Brüche dividieren – Kehrwertregel
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Grundlagen zum Thema Brüche dividieren – Kehrwertregel
Brüche dividieren mit der Kehrwertregel – Mathematik
Das Ergebnis einer Division ist der Quotient. Bei der Division natürlicher Zahlen gibt der Quotient an, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Bei der Division von Brüchen geht das ganz analog: Das Ergebnis der Division zweier Brüche gibt an, wie oft der eine Bruch in den anderen hineinpasst. Um das Ergebnis rechnerisch zu bestimmen, nutzen wir die sogenannte Kehrwertregel. Wie diese Regel lautet und wie du damit Brüche dividieren kannst, schauen wir uns im Folgenden genauer an.
Kehrwertregel – Definition
Wie dividiere ich Brüche? Wen du einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren willst, kannst du stattdessen den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren. Das bedeutet, du multiplizierst den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs.
Weil wir hier mit dem Kehrwert multiplizieren, wird dieses Vorgehen Kehrwertregel genannt. Wir erreichen damit, dass die Division in eine Multiplikation umgewandelt wird. Du kannst die Brüche dann, wie gewohnt, multiplizieren und gegebenenfalls kürzen, auch über Kreuz.
Der Kehrwert eines Bruchs
Den Kehrwert eines Bruchs (auch Kehrbruch) erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst. Zum Beispiel hat $\frac{5}{7}$ den Kehrwert $\frac{7}{5}$.
Du kannst auch den Kehrwert einer ganzen Zahl angeben, wenn du diese zunächst als Bruch schreibst. Zum Beispiel hat $3 = \frac{3}{1}$ den Kehrwert $\frac{1}{3}$.
Kehrwertregel anwenden
Betrachten wir nun ein paar Beispiele, wie du Brüche mit der Kehrwertregel dividieren kannst:
$\dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{7} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{1~\cdot~7}{3~\cdot~2} = \dfrac{7}{6}$
$\dfrac{5}{9} : \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{~5~\cdot~\cancel{~3}^{\color{#669900}{~1}}}{_{\color{#669900}{3~}}\cancel{9~}~\cdot~1~} = \dfrac{5}{3}$
$\dfrac{14}{11} : 7 = \dfrac{14}{11} : \dfrac{7}{1} = \dfrac{14}{11} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{^{\color{#669900}{2~}}\cancel{14~} ~\cdot~1~}{~11~\cdot~\cancel{~7}_{\color{#669900}{~1}}} = \dfrac{2}{11}$
$\dfrac{11}{5} : \dfrac{33}{40} = \dfrac{11}{5} \cdot \dfrac{40}{33} = \dfrac{^{\color{#669900}{1~}}\cancel{11~} ~ \cdot ~ \cancel{~40}^{\color{#669900}{~8}}}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{5~} ~\cdot ~ \cancel{~33}_{\color{#669900}{~3}}} = \dfrac{1~\cdot~8}{1~\cdot~3} = \dfrac{8}{3}$
$\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{7} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{^{\color{#669900}{1~}}\cancel{2~} ~ \cdot ~7 ~~}{~~3 ~\cdot ~ \cancel{~4}_{\color{#669900}{~2}}} = \dfrac{1 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \dfrac{7}{6}$
$\dfrac{22}{5} : \dfrac{33}{5} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{5}{33} = \dfrac{^{\color{#669900}{2~}}\cancel{22~} ~ \cdot ~ \cancel{~5}^{\color{#669900}{~1}}}{_{\color{#669900}{1~}}\cancel{5~} ~\cdot ~ \cancel{~33}_{\color{#669900}{~3}}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 3} = \dfrac{2}{3}$
Wie du siehst, wandeln wir immer die Division in eine Multiplikation um, indem wir mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren. Im Anschluss kürzen wir soweit möglich und geben das Ergebnis an.
In diesem Video zur Division von Brüchen ...
... zeigen wir dir zunächst bildlich, was die Division von Zahlen genau bedeutet. Anschließend lernst du, wie du rechnerisch mithilfe der Kehrwertregel Brüche dividieren kannst. Nach dem Video findest du Übungen mit Aufgaben zur Kehrwertregel.
Transkript Brüche dividieren – Kehrwertregel
Milan raucht der Schädel. Er kommt gerade aus dem Matheunterricht und hat nichts verstanden. Brüche dividieren das war das neue Unterrichtsthema. Damit er nächstes Mal wieder gut mitarbeiten kann, schauen wir uns gemeinsam das Thema Brüche dividieren genauer an! Lösen wir zuerst eine Divisionsaufgabe mit natürlichen Zahlen. Zum Beispiel: 24 geteilt durch 6. Wenn wir 24 durch 6 dividieren, wollen wir wissen, wie oft die 6 in die 24 reinpasst. Das wäre viermal. 24 geteilt durch 6 ist also gleich 4. Bei den Brüchen ist es ähnlich! Dividieren wir Brüche, so suchen wir die Anzahl, wie oft ein Bruch in den anderen passt. Rechnen wir beispielsweise 5 Achtel geteilt durch ein Viertel. Die Frage ist: Wie oft passt ein Viertel in 5 Achtel? Einmal, Zweimal und ein halbes Mal. Das wäre also zweieinhalb Mal. Wie kommen wir aber RECHNERISCH darauf? 5 Achtel geteilt durch ein Viertel sind zweieinhalb. Wir können dafür auch 5 Halbe schreiben. Dieses Ergebnis ist bereits vollständig gekürzt. Um jedoch VERSTEHEN zu können, WIE tatsächlich gerechnet wird, erweitern wir mal das Ergebnis mit 4 und erhalten 20 Achtel. Der Wert des Bruches bleibt dadurch trotzdem derselbe. Kannst du schon die Verbindung zwischen den Brüchen erkennen? Aha! 20 erhalten wir, wenn wir 5 mal 4 rechnen. 8 erhalten wir, wenn wir 8 mal eins rechnen. Um zu dividieren, haben wir also den ZÄHLER des ersten Bruches mit dem NENNER des zweiten Bruches multipliziert... sowie den NENNER des ersten Bruches mit dem ZÄHLER des zweiten Bruches. Diese Regel wird auch KEHRWERTREGEL genannt, da wir Brüche dividieren, indem wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches MULTIPLIZIEREN. DAS ist der Kehrwert des zweiten Bruches. Der Kehrwert ergibt sich immer durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Die DIVISON wird also in eine MULITPLIKATION umgewandelt. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. 5 Neuntel geteilt durch ein Drittel. Wie würde das BILDLICH aussehen? Ein Drittel passt also HIER einmal vollständig rein. Übrig bleiben noch 2 Kästchen, das wären von dem Drittel also nochmal zwei Drittel. Das Ergebnis ist ein zwei Drittel oder umgewandelt auch 5 Drittel. Prüfen wir das nun rechnerisch. Nach der Kehrwertregel schreiben wir 5 Neuntel MAL drei Eintel, da wir den Kehrwert multiplizieren können. Dann multiplizieren wir wie gewohnt und erhalten 15 Neuntel. Das ist gekürzt ebenfalls 5 Drittel! Rechnen wir noch ein letztes Beispiel. 11 Fünftel geteilt durch 33 Vierzigstel. Das ist dasselbe wie 11 Fünftel MAL 40 Dreiunddreißigstel . Wenn wir das SO multiplizieren, würden wir relativ große Zahlen erhalten. Durch Kürzen VOR dem Multiplizieren können wir Rechnungen vereinfachen. Wir können über Kreuz 11 und 33 mit 11 kürzen und erhalten 1 und 3 und 40 und 5 mit 5 und erhalten entsprechend 8 und 1. Wir multiplizieren wie gewohnt und erhalten 8 Drittel. Fassen wir alles nochmal zusammen! Für die Division von Brüchen nutzen wir die Kehrwertregel. Diese besagt: Wir DIVIDIEREN Brüche, indem wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches MULTIPLIZIEREN. Der Kehrwert ergibt sich dabei durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Die Division wird also in eine Multiplikation umgewandelt. Um am Ende nicht allzu große Zahlen zu erhalten, können wir die Brüche VOR der Multiplikation kürzen. Die Brüche können dabei auch über Kreuz gekürzt werden. So und nun ist Milan bereit für die nächste Mathestunde!
Brüche dividieren – Kehrwertregel Übung
-
Bestimme die Rechenschritte, die zu den Aufgaben gehören.
TippsBei der Division von zwei Brüchen wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.
Den Kehrwert eines Bruchs erhalten wir, wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs vertauschen.
Für die Multiplikation wird wie gewohnt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet.
LösungZur Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert eines Bruchs bilden wir durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Die Multiplikation wird im Anschluss wie gewohnt durchgeführt und das Ergebnis wenn möglich gekürzt.
Die Formel dazu lautet:
$\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \dfrac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \dfrac{\text{Zähler}~\cdot~\text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~\text{Zähler}}$Beispiel 1:
$\dfrac{5}{9}:\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{3}{1} = \dfrac{5\cdot3}{9\cdot1} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$Beispiel 2:
$\dfrac{5}{8}:\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{1} = \dfrac{5\cdot4}{8\cdot1} = \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}$ -
Vervollständige den Text zur Division von Brüchen.
Tipps$24:6 = 4$ bedeutet, dass die $6$ genau viermal in die $24$ passt.
Der Kehrwert von $\frac{2}{7}$ ist $\frac{7}{2}$.
LösungDas Ergebnis einer Division gibt immer an, wie oft die zweite Zahl, also der Divisor, in die erste Zahl, also den Dividenden, hineinpasst. Das gilt für Brüche ebenso wie für natürliche Zahlen.
Mit der Kehrwertregel können wir Brüche dividieren. Dazu wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert erhält man dabei durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
Wollen wir zum Beispiel wissen, wie of $\frac{1}{3}$ in $\frac{1}{2}$ passt, so rechnen wir:$\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{1} = \dfrac{1~\cdot~3}{2~\cdot~1} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$
Das bedeutet $\frac{1}{3}$ passt $1\frac{1}{2}$-mal in $\frac{1}{2}$.
-
Ermittle, ob die Rechenwege korrekt sind.
TippsÜberprüfe die einzelnen Schritte der Rechnungen.
Kehrwertregel zur Division von Brüchen lautet:
$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot~ \text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~ \text{Zähler}}$Bei der Multiplikation von Brüchen kannst du kürzen, auch über Kreuz.
LösungBei der Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot~ \text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot ~\text{Zähler}}$
Du kannst dann bei der Multiplikation wie gewohnt kürzen, auch über Kreuz.
Beispiel 1: richtig
$\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{2 ~\cdot~ 3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{ ~\cdot~ 1}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 1} = \dfrac{2}{1} = 2$Beispiel 2: falsch
$\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 ~\cdot~ 2}{3 ~\cdot~ 3} = \dfrac{2}{9}$
Korrektur: Es muss mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert werden.
$\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{1 ~\cdot~ 3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{ ~\cdot~ 2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 2} = \dfrac{1}{2}$Beispiel 3: falsch
$\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{3 ~\cdot~ 4 \color{dodgerblue}{\,{:}\,2}}{2\color{dodgerblue}{\,{:}\,2}\color{black}{ ~\cdot~ 7}} = \dfrac{3 ~\cdot~ 2}{1 ~\cdot~ 7} = \dfrac{6}{7}$
Korrektur: Du brauchst den Kehrwert des zweiten, nicht den des ersten Bruchs.
$\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{7} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{2\color{dodgerblue}{\,{:}\,2}\color{black}{ ~\cdot~ 7}}{3 ~\cdot~ 4 \color{dodgerblue}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7}{3 ~\cdot~ 2} = \dfrac{7}{6}$Beispiel 4: richtig
$\dfrac{1}{5}:\dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7}{5 ~\cdot~ 5} = \dfrac{7}{25}$Beispiel 5: richtig
$\dfrac{4}{7}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{4\color{dodgerblue}{\,{:}\,2}\color{black}{ ~\cdot~ 3}}{7 ~\cdot~ 2 \color{dodgerblue}{\,{:}\,2}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 3}{7 ~\cdot~ 1} = \dfrac{6}{7}$Beispiel 6: falsch
$\dfrac{1}{5}:\dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{1 ~\cdot~ 5 \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}}{5\color{dodgerblue}{\,{:}\,5}\color{black}{ ~\cdot~ 7}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 7} = \dfrac{1}{7}$
richtig wie in Beispiel 4 -
Ordne den Divisionsaufgaben die richtigen Ergebnisse zu.
TippsDu teilst zwei Brüche, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.
Wir wandeln also die Division in eine Multiplikation.Vergiss nicht, dein Ergebnis so weit wie möglich zu kürzen.
Das geht bei der Multiplikation von Brüchen auch über Kreuz.LösungBei der Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot~ \text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~ \text{Zähler}}$
Beispiel 1:
$\dfrac{2}{25}:\dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{25} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~5} \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}}{25 \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~4} \color{gold}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1}{5 ~\cdot~ 2} = \dfrac{1}{10}$Beispiel 2:
$\dfrac{21}{2}:\dfrac{14}{3} = \dfrac{21}{2} \cdot \dfrac{3}{14} = \dfrac{21 \color{gold}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~3}}{2 ~\cdot~ 14 \color{gold}{\,{:}\,7}} = \dfrac{3 ~\cdot~ 3}{2 ~\cdot~ 2} = \dfrac{9}{4}$Beispiel 3:
$\dfrac{5}{3}:\dfrac{7}{9} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{5 ~\cdot~ 9 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~7}} = \dfrac{5 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 7} = \dfrac{15}{7}$Beispiel 4:
$\dfrac{13}{12}:\dfrac{26}{60} = \dfrac{13}{12} \cdot \dfrac{60}{26} = \dfrac{13 \color{gold}{\,{:}\,13}\color{black}{~\cdot~60} \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}}{12 \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}\color{black}{~\cdot~ 26} \color{gold}{\,{:}\,13}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 5}{1 ~\cdot~ 2} = \dfrac{5}{2}$ -
Gib die passende Reihenfolge der Rechenschritte zur Berechnung von $\frac{11}{5} : \frac{33}{40}$ an.
TippsLies dir zunächst alle Schritte aufmerksam durch und überlege, welche Schritte Voraussetzung für andere Schritte sind.
Um zwei Brüche zu dividieren, musst du zuerst den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden.
Am Ende der Rechnung sollte dein Endergebnis stehen.
LösungDie Schritte zur Division von zwei Brüchen lauten wie folgt:
- Bilde den Kehrwert des zweiten Bruchs.
- Ersetze die Division durch eine Multiplikation und den zweiten Bruch durch seinen Kehrbruch.
- Kürze so weit wie möglich.
- Multipliziere die Brüche und gib das Endergebnis an.
- Der Kehrwert von $\frac{33}{40}$ ist $\frac{40}{33}$.
- Wir schreiben $\frac{11}{5} : \frac{33}{40} = \frac{11}{5} \cdot \frac{40}{33}$.
- Kürzen mit $11$ und $5$ ergibt $\frac{1~\cdot~8}{1~\cdot~3}$.
- Die Multiplikation liefert als Endergebnis $\frac{1~\cdot~8}{1~\cdot~3} = \frac{8}{3}$.
-
Bestimme die Ergebnisse der Divisionsaufgaben.
TippsFühre die Berechnung Schritt für Schritt durch. Vergiss dabei nicht, das Ergebnis so weit wie möglich zu kürzen.
Das Ergebnis kann auch eine ganze Zahl sein, wie in diesem Beispiel:
$\dfrac{6}{7}:\dfrac{2}{14} = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{2} = \dfrac{3 ~\cdot~ 2}{1 ~\cdot~ 1} = \dfrac{6}{1} = 6$LösungBei der Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot ~\text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~ \text{Zähler}}$
Beispiel 1:
$\dfrac{22}{5}:\dfrac{33}{5} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{5}{33} = \dfrac{22 \color{gold}{\,{:}\,11}\color{black}{~\cdot~5} \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}}{5\color{dodgerblue}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~33} \color{gold}{\,{:}\,11}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 3} = \dfrac{2}{3}$Beispiel 2:
$\dfrac{2}{17}:\dfrac{8}{7} = \dfrac{2}{17} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~7}}{17 ~\cdot~ 8 \color{gold}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7}{17 ~\cdot~ 4} = \dfrac{7}{68}$Beispiel 3:
$\dfrac{5}{12}:\dfrac{5}{36} = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{36}{5} = \dfrac{5 \color{gold}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~36} \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}}{12 \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}\color{black}{~\cdot~5} \color{gold}{\,{:}\,5}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 1} = \dfrac{3}{1} = 3$Beispiel 4:
$\dfrac{16}{3}:\dfrac{25}{9} = \dfrac{16}{3} \cdot \dfrac{9}{25} = \dfrac{16 ~\cdot~ 9 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~25}} = \dfrac{16 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 25} = \dfrac{48}{25}$
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Cool
gut
Dieses Video ist sehr gut hat meine Mathearbeit gerettet!!!
es war super davor war nur sahara in meinem Kopf jetzt alles caspisce