wird also der Bruchteil $\frac{2}{5}$ von $\frac{1}{6}$ gesucht und das entspricht $\frac{1}{15}$.

    „Manchmal kann man vor dem Multiplizieren kürzen, um nicht mit zu großen Zahlen rechnen zu müssen.“

    Zum Beispiel: $~\frac{20}{35}\cdot\frac{14}{50} = \frac{{20}~\cdot~{14}}{{35}~\cdot~{50}} = \frac{^{\color{#669900}{2~}}\cancel{20}~\cdot~\cancel{14}^{\color{#669900}{~2}}}{_{\color{#669900}{5~}}\cancel{35}~\cdot~\cancel{50}_{\color{#669900}{~5}}} = \frac{4}{25}$

    Diese Aussagen sind nicht korrekt

    „Beim Multiplizieren zweier Brüche rechnen wir ‚Zähler mal Nenner‘ und ‚Nenner mal Zähler‘.“

    Die allgemeine Regel lautet: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
    Zum Beispiel: $\require{cancel}~\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{7} = \frac{{1}~\cdot~{2}}{{3}~\cdot~{7}} = \frac{2}{21}$

    „Man darf beim Multiplizieren zweier Brüche nie über Kreuz kürzen.“

    Es ist sogar vorteilhaft, vor dem Multiplizieren zu kürzen oder auch über Kreuz zu kürzen, um große Zahlen zu vermeiden.
    Zum Beispiel: $~\frac{64}{81}\cdot\frac{45}{24} = \frac{{64}~\cdot~{45}}{{81}~\cdot~{24}} = \frac{^{\color{#669900}{8~}}\cancel{64}~\cdot~\cancel{45}^{\color{#669900}{~5}}}{_{\color{#669900}{9~}}\cancel{81}~\cdot~\cancel{24}_{\color{#669900}{~3}}} = \frac{40}{27}$

  • Gib die korrekte Lösung an.

    Tipps

    Du überlegst zuerst, wie das erste Quadrat aufgeteilt und markiert ist. Anschließend schaust du dir die hellblaue Markierung an und unterteilst sie gemäß dem zweiten Bruch.

    Das Ergebnis ist der Anteil vom ganzen Quadrat.

    Lösung

    Beispiel 1

    Den Anteil der hellblauen Fläche am großen Quadrat erhältst du, indem du zählst, aus wie vielen kleinen Quadraten sich die hellblaue Fläche und das große Quadrat zusammensetzen. Hier besteht die hellblaue Fläche aus $3$ kleinen Quadraten, während das große Quadrat $9$ kleine Quadrate enthält. Damit ist der Anteil $\frac{3}{9}$, also $\frac{1}{3}$. Jetzt suchst du nach dem rot markierten Anteil der hellblauen Fläche. Rot markiert sind $2$ von $3$ hellblauen Quadraten, das entspricht also $\frac{2}{3}$. Der Anteil der rot markierten Quadrate am großen Quadrat beträgt $\frac{2}{9}$. Es ist also folgende Aufgabe dargestellt: $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{9}$

    Beispiel 2

    Diesmal besteht die hellblaue Fläche aus $9$ kleinen Quadraten, während das große Quadrat $36$ kleine Quadrate enthält. Damit ist der Anteil der hellblauen Fläche am großen Quadrat $\frac{9}{36}$, also $\frac{1}{4}$. Von den $9$ hellblau markierten Quadraten sind $5$ rot markiert, das entspricht einem Anteil von $\frac{5}{9}$. Der Anteil der rot markierten Quadrate am großen Quadrat ist $\frac{5}{36}$. Es ist also folgende Aufgabe dargestellt: $\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{9}$ = $\frac{5}{36}$

  • Ermittle das Produkt bei der Multiplikation zweier Brüche.

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{4}= \frac{2~\cdot ~3}{6~\cdot ~4} = \frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

    Du rechnest immer Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

    Achte darauf, dass du vollständig kürzt.

    Lösung

    Beim Multiplizieren von Brüchen multiplizieren wir immer Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Um große Zahlen zu vermeiden, kann man vor dem Multiplizieren kürzen oder über Kreuz kürzen.

    Produkt: $~\frac 47$

    Diesem Produkt können wir folgende Multiplikationen zuordnen:

    $~\frac 27 \cdot \frac 21=\frac{2~\cdot ~2}{7~\cdot ~1}=\frac 47$

    $~\frac 41 \cdot \frac 17=\frac{4~\cdot ~1}{1~\cdot ~7}=\frac 47$

    Produkt: $~\frac 23$

    Diesem Produkt können wir folgende Multiplikationen zuordnen:

    $~\frac 23 \cdot \frac 33=\frac{2~\cdot~3}{3~\cdot~3}=\frac 69=\frac 23$

    $~\frac 39 \cdot \frac 21=\frac{3~\cdot~2}{9~\cdot~1}=\frac 69=\frac 23$

    Produkt: $~\frac 13$

    Diesem Produkt können wir folgende Multiplikationen zuordnen:

    $~\frac {2}{12} \cdot \frac 42 = \frac{2~\cdot ~4}{12~\cdot ~2} = \frac {8}{24} = \frac 13$

    $~\frac 46 \cdot \frac 24 = \frac{4~\cdot ~2}{6~\cdot ~4} = \frac {8}{24} = \frac 13$

  • Gib den gekürzten Bruch an!

    Tipps

    Du musst über Kreuz kürzen und anschließend Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\frac{3}{11}\cdot\frac{33}{15}=\frac{3~\cdot ~33}{11~\cdot ~15}$

    Hier kannst du die Zahlen $11$ und $33$ sowie $3$ und $15$ kürzen. Dann erhältst du:

    $ \frac{1~\cdot ~3}{1~\cdot ~5} = \frac{3}{5}$

    Lösung

    Bei dieser Aufgabe musst du auch über Kreuz kürzen. Du kürzt den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs sowie den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs. So erhältst du die folgenden Rechnungen:

    Beispiel 1

    $\require{cancel}\frac{2}{7}\cdot\frac{21}{8} = \frac{2~\cdot~{21}}{7~\cdot~8} = \frac{^{\color{#669900}{1~}}\cancel{2~}~\cdot~\cancel{21}^{\color{#669900}{~3}}}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{7~}~\cdot~\cancel{8~}_{\color{#669900}{~4}}} = \frac{3}{4}$

    Beispiel 2

    $\require{cancel}\frac{55}{7}\cdot\frac{49}{55} = \frac{{55}~\cdot~{49}}{7~\cdot~{11}} = \frac{^{\color{#669900}{5~}}\cancel{55~}~\cdot~\cancel{49}^{\color{#669900}{~7}}}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{7~}~\cdot~\cancel{11~}_{\color{#669900}{~1}}} = \frac{35}{1} = 35$

    Beispiel 3

    $\require{cancel}\frac{25}{18}\cdot\frac{27}{35} = \frac{{25}~\cdot~{27}}{{18}~\cdot~{35}} = \frac{^{\color{#669900}{5~}}\cancel{25~}~\cdot~\cancel{27}^{\color{#669900}{~3}}}{_{\color{#669900}{2~}}\cancel{18~}~\cdot~\cancel{35~}_{\color{#669900}{~7}}} = \frac{15}{14}$

  • Nenne die allgemeine Regel für die Multiplikation von Brüchen.

    Tipps

    Der Zähler eines Bruchs ist die Zahl über dem Bruchstrich. Unter dem Bruchstrich steht der Nenner.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{20}$

    Lösung

    Brüche geben den Anteil an einem Ganzen an. Wenn man sie multipliziert, dann erhält man den Bruchteil eines Bruchteils. Die allgemeine Regel für das Multiplizieren von Brüchen lautet:

    Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner

    Ein Zahlenbeispiel könnte wie folgt aussehen:

    $\frac 25 \cdot \frac 13=\frac{2~\cdot ~1}{5~\cdot ~3}=\frac {2}{15}$

  • Gib die Ergebnisse der Rechnung an!

    Tipps

    Auch hier gilt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, nur dass hier drei Zähler und anschließend drei Nenner miteinander multipliziert werden.

    Du kannst hier immer den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des dritten Bruchs kürzen. Es gibt aber auch weitere Zahlen, die sich kürzen lassen.

    Lösung

    Grundsätzlich kann man hier über Kreuz kürzen, um größere Zahlen zu vermeiden.

    Beispiel 1

    Hier kannst du jeweils $6$ und $24$ sowie $7$ und $14$ miteinander kürzen. Der größte gemeinsame Teiler von $6$ und $24$ ist $6$. Von $7$ und $14$ ist der größte gemeinsame Teiler $7$. Damit folgt:

    $\require{cancel}\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{1}{24} = \dfrac{6\cdot{14}\cdot{1}}{7\cdot{17}\cdot{24}} = \dfrac{^{\color{#669900}{1~}}\cancel{6~}\cdot\cancel{14}^{\color{#669900}{~2}}\cdot1}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{7~}\cdot{17}\cdot\cancel{24}_{\color{#669900}{~4}}} =\dfrac{1\cdot\cancel{2}^{\color{#669900}{~1}}\cdot1}{1\cdot{17}\cdot\cancel{4}_{\color{#669900}{~2}}} = \dfrac{1}{34}$

    Beispiel 2

    Hier kannst du jeweils $5$ und $35$ sowie $8$ und $4$ miteinander kürzen. Der größte gemeinsame Teiler von $5$ und $35$ ist $5$. Von $8$ und $4$ ist der größte gemeinsame Teiler $4$. Damit folgt:

    $\require{cancel}\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{1}{35} = \dfrac{5\cdot{8}\cdot{1}}{4\cdot{9}\cdot{35}} = \dfrac{^{\color{#669900}{1~}}\cancel{5~}\cdot\cancel{~8}^{\color{#669900}{~2}}\cdot1}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{4~}\cdot{9}\cdot\cancel{35}_{\color{#669900}{~7}}} =\dfrac{1\cdot2\cdot1}{1\cdot{9}\cdot{7}} = \dfrac{2}{63}$

    Beispiel 3

    Hier kannst du jeweils $6$ und $24$ sowie $7$ und $14$ miteinander kürzen. Der größte gemeinsame Teiler von $6$ und $24$ ist $6$. Von $7$ und $14$ ist der größte gemeinsame Teiler $7$. Damit folgt:

    $\require{cancel}\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{18}{16} = \dfrac{4\cdot{1}\cdot{18}}{9\cdot{3}\cdot{16}} = \dfrac{^{\color{#669900}{1~}}\cancel{4~}\cdot1\cdot\cancel{18}^{\color{#669900}{~2}}}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{9~}\cdot3\cdot\cancel{16}_{\color{#669900}{~4}}} =\dfrac{1\cdot1\cdot\cancel{2}^{\color{#669900}{~1}}}{1\cdot{3}\cdot\cancel{4}_{\color{#669900}{~2}}} = \dfrac{1}{6}$

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