30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Brüche addieren – Übung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 4.2 / 33 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Brüche addieren – Übung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche addieren – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Brüche zu addieren.

Zunächst lernst du den Unterschied zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen kennen. Anschließend erfährst du, wie du gleichnamige Brüche addierst. Abschließend lernst du, wie du durch Erweitern auch ungleichnamige Brüche addierst.

Brüche addieren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie gleichnamig, ungleichnamig, Bruch, Nenner, Hauptnenner, Zähler und erweitern.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Brüche erweitert.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Subtraktion von Brüchen zu lernen.

Transkript Brüche addieren – Übung

Bäcker Ben backt Brot. Von wegen kleine Brötchen! Ben hat das ultimative Rezept entwickelt: Dafür braucht er ein Viertel Kilogramm Weizenmehl, zwei Fünftel Kilogramm Dinkelmehl, und ein Sechstel Kilogramm Roggenmehl. Oh, ist nur noch Roggenmehl da! Mist! Egal, wird schon! Dann nimmt er halt nur Roggenmehl. Wie viel braucht er denn jetzt davon, wenn er die anderen Mehlsorten ersetzen will? Ähm ja, erstmal ne Übungseinheit zum Thema „Brüche addieren“ einlegen! Wir fangen nochmal ganz langsam an! Wie funktioniert das nochmal wenn wir zwei Brüche, wie zum Beispiel dieser hier addieren wollten? Ganz wichtig: Nicht direkt drauf los rechnen und einfach alle Zahlen addieren! So würden wir nämlich auf vier Zwölftel, gekürzt ein Drittel kommen. Aber wenn wir drei Viertel von einem Baguette nehmen und dann nochmal ein Achtel eines Baguettes hinzufügen ergibt das in Summe niemals nur ein Drittel Baguette. Wir müssen die Brüche erst gleichnamig machen. Also auf den gleichen Nenner bringen. Hier schaffen wir das, indem wir den ersten Bruch mit zwei erweitern. So sind beide Summanden in Achteln angegeben, und wir können sie zusammenrechnen, indem wir die Zähler addieren und den Nenner einfach beibehalten. Wir müssen also erst dafür sorgen, dass beide Brüche den gleichen Nenner haben – diesen Nenner nennt man dann auch den Hauptnenner – und können dann, aber erst dann, die Zähler addieren. Eigentlich ganz easy. Leider ist der Hauptnenner aber nicht immer ganz so einfach zu finden und es kann auch schonmal ein bisschen tricky werden. Hier zum Beispiel siehst du auf den ersten Blick wahrscheinlich noch nicht, welche Zahl der Hauptnenner sein soll. Aber wenn wir genau hinschauen, erkennen wir, dass wir kürzen können! Den ersten Bruch können wir mit neun und den zweiten Bruch mit drei kürzen. So sieht die Aufgabe doch schon etwas leichter aus! Jetzt müssen wir nur noch den Hauptnenner finden. Der ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von den Nennern. Hier von fünf und acht. Wir schreiben also entweder die Zahlenreihen auf, oder rechnen schnell im Kopf! Wir müssen beide Brüche auf den „Hauptnenner vierzig“ bringen! Dafür erweitern wir den ersten Bruch mit acht und den zweiten Bruch mit fünf. Der erste Bruch wird also mit dem Nenner des zweiten Bruches, und der zweite Bruch mit dem Nenner des ersten Bruches erweitert. Diese Vorgehensweise funktioniert übrigens immer, wenn wir zwei Brüche gleichnamig machen wollen. Häufig lohnt es sich trotzdem nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu suchen, um nicht mit zu hohen Zahlen rechnen zu müssen. Wir erweitern beide Brüche also auf den Nenner vierzig. Jetzt können wir wieder die Zähler addieren und die Nenner beibehalten. Am Ende solltest du immer nochmal überprüfen, ob du kürzen kannst. Das geht hier nicht. Aber wir können den Bruch noch als gemischte Zahl schreiben. Und haben spätestens dann unseren Job erledigt. Na dann mal zurück zu Bens Mehl-Problem. Um herauszufinden wie viel Mehl er insgesamt braucht, muss er die Brüche ein Viertel, zwei Fünftel und ein Sechstel addieren. Kannst du ihm da unter die Arme greifen? Kleiner Tipp: Jetzt müssen alle drei Nenner auf einen Hauptnenner gebracht werden. Pausiere das Video doch kurz und rechne selbst. Dann gehen wir die Lösung gemeinsam durch. Zuerst sollten wir immer prüfen, ob wir uns das Leben einfacher machen können, indem wir die Brüche kürzen. Bei dieser Aufgabe sind die Brüche allerdings schon vollständig gekürzt! Dann also den Hauptnenner ausfindig machen! Hier hast du vielleicht alle drei Brüche jeweils mit den Nennern der beiden anderen Brüche erweitert – das ist ein möglicher Lösungsweg. Wir versuchen aber mal die Zahlen so klein wie möglich zu halten und bestimmen das Kleinste gemeinsame Vielfache von vier, fünf und sechs! Zur Hilfe könnte man die Zahlenreihen aufschreiben. In diesem Fall ist man da aber etwas länger beschäftigt. Aber das „kleinste gemeinsame Vielfache“ von vier und fünf ist schnell gefunden – das ist zwanzig! Leider ist zwanzig aber nicht durch sechs teilbar, also brauchen wir ein Vielfaches von zwanzig, das dann auch durch sechs teilbar ist. Welche Zahl könnte das sein? Na klar: Sechzig! Und schon haben wir locker-flockig den Hauptnenner bestimmt. Und locker-flockig soll auch der Teig werden. Also noch schnell die drei Brüche so erweitern, dass sie jeweils auf den Nenner sechzig kommen, dann die Zähler addieren und wir haben unser Ergebnis! Auch diesen Bruch können wir nicht mehr kürzen. Aber Ben weiß jetzt ganz genau, wie viel Mehl er braucht. Ob der Teig so wohl prächtig aufgeht? Während Ben schon das Wasser im Mund zusammenläuft, fassen wir nochmal kurz zusammen. Wenn wir zwei oder mehrere Brüche addieren wollen, dürfen wir eines nie vergessen! Die Brüche müssen gleichnamig sein! Aber auch wenn sie das nicht sind – locker bleiben. Wir können sie trotzdem ganz einfach addieren, wenn wir uns an folgendes Rezept halten: Zuerst checken wir, ob wir einen oder mehrere Brüche noch kürzen können. Das kann einem viel Rechenarbeit sparen! Dann bringen wir die Brüche auf den Hauptnenner, indem wir sie auf das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner erweitern. Sind die Nenner schließlich gleichnamig, heißt es: Zähler addieren, Nenner beibehalten. So erhalten wir unser Ergebnis. Wir sollten aber nochmal schauen, ob wir das Ergebnis noch kürzen können und es gegebenenfalls in eine gemischte Zahl umwandeln. Denn nur so kommt das Resultat unserer hingebungsvollen Arbeit dann auch knusprig-frisch aus dem Ofen! Oh man, Bruchrechnung allein macht Bäcker Ben wohl noch nicht zum Backmeister.

5 Kommentare
5 Kommentare
  1. Die viedeos sind sehr hilfreich und lustig

    Von B, vor 13 Tagen
  2. Das Bild am Ende ist ziemlich lustig, ihr macht megs gute Videos es macht mir immer mega viel Spaß sie zu gucken macht so weiter ich kann die sachen echt empfehlen 🤜🤛

    Von Jermaine , vor etwa einem Monat
  3. sehr gut hat mir geholfen

    Von ANDREW TATE, vor etwa 2 Monaten
  4. : )
    < 3

    Von Carla, vor 3 Monaten
  5. cool

    Von Carla, vor 3 Monaten

Brüche addieren – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche addieren – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen bei der Addition von Brüchen.

    Tipps

    Um leichter weiterrechnen zu können, können wir immer zuerst überlegen, ob sich die Summanden kürzen lassen.

    Vor dem Addieren müssen wir die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

    Lösung

    Wenn wir zwei oder mehr Brüche addieren müssen, schauen wir zuerst, ob sie sich kürzen lassen. Das vereinfacht das Ausrechnen der Summe, da wir dann nicht mit so großen Zahlen rechnen müssen.
    Wir kürzen die beiden gegebenen Brüche:

    $\dfrac{18\color{blue}{:9}}{45\color{blue}{:9}} + \dfrac{15\color{blue}{:3}}{24\color{blue}{:3}} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{8}$

    Um die Summe ausrechnen zu können, müssen wir nun beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Hier ist der Hauptnenner $40$, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, denn es gibt kein gemeinsames Vielfaches der Zahlen $5$ und $8$, das kleiner als $40$ ist.
    Wir erweitern beide Brüche auf den Hauptnenner $40$:

    $\dfrac{2\color{blue}{\cdot 8}}{5\color{blue}{\cdot 8}} + \dfrac{5\color{blue}{\cdot 5}}{8\color{blue}{\cdot 5}} = \dfrac{16}{40} + \dfrac{25}{40}$

    Jetzt addieren wir die beiden Brüchen, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten:

    $\dfrac{16}{40} + \dfrac{25}{40} = \dfrac{16+25}{40} = \dfrac{41}{40}$

    Dieses Ergebnis lässt sich nicht noch weiter kürzen, aber da der Zähler größer als der Nenner ist, können wir den Bruch als gemischte Zahl aufschreiben:

    $\dfrac{41}{40} = 1\dfrac{1}{40}$

  • Gib an, wie Brüche addiert werden.

    Tipps

    Ein möglicher gemeinsamer Nenner ist immer das Produkt der beiden Nenner.

    Ein echter Bruch ist ein Bruch dessen Zähler kleiner als der Nenner ist.

    Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner haben.

    Lösung

    Zwei Brüche können nur dann addiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben, also gleichnamig sind.

    $\rightarrow$ Um zwei Brüche addieren zu können, müssen sie gleichnamig sein. korrekt

    Dabei ist es wichtig, dass nicht alle Zahlen einfach addiert werden. Während die beiden Zähler miteinander addiert werden, wird der Nenner, der bei beiden gleich ist, als Nenner im Ergebnis übernommen.

    $\rightarrow$ Zwei gleichnamige Brüche werden miteinander addiert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert werden. falsch

    $\rightarrow$ Zwei gleichnamige Brüche werden miteinander addiert, indem Zähler mit Zähler addiert werden und der Nenner übernommen wird. korrekt

    Um zwei ungleichnamige Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, ermitteln wir häufig den sogenannten Hauptnenner. Der Hauptnenner entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kurz $\text{kgV}$) der beiden Nenner.

    $\rightarrow$ Der Hauptnenner zweier Brüche ist der kleinste gemeinsame Teiler der beiden Nenner. falsch

    Der kleinste gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist immer die $1$. Den größten gemeinsamen Teiler (kurz $\text{ggT}$) verwenden wir, wenn wir Brüche vollständig kürzen wollen.
    Als gemeinsamen Nenner können wir auch immer das Produkt der beiden Nenner verwenden, da hier aber sehr große Zahlen auftauchen können, ist es sinnvoll nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu suchen.

    Nun müssen wir die beiden Brüche so erweitern, dass beide den Hauptnenner als Nenner haben und können dann die Zähler miteinander addieren.

    Das Ergebnis der Addition kann auch ein Bruch ergeben, dessen Zähler größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:

    $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3+2}{4} = \dfrac{5}{4}$

    Das Ergebnis $\dfrac{5}{4}$ ist ein unechter Bruch, den wir auch als gemischten Bruch schreiben können: $1\dfrac{1}{4}$

    $\rightarrow$ Das Ergebnis einer Summe von zwei Brüchen ist immer ein echter Bruch. falsch

    Beispiel: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$

    Die Brüche sind nicht gleichnamig. Das heißt, wir können sie nicht direkt addieren. Um sie auf einen gemeinsamen Nenner zubringen, bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $8$, das ist die $8$. Wir erweitern den ersten Bruch auf den Hauptnenner $8$:

    $\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8}$

    Diese zwei gleichnamigen Brüche können wir addieren, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten:

    $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{6+5}{8} = \dfrac{11}{8}$

    Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen, aber wir können es in eine gemischte Zahl umwandeln:

    $\dfrac{11}{8} = 1\dfrac{3}{8}$

  • Entscheide, zu welcher Rechnung die Ergebnisse gehören. Kürze und erweitere die Brüche, wenn nötig.

    Tipps

    Berechne zuerst die Summen, indem du die Brüche auf den gleichen Nenner bringst.

    Kürze oder erweitere die Ergebnisse.

    Beispiel: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{8 : 4}{12 : 4} = \dfrac{2}{3}$

    Verwandle die Ergebnisse in gemischte Brüche.

    Beispiel: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = 1 + \dfrac{1}{4} = 1\dfrac{1}{4}$

    Lösung

    Wir gehen die Summen nacheinander durch. Das Vorgehen dabei ist immer dasselbe. Zuerst schauen wir, ob wir die Summanden kürzen können. Dann bringen wir beide Brüche auf den gleichen Nenner und addieren sie, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten. Wenn möglich, kürzen wir das Ergebnis dann noch weiter oder wandeln es in eine gemischte Zahl um.

    Beispiel 1:
    $\dfrac{14}{15} + \dfrac{7\color{blue}{\cdot 5}}{3\color{blue}{\cdot 5}} = \dfrac{14}{15} + \dfrac{35}{15} = \dfrac{14+35}{15} = \underline{\underline{\dfrac{49}{15}}} = \underline{\underline{3\dfrac{4}{15}}}$

    Da $15$ ein Vielfaches von $3$ ist, können wir den zweiten Bruch so erweitern, dass der Nenner $15$ wird. Das Ergebnis $\dfrac{49}{15}$ kann noch in die gemischte Zahl $3\dfrac{4}{15}$ umgewandelt werden, da die $15$ in die $49$ dreimal hinein passt und ein Rest von $4$ übrig bleibt.

    Beispiel 2:
    $\dfrac{5}{24} + \dfrac{2\color{blue}{: 2}}{40\color{blue}{: 2}} = \dfrac{5\color{blue}{\cdot 20}}{24\color{blue}{\cdot 20}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot 24}}{20\color{blue}{\cdot 24}} = \dfrac{100}{480} + \dfrac{24}{480} = \underline{\underline{\dfrac{124\color{blue}{: 4}}{480\color{blue}{: 4}}}} = \underline{\underline{\dfrac{31}{120}}}$

    Alternativ können wir hier auch nach dem Kürzen des zweiten Bruches beide Brüche auf den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache, $120$ bringen. Damit erhalten wir die schnellere Rechnung:

    $\dfrac{5\color{blue}{\cdot 5}}{24\color{blue}{\cdot 5}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot 6}}{20\color{blue}{\cdot 6}} = \dfrac{25}{120} + \dfrac{6}{120} = \dfrac{31}{120}$

    Beispiel 3:
    Der Hauptnenner entspricht hier der Multiplikation der beiden Nenner:

    $\dfrac{2\color{blue}{\cdot 2}}{7\color{blue}{\cdot 2}} + \dfrac{3\color{blue}{\cdot 7}}{2\color{blue}{\cdot 7}} = \dfrac{4}{14} + \dfrac{21}{14} = \dfrac{4+21}{14} = \underline{\underline{\dfrac{25}{14}}}$

    Das Ergebnis können wir in eine gemischte Zahl umwandeln:

    $\dfrac{25}{14} = \underline{\underline{1\dfrac{11}{14}}}$

    Beispiel 4:
    $\dfrac{6\color{blue}{: 2}}{16\color{blue}{: 2}} + \dfrac{18\color{blue}{: 2}}{20\color{blue}{: 2}} = \dfrac{3\color{blue}{\cdot 5}}{8\color{blue}{\cdot 5}} + \dfrac{9\color{blue}{\cdot 4}}{10\color{blue}{\cdot 4}} = \dfrac{15}{40} + \dfrac{36}{40} = \underline{\underline{\dfrac{51}{40}}}$

    Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen, aber wir können es wieder als gemischte Zahl schreiben:

    $\dfrac{51}{40} = \underline{\underline{1\dfrac{11}{40}}}$

  • Bestimme die Summe der Brüche.

    Tipps

    Alle vier Brüche müssen auf den gleichen Nenner gebracht werden.

    Ein gemeinsames Vielfaches von zwei Zahlen ist immer das Produkt. Das heißt $5 \cdot 7 = 35$ ist ein Vielfaches von $5$ und von $7$. Um das kleinste Vielfache zu finden, musst du überlegen, ob es eine kleinere Zahl als $35$ gibt, die sowohl durch $5$ als auch durch $7$ teilbar ist. In diesem Fall ist $35$ das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Um den Bruch in eine gemischte Zahl zu verwandeln, überlege, wie oft der Nenner in den Zähler passt und wie viel noch übrig bleibt.

    Zum Beispiel: $\dfrac{7}{3}$

    Die $3$ passt zweimal in die Zahl $7$, aber $2\cdot 3 = 6$. Das heißt, es bleibt noch ein Rest $1$ übrig. Damit erhalten wir:

    $\dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}$

    Lösung

    Zuerst kürzen wir soweit wie möglich, um das spätere Rechnen zu vereinfachen:

    $\dfrac{6\color{blue}{:2}}{16\color{blue}{:2}} + \dfrac{6\color{blue}{:3}}{9\color{blue}{:3}} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{18\color{blue}{:6}}{24\color{blue}{:4}} = \dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{3}+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4}$

    Dann bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache:

    $\mathrm{kgV}(8, 5) = 8 \cdot 5 = 40$

    $\mathrm{kgV}(40, 3) = 40 \cdot 3 = 120$

    Nun bringen wir alle Brüche auf den Hauptnenner, indem wir passend erweitern:

    $\dfrac{3\color{blue}{\cdot 15}}{8\color{blue}{\cdot 15}}+\dfrac{2\color{blue}{\cdot 40}}{3\color{blue}{\cdot 40}}+ \dfrac{4\color{blue}{\cdot 24}}{5\color{blue}{\cdot 24}} + \dfrac{3\color{blue}{\cdot 30}}{4\color{blue}{\cdot 30}} = \dfrac{45}{120} + \dfrac{80}{120}+\dfrac{96}{120} + \dfrac{90}{120}$

    Jetzt addieren wir die Zähler und behalten den Nenner bei und erhalten:

    $\dfrac{45}{120} + \dfrac{80}{120}+\dfrac{96}{120} + \dfrac{90}{120} = \dfrac{45+80+96+90}{120} = \dfrac{311}{120}$

    Alternativ können die Brüche auch nach und nach addiert werden. Das kann das Erweitern vereinfachen:

    $\dfrac{3\color{blue}{\cdot 3}}{8\color{blue}{\cdot 3}}+\dfrac{2\color{blue}{\cdot 8}}{3\color{blue}{\cdot 9}}+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{24} + \dfrac{16}{24} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{25}{24} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4}$

    Wenn wir die letzten beiden Brüche tauschen, vereinfacht sich das Erweitern noch weiter:

    $\dfrac{25}{24} + \dfrac{3\color{blue}{\cdot 6}}{4\color{blue}{\cdot 6}} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{25}{24} + \dfrac{18}{24} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{43}{24} + \dfrac{4}{5}$

    Analog berechnen wir die letzte Summe:

    $\dfrac{43\color{blue}{\cdot 5}}{24\color{blue}{\cdot 5}} + \dfrac{4\color{blue}{\cdot 24}}{5\color{blue}{\cdot 24}} = \dfrac{215}{120} + \dfrac{96}{120} = \dfrac{311}{120}$

    Zum Schluss können wir das Ergebnis noch in eine gemischte Zahl umwandeln:

    $\dfrac{311}{120} = \dfrac{240}{120} + \dfrac{71}{120} = 2\dfrac{71}{120}$

  • Berechne die Summe der beiden Brüche.

    Tipps

    Da es sich hier um ungleichnamige Brüche handelt, müssen wir die Brüche zuerst erweitern, um sie auf den gleichen Nenner zu bringen.

    Überlege, welche Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist. Zum Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $5$ und $7$ die Zahl $35$. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $3$ und $6$ ist die Zahl $6$.

    Bei gleichnamigen Brüchen werden nur die Zähler addiert.

    Lösung

    Es handelt sich hier um ungleichnamige Brüche. Deswegen müssen die Brüche zuerst auf den gleichen Nenner gebracht werden, bevor wir sie addieren. Dafür ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner $4$ und $8$. Wir schauen uns die ersten Vielfachen der beiden Zahlen an:

    Die Zahl $4$ hat die Vielfachen $4, \bf{8},$ $12,$ $\bf{16},$ $...$ und

    die Zahl $8$ hat die Vielfachen $\bf{8}, \bf{16},$ $24, 32,\,...$

    Die Zahlen $4$ und $8$ haben mehrere gemeinsame Vielfache, aber das kleinste gemeinsame Vielfache ist die Zahl $8$.

    Wir müssen also den ersten Bruch durch Erweitern auf den Nenner $8$ bringen, um die beiden Brüche gleichnamig zu machen. Das machen wir, indem wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer $2$ multiplizieren:

    $\dfrac{3\cdot 2}{4\cdot 2} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8}$

    Da wir jetzt zwei gleichnamige Brüche haben, können wir sie addieren, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten:

    $\dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6+1}{8} = \dfrac{7}{8}$

  • Berechne die Anteile, die jeder Freund von der Gesamtmenge erhält.

    Tipps

    Die Hälfte aller Brötchen sind Mehrkornbrötchen. Zu einem Viertel gibt es Dinkelbrötchen und zu einem Viertel gibt es Vollkornbrötchen.

    Um Bens Anteil zu finden, müssen Darias, Peters und Kims Anteile addiert und vom Ganzen abgezogen werden.

    Beispiel:
    Würde einer der Freunde $\dfrac{1}{5}$ der Mehrkorn-, $\dfrac{1}{3}$ der Dinkel- und $\dfrac{1}{2}$ der Vollkornbrötchen bekommen. Wie viele Brötchen bekommt der Freund insgesamt?

    Die Hälfte der Brötchen sind Mehrkornbrötchen: $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{10}$

    Ein Viertel der Brötchen sind Dinkelbrötchen: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$

    Ein Viertel der Brötchen sind Vollkornbrötchen: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

    Insgesamt ergibt das: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{12}{120} + \dfrac{10}{120} + \dfrac{15}{120} = \dfrac{37}{120}$

    Lösung

    Da wir nicht wissen, wie viele Brötchen Ben insgesamt und jeweils von jeder Sorte gebacken hat, müssen wir hier ausschließlich mit Anteilen, also Brüchen, arbeiten.

    Für Daria rechnen wir:

    $\begin{array}{lll} \color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{2} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{3}{4} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{5}} &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{20} &= \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,4}}{4\color{blue}{\cdot \,4}} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{20} \\ & \\ &= \dfrac{7}{16} + \dfrac{1}{20} &= \dfrac{7\color{blue}{\cdot \,5}}{16\color{blue}{\cdot \,5}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,4}}{20\color{blue}{\cdot \,4}} \\ & \\ &= \dfrac{35}{80} + \dfrac{4}{80} &= \underline{\underline{\dfrac{39}{80}}} \end{array}$

    Die Hälfte, also $\dfrac{1}{2}$ der Brötchen sind Mehrkornbrötchen. Von diesen erhält Daria $\dfrac{1}{2}$, deswegen rechnen wir $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}$.

    Ein Viertel, also $\dfrac{1}{4}$, sind Dinkelbrötchen und ein Viertel sind Vollkornbrötchen. Deswegen multiplizieren wir die anderen beiden Anteile $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{1}{5}$ bei Daria mit $\dfrac{1}{4}$.

    Analog gilt für Peter:

    $\begin{array}{lll} \color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{3} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{7} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot} \dfrac{2\color{blue}{\,: 2}}{6\color{blue}{\,: 2}}&\color{black}{= }\dfrac{1\color{blue}{\cdot \,2}}{6\color{blue}{\cdot \,2}} \color{black}{+ \dfrac{1}{28} + \dfrac{1}{12}} &= \dfrac{2}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{28} \\ & \\ &= \dfrac{3\color{blue}{\,: 3}}{12\color{blue}{\,: 3}}\color{black}{ + \dfrac{1}{28}} &= \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,7}}{4\color{blue}{\cdot \,7}} \color{black}{+ \dfrac{1}{28}} \\ & \\ &= \dfrac{7}{28} + \dfrac{1}{28} &= \dfrac{8\color{blue}{\,: 4}}{28\color{blue}{\,:4}}\color{black}{= \underline{\underline{\dfrac{2}{7}}}} \end{array}$

    Da Kim nur Vollkornbrötchen bekommt, multiplizieren wir die anderen Brötchensorten mit $0$ und erhalten für Kim:

    $\color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{\cdot 0 + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot 0 + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{4} = \underline{\underline{\dfrac{1}{16}}}}$

    Um zum Schluss noch den verbliebenen Anteil für Ben herauszufinden, müssen wir die Anteile von Daria, Peter und Kim miteinander addieren und vom Ganzen, also von $1$, abziehen:

    $\begin{array}{ll} 1 - \left( \dfrac{39}{80} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{16} \right) &= 1 - \left( \dfrac{39\color{blue}{\cdot \,7}}{80\color{blue}{\cdot \,7}} + \dfrac{2\color{blue}{\cdot \,80}}{7\color{blue}{\cdot \,80}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,35}}{16\color{blue}{\cdot \,35}} \right) \\ & \\ &= 1 - \left( \dfrac{273}{560} + \dfrac{160}{560} + \dfrac{35}{560} \right) \\ & \\ &= 1 - \dfrac{468\color{blue}{\,:4}}{560\color{blue}{\,:4}}\color{black}{ = 1 - \dfrac{117}{140} = \underline{\underline{\dfrac{23}{140}}}} \end{array}$

    Alternativ können die Anteile der Freundinnen und Freunde auch folgendermaßen berechnet werden:

    Wir wissen, dass die Hälfte aller Brötchen von der Sorte Mehrkorn ist und der Rest zu gleichen Teilen Dinkel und Vollkorn. Das heißt, wir können die gegebenen Anteile der Mehrkornbrötchen mit $2$, die Anteile der Dinkelbrötchen mit $1$ und die Anteile der Vollkornbrötchen mit $1$ gewichten und dann durch die Summe der Gewichtungen

    $2 + 1 + 1 = 4$

    teilen.

    Beispiel: Um den Anteil der Brötchen für Daria herauszufinden rechnen wir also:

    $\dfrac{2\cdot \color{blue}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{+ 1\cdot} \color{blue}{\dfrac{3}{4}}\color{black}{+ 1\cdot} \color{blue}{\dfrac{1}{5}}}{4} = \dfrac{1 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{5}}{4} = \dfrac{\dfrac{20}{20} + \dfrac{15}{20} + \dfrac{4}{20}}{4} = \dfrac{\dfrac{39}{20}}{4} = \dfrac{39}{80}$

    Hier haben wir bei der Addition der Brüche die Brüche jeweils so erweitert, dass sie auf den Hauptnenner $20$ (das kleinste gemeinsame Vielfache von vier und fünf) kommen.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.154

sofaheld-Level

6.572

vorgefertigte
Vokabeln

8.909

Lernvideos

38.903

Übungen

35.008

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden