Parallele und orthogonale/senkrechte Geraden – Definition

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Grundlagen zum Thema Parallele und orthogonale/senkrechte Geraden – Definition
Definition – orthogonal und parallel
Zwei Geraden $g$ und $h$ können unterschiedliche Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können entweder aufeinanderliegen ($g=h$), orthogonal zueinander ($g \perp h$) sein, parallel sein ($g \parallel h$) oder sich nur in einem Punkt schneiden, ohne dass sie orthogonal zueinander sind.
Was ist orthogonal?
Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander (oder auch: senkrecht aufeinander), wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.
Sind zwei Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander, so schreibt man
$g \perp h$.
Generell gilt, dass, wenn $g$ senkrecht bzw. orthogonal zu $h$ ist, auch $h$ senkrecht zu $g$ ist.
Beschreibt man die Lagebeziehung von drei Geraden $g$, $h$ und $k$ in einer Ebene und es gilt $g \perp h$ und $h \perp k$, so liegen $g$ und $k$ entweder aufeinander ($g =k$) oder sie sind parallel zueinander ($g \parallel k$).
Zu jeder Geraden $g$ gibt es beliebig viele Geraden, die orthogonal zu ihr sind. Erst durch die Angabe eines Punktes $P$ kann eine bestimmte Gerade konstruiert werden, die orthogonal zu $g$ ist.
Was ist parallel?
Von parallelen Geraden spricht man, wenn sich die Geraden in keinem Punkt schneiden.
Sind zwei Geraden $g$ und $h$ parallel, so schreibt man
$g \parallel h$.
Beispiele für orthogonale und parallele Geraden
In den folgenden Beispielen wird beschrieben, ob einzelne Geraden orthogonal oder parallel zueinander liegen.
- $i$ liegt hier orthogonal zu $j$ ($i \perp j$), woraus auch folgt, dass $j$ orthogonal zu $i$ ist ($j \perp i$).
- $g$ ist parallel zu $h$ ($g \parallel h$).
- $a$ liegt hier orthogonal zu $b$ ($a \perp b$), woraus auch folgt, dass $b$ orthogonal zu $a$ ist ($b \perp a$).
- $c$ ist parallel zu $d$ ($c \parallel d$).
Anwendung paralleler und orthogonaler Geraden
Bei einem ebenen kartesischen Koordinatensystem liegen die $x$- und die $y$-Achse orthogonal zueinander. Dies ermöglicht die übersichtliche Darstellung einzelner Punkte und Objekte in der Ebene, ohne dass sie verschoben oder verzerrt werden. Daher wird dieses Koordinatensystem üblicherweise benutzt. Im folgenden Koordinatensystem sind die Achsen orthogonal zueinander und die zwei Geraden liegen parallel zueinander. Beide Geraden schneiden jeweils einmal jede Achse.
Anmerkung zu orthogonalen Geraden
Je nach Lagebeziehung kann der Abstand zweier Geraden gemessen werden. Bei orthogonalen Geraden ist der Abstand zueinander an jedem Punkt unterschiedlich. Bei parallelen Geraden ist der Abstand hingegen an jedem Punkt gleich.
Transkript Parallele und orthogonale/senkrechte Geraden – Definition
Huch, was ist denn das? Seltsam. Vielleicht können wir das so machen? Ah, besser! Aber was ist das überhaupt? Das hört ja gar nicht mehr auf. Stopp, stopp, stopp! Warte mal! Diese Linie hat offensichtlich keinen Anfangs- und auch keinen Endpunkt. Dann ist es also eine Gerade! Geraden sind nämlich unendlich lang, ohne Anfang und ohne Ende. Huch, was passiert denn jetzt? Diese Linie hat offenbar einen Anfangspunkt aber keinen Endpunkt. Solche Linien nennen wir Strahl, oder auch Halbgerade. Hat eine Linie sowohl einen Anfangs- als auch einen Endpunkt, dann bezeichnen wir sie mit Strecke. Was ist das denn jetzt schon wieder? Jetzt haben wir hier noch eine Gerade. Wir sehen, dass diese sich nicht schneiden, egal wie lange wir ihnen folgen. Deshalb sprechen wir hier von zwei parallelen Geraden. Geraden werden in der Regel mit kleinen Buchstaben bezeichnet. In diesem Fall nennen wir die eine Gerade g und die andere Gerade h. Also schreiben wir: g ist parallel zu h. Das bedeutet: Haben alle Punkte auf einer Geraden den gleichen Abstand zu einer anderen Geraden, dann sind sie parallel zueinander. Sie schneiden sich niemals. Und was passiert wohl jetzt? Jetzt sind die Geraden nicht mehr parallel zueinander. Nun haben nicht mehr alle Punkte den gleichen Abstand zur anderen Geraden. Wenn nicht alle Punkte auf einer Geraden den gleichen Abstand zu einer anderen Geraden haben, dann schneiden sich diese Geraden. Wir schreiben das so: g ist nicht parallel zu h. Allez Hopp! Jetzt stehen die Geraden senkrecht zueinander. Wir sprechen hier auch von orthogonalen Geraden. Der Begriff orthogonal kommt aus dem Griechischen und bedeutet in etwas so viel wie rechtwinklig. g und h schneiden sich hier nämlich in einem Winkel von 90 Grad. Wir schreiben das so: g ist senkrecht zu h. Lass und das noch einmal zusammenfassen. Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie in allen Punkten den gleichen Abstand zueinander haben. Je nachdem, wie wir die Geraden bezeichnen, schreiben wir: g ist parallel zu h. Das heißt, dass sich diese beiden Geraden niemals schneiden. Stehen die Geraden senkrecht zueinander, spricht man von orthogonalen Geraden. Steht g senkrecht zu h, dann schneiden sie sich im rechten Winkel. In diesem Fall können wir notieren: g ist senkrecht zu h. So, endlich am Ende. Geht das jetzt schon wieder los? Nanu, du auch hier? Ich habe gerade an dich gedacht. Lass uns doch mal wieder treffen. Äh, ja natürlich.
Parallele und orthogonale/senkrechte Geraden – Definition Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu parallelen und senkrechten Geraden.
TippsEinen Strahl nennt man auch Halbgerade.
Geraden sind unendlich lang.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Ein Strahl hat einen Anfangs- und Endpunkt.“
- Einen Strahl nennt man auch Halbgerade. Er hat einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt.
- Zwei senkrecht zueinander stehende Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel. Dieser beträgt $90^{\circ}$.
„Eine Gerade hat keinen Anfangs- oder Endpunkt.“
- Geraden sind unendlich lang. Sie haben weder Anfangs- noch Endpunkt und kommen aus dem Unendlichen und verschwinden dort.
- Zwei parallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander. Sie können sich also nie schneiden. Dieser Abstand darf allerdings nicht null sein. Sonst wären die Geraden identisch.
- Haben zwei Geraden nicht überall den gleichen Abstand, müssen sie sich irgendwann schneiden.
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Beschreibe die verschiedenen Typen von Geraden.
TippsHaben zwei Geraden überall den gleichen Abstand zueinander, dann können sie sich nicht schneiden.
Haben zwei Geraden nicht überall den gleichen Abstand zueinander, dann müssen sie sich irgendwo schneiden.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Eine Gerade ist unendlich lang. Sie hat keinen Anfangs- und Endpunkt.
Ein Strahl ist unendlich lang. Er hat einen Anfangs-, aber keinen Endpunkt.
Eine Strecke ist endlich lang. Sie hat Anfangs- und Endpunkt.“
- Diese Eigenschaften von geraden Linien musst du dir merken.
$g \parallel h$“
- Haben zwei Geraden überall den gleichen Abstand zueinander, dann können sie sich nicht schneiden.
$g \nparallel h$.“
- Haben zwei Gerade nicht überall den gleichen Abstand zueinander, dann müssen sie sich irgendwo schneiden.
$g \perp h$.“
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Erschließe, welche Geraden parallel sind.
TippsZwei Geraden sind parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand zueinander haben.
Wenn zwei Geraden sich schneiden, kannst du sicher sein, dass sie nicht parallel sind.
LösungZwei Geraden sind parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand zueinander haben. Demnach stellen das erste und dritte Bild jeweils zwei zueinander parallele Geraden dar.
Den Abstand zweier paralleler Geraden misst du, indem du ein Lot zwischen diesen konstruierst und die Länge von diesem misst.
Wenn zwei Geraden sich schneiden, kannst du sicher sein, dass sie nicht parallel sind.
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Ermittle die Lagebeziehungen der Geraden.
TippsWenn zwei Geraden sich schneiden, kannst du sicher sein, dass sie nicht parallel sind.
Schneiden sich zwei Geraden im rechten Winkel, sind sie senkrecht zueinander.
LösungDen Abstand einer Geraden von einer anderen misst du, indem du die senkrechte Strecke misst, nach der du auf die andere Gerade auftriffst.
Wenn zwei Geraden sich schneiden, kannst du sicher sein, dass sie nicht parallel sind.
Schneiden sich zwei Geraden im rechten Winkel, sind sie senkrecht zueinander.
So erhalten wir für die erste Zeichnung:
$g\parallel h$,
$g \nparallel i$,
$h \nparallel i$ und
$i \perp j$.
Und für die zweite Zeichnung:
$d \nparallel b$,
$c \parallel d$,
$c \nparallel a$ und
$a \perp b$.
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Beschreibe die Lage der abgebildeten Geraden zueinander.
TippsZwei parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand.
Diese Geraden stehen senkrecht zueinander.
LösungSo kannst du die Werte zuordnen:
- Zwei parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand. Man beschreibt sie mit diesem Zeichen: $\parallel$.
- Zwei sich schneidende Geraden haben nicht überall den gleichen Abstand. Man beschreibt sie mit diesem Zeichen: $\nparallel$.
- Zwei senkrechte Geraden schneiden sich in einem Winkel von $90^{\circ}$.
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Ermittle die Abstände der geometrischen Figuren von der Geraden.
TippsIn der Geometrie ist der Abstand definiert als die kürzeste Verbindung zweier geometrischer Objekte. Der Abstand von einer Geraden muss immer im rechten Winkel von dieser Geraden abgehen.
Da der Abstand die kürzeste Verbindung ist, beträgt dieser $0$, wenn sich die Geraden schneiden.
LösungIn der Geometrie ist der Abstand definiert als die kürzeste Verbindung zweier geometrischer Objekte. Der Abstand von einer Geraden muss immer im rechten Winkel von dieser Geraden abgehen. Da der Abstand die kürzeste Verbindung ist, beträgt dieser $0$, wenn sich die Geraden schneiden. Deshalb gilt:
- Die sich schneidenden Geraden $g$ und $i$ haben einen Abstand von $0~\text{cm}$.
- Die parallelen Geraden $g$ und $h$ haben einen Abstand von $1~\text{cm}$.
- Die Gerade $g$ hat einen Abstand von $2~\text{cm}$ vom Punkt $P$.
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