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Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung

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Team Digital
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen zu bestimmen.

Zunächst lernst du, wie du das kgV mit den Zahlenreihen der Vielfachen bestimmen kannst. Anschließend lernst du, wie du das kgV mit Hilfe der Primfaktorzerlegung bestimmen kannst. Abschließend kannst du ein paar Übungsaufgaben rechnen, bei denen du selbst entscheidest, welchen Rechenweg du bevorzugst.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), Zahlenreihen der Vielfachen und Primfaktorzerlegung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was das kgV ist und wie man die Vielfachen einer Zahl bestimmt.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man das kgV in der Bruchrechnung anwenden kann.

Transkript Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung

Die drei Buddys Marsin, Merkurt und Neptoni haben sich ewig nicht gesehen. Daher wollen sie sich auf Planet Multiplex treffen, denn der liegt genau in der Mitte ihrer Galaxien. Aber die intergalaktischen Verkehrsmittel sind echt von gestern. Marsin kann alle drei Jahre das Space Shuttle zum Planeten Multiplex nehmen, bei Merkurt fliegt es nur in einem Abstand von neun Jahren, und Neptoni kann sogar nur alle zwölf Jahre nach Multiplex reisen. Da verpassen sie sich ja ständig! Wann können die drei denn endlich zusammen chillen und über die guten alten Zeiten quatschen? Das verrät uns das „kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV“ Doch zunächst ist ein bisschen Übung nötig. Zur Bestimmung des kgV von zwei Zahlen kennen wir zwei Möglichkeiten: Wir können entweder die Zahlenreihen der Vielfachen vergleichen, oder die Primfaktorzerlegung anwenden. Schauen wir uns zuerst die Bestimmung des kgV mit Hilfe der Vielfachen an. Diese Methode eignet sich vor allem für kleinere Zahlen. Wie zum Beispiel sechs und acht. Wir notieren uns zuerst einige Vielfache der sechs, und anschließend die Vielfachen der acht, bis wir das erste gemeinsame Vielfache gefunden haben. Diese Zahl ist dann das kleinste gemeinsame Vielfache. In unserem Fall die vierundzwanzig. Bei größeren Zahlen, kann es sehr aufwendig werden die Zahlenreihen der Vielfachen aufzustellen. Dann bietet sich die Methode der Primfaktorzerlegung an. Zum Beispiel, wenn wir das kgV von zwölf und einundzwanzig berechnen möchten. Wir bestimmen in einem ersten Schritt die Primfaktoren beider Zahlen. Und schreiben diese dann so untereinander, dass Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen, genau untereinander stehen. Um das kgV zu erhalten, müssen wir jetzt nur noch alle vorkommenden Primfaktoren multiplizieren. Primfaktoren, die in den Primfaktorzerlegungen doppelt vorkommen, werden aber nur einmal in diese Multiplikation mit aufgenommen. Das kgV ist hier also gleich vierundachtzig. Jetzt bist du dran! Es soll das kgV von neun und fünfzehn mit den Zahlenreihen der Vielfachen bestimmt werden. Pausiere das Video kurz und rechne selbst! Wenn wir die Vielfachen notiert haben sehen wir, dass die fünfundvierzig das kleinste gemeinsame Vielfache ist. Gar nicht so schwierig oder? Noch eine Aufgabe. Diesmal soll mit der Primfaktorzerlegung gerechnet werden. Rechne zunächst wieder selbst, dann kannst du dein Ergebnis vergleichen. Hier siehst du die Primfaktorzerlegungen. Wenn wir diese entsprechend anordnen, erhalten wir das kgV: zweiundsiebzig. Alles klar, hier sind ein paar weitere Aufgaben zum üben. Du kannst jetzt selbst entscheiden, welchen Rechenweg du anwenden willst. Die Lösungen erscheinen in drei, zwei, eins. Hier siehst du sie auf einen Blick! Konntest du die kgV bestimmen? Nice, dann können wir uns ja jetzt wieder unseren drei Buddys widmen. Damit die sich auf Planet Multiplex treffen können, müssen sie ein Jahr abpassen, in dem alle drei einen Space Shuttle nehmen können. Bei Marsin fliegt der Shuttle-Service alle drei, bei Merkurt alle neun, und bei Neptoni alle zwölf Jahre. Findest du heraus in welchen Zeitabständen alle drei im selben Jahr anreisen können? Kleiner Tipp: Wir können wieder die Vielfachen betrachten oder die Primfaktorzerlegung durchführen. Jetzt aber mit drei anstatt mit zwei Zahlen. Die Antwort gibt's wieder in drei, zwei, eins. Wir müssen also das kgV der drei Zahlen berechnen und erhalten das Ergebnis sechsunddreißig. Alle sechsunddreißig Jahre nur! Da müssen die drei sich wohl noch etwas gedulden! Egal, Vorfreude ist die schönste Freude. Wir fassen in der Zwischenzeit nochmal zusammen: Zur Bestimmung des kgV haben wir zwei Möglichkeiten: Bei der ersten Option vergleichen wir die Zahlenreihen der Vielfachen. Dazu müssen wir zunächst die Vielfachen notieren und dann die Zahl suchen, die als erste in beiden Zahlenreihen auftritt. Diese ist dann unser kgV. Außerdem können wir das kgV mit der Primfaktorzerlegung bestimmen. Dafür zerlegen wir die Zahlen zunächst in ihre Primfaktoren und multiplizieren anschließend die Primfaktoren beider Zahlen, wobei wir Primfaktoren, die doppelt vorkommen, nur einmal in die Multiplikation übernehmen. Auch so erhalten wir das kgV. Die Methode der Primfaktorzerlegung eignet sich vor allem bei größeren Zahlen. Endlich ist der Zeitpunkt gekommen! Marsin, Merkurt und Neptoni sind angereist. Aber hey, wo steckt denn Toni? Oha, da hätten sie sich wohl etwas präziser verabreden sollen.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Voll cool

    Von LucasArcher10, vor etwa einem Monat
  2. Sehr gut geklärt!!!!

    Von Amelie, vor etwa 2 Monaten
  3. Tolles Video habe es hier besser verstanden als im Unterricht :)

    Von Lena Thieken, vor 2 Monaten
  4. Die Übungen waren schwer, aber beim zweiten Mal habe ich alles richtig gemacht.
    Ich habe mich gefreut, dass ich die Übungen alle richtig gemacht habe!!!
    !!!Ich bin soooooo stolz auf mich!!! Wir (meine Klasse) haben das noch nicht mal gelernt!

    Von Lang-Sen, vor 8 Monaten
  5. Chillen😂

    Von Josephine #Team Beky, vor 10 Monaten

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Beispiel:

    $2$, $5$ und $13$ sind Primzahlen, $4$ und $15$ nicht.

    Lösung

    Primzahlen sind Zahlen, die nur sich selbst und $1$ als Teiler haben. So sind zum Beispiel $2$, $5$ und $13$ Primzahlen, aber $4 = 2 \cdot 2$ und $15 = 3 \cdot 5$ nicht.
    Wir können jede Zahl als Produkt aus Primfaktoren schreiben. Das nennen wir Primfaktorzerlegung.

    Wir können mit Hilfe der Primfaktorzerlegung zweier Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen bestimmen. Dazu multiplizieren wir alle Primfaktoren, wobei gemeinsame Faktoren nur einmal in das Produkt eingehen.

    Beispiel:
    $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
    $21 = 3 \cdot 7$
    $\text{kgV}(12,21) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$
    Die $3$ kommt im Produkt für das $\text{kgV}$ nur einmal vor.

  • Gib an, wann welches Verfahren zur Bestimmung des $\text{kgV}$ besonders geeignet ist.

    Tipps

    Betrachte Beispiele mit kleineren und größeren Zahlen.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache von $31$ und $40$ ist $1240$.
    Bei $6$ und $15$ ist es $30$.

    Lösung

    Wir kennen zwei Methoden, um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu bestimmen: den Vergleich der Vielfachenmengen und die Primfaktorzerlegung.

    Theoretisch führen beide Methoden immer zum Ziel, so auch bei $\text{kgV}(6, 8) = 24$. In der Praxis eignet sich die Vielfachenmenge allerdings nur bei eher kleinen Zahlen, da der Aufwand sonst sehr groß wird.

    Betrachten wir z.B. das kleinste gemeinsame Vielfache von $31$ und $40$:
    $V_{31} = \lbrace 31, 62, 93, 124, 155, ... 1209, \mathbf{1240} ...\rbrace$
    $V_{40} = \lbrace 40, 80, 120, 160, ... 1200, \mathbf{1240} ...\rbrace$
    Hier wäre es extrem aufwändig, die vollständigen Vielfachenmengen aufzuschreiben.

    Im Vergleich dazu die Primfaktorzerlegung:
    $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
    $31$ ist eine Primzahl.
    Damit ergibt sich $\text{kgV}(31, 40) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 31 = 1240$.

    Die Primfaktorzerlegung führt hier schnell zum Ziel. Dass die beiden Zahlen keinen gemeinsamen Primfaktor haben, ist dabei kein Problem.

  • Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$, $8$ und $15$.

    Tipps

    Primfaktoren, die bei mehreren Zahlen vorkommen, werden für das $\text{kgV}$ nur einmal multipliziert.

    Beispiel:

    Lösung

    Bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von drei Zahlen gehen wir genauso vor, wie bei zwei Zahlen.

    Wir bestimmen zunächst die Primfaktorzerlegung für jede der drei Zahlen:

    $6 = \mathbf{2 \cdot 3}$
    $8 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2$
    $15 = \mathbf{3} \cdot 5$

    Das kleinste gemeinsame Vielfache erhalten wir, indem wir die Primfaktoren aller Zahlen multiplizieren. Faktoren, die bei mehreren Zahlen auftauchen, werden immer nur einmal multipliziert.

    $\text{kgV}(6, 8, 15) = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 5 = 120$

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Tipps

    Bei größeren Zahlen ist die Primfaktorzerlegung in der Regel effizienter.

    Beispiel:

    Bei solchen Aufgaben könntest du auch einfach prüfen, welches der angegebenen $\text{kgV}$ überhaupt ein Vielfaches deiner Zahlen ist.

    Lösung

    Da es sich bei den Aufgaben um größere Zahlen handelt, entscheiden wir uns für die Primfaktorzerlegung, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.
    Wir bestimmen dazu die Primfaktorzerlegung der einzelnen Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich als Produkt aus allen Primfaktoren, die in den Zerlegungen vorkommen. Primfaktoren, die bei beiden Zahlen vorkommen, gehen nur einmal in das Produkt ein.

    1. Beispiel:

    $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
    $15 = 3 \cdot 5$

    $\text{kgV}(12, 15) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

    2. Beispiel:

    $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
    $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

    $\text{kgV}(18, 27) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$

    3. Beispiel:

    $15 = 3 \cdot 5$
    $50 = 2 \cdot 5 \cdot 5$

    $\text{kgV}(15, 50) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150$

    4. Beispiel:

    $21 = 3 \cdot 7$
    $35 = 5 \cdot 7$

    $\text{kgV}(21, 35) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

    5. Beispiel:

    $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
    $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

    $\text{kgV}(32, 72) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 288$

  • Gib das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen an.

    Tipps

    Das kleinste gemeinsame Vielfache ist immer die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt.

    Beispiel $4$ und $6$:

    $V_4 = \lbrace 4, 8, \mathbf{12}, 16, 20, ...\rbrace$
    $V_6 = \lbrace 6, \mathbf{12}, 24, 30, ...\rbrace$

    $\text{kgV}(4, 6) = 12$

    Lösung

    Wir können das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen bestimmen, indem wir die Vielfachenmengen der beiden Zahlen aufschreiben. Die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen auftaucht, ist dann das $\text{kgV}$.

    Beispiel 1:

    $6$ und $8$

    $V_6 = \lbrace 6, 12, 18, \mathbf{24}, 30, 36, 42, 48, 54, ...\rbrace$
    $V_8 = \lbrace 8, 18, \mathbf{24}, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...\rbrace$
    $\text{kgV}(6, 8) = 24$

    Beispiel 2:

    $8$ und $14$

    $V_8 = \lbrace 8, 18, 24, 32, 40, 48, \mathbf{56}, 64, 72, ...\rbrace$
    $V_{14} = \lbrace 14, 28, 42, \mathbf{56}, 70, 84, ...\rbrace$
    $\text{kgV}(8, 14) = 56$

    Beispiel 3:

    $9$ und $15$

    $V_9 = \lbrace 9, 18, 27, 36, \mathbf{45}, 54, 63, 72, ...\rbrace$
    $V_{15} = \lbrace 15, 30, \mathbf{45}, 60, 75, ...\rbrace$
    $\text{kgV}(9, 15) = 45$

  • Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Tipps

    Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren.

    Beispiel:

    $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

    Lösung

    Wir verwenden wieder die Primfaktorzerlegung, um das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen zu bestimmen. Eine Bestimmung über die Vielfachenmengen wäre ebenfalls möglich, hier aber sehr aufwändig.

    1. Beispiel:

    $120 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 5$
    $42 = \mathbf{2 \cdot 3} \cdot 7$

    $\text{kgv}(120, 42) = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 5 \cdot 7 = 840$

    2. Beispiel:

    $3$, $5$ und $7$ sind Primzahlen, wir können sie daher nicht weiter in Faktoren zerlegen.

    $\text{kgv}(3, 5, 7) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

    3. Beispiel:

    $30 = \mathbf{2 \cdot 3} \cdot 5$
    $33 = \mathbf{3} \cdot 11$
    $36 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 3$

    $\text{kgv}(30, 33, 36) = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 1980$

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