40%

Cyber Monday-Angebot – nur bis zum 4.12.2022

sofatutor 30 Tage lang kostenlos testen & dann 40 % sparen!

Das dreidimensionale Koordinatensystem

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Gib eine Bewertung ab!

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Das dreidimensionale Koordinatensystem
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Das dreidimensionale Koordinatensystem

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, dich im dreidimensionalen Koordinatensystem zurechtzufinden.

Koordinatenebenen.jpg

Zunächst lernst du, worin sich das dreidimensionale Koordinatensystem vom zweidimensionalen Koordinatensystem unterscheidet. Anschließend zeichnen wir Punkte in das dreidimensionale Koordinatensystem ein. Abschließend erfährst du, warum wir Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem nicht eindeutig bestimmen können und was uns dabei helfen kann.

Punkte ins dreidimensionale Koordinatensystem einzeichnen.jpg

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Koordinatensystem, kartesisch, räumlich, Koordinatenursprung, Koordinatenebenen, und Koordinatenzug.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits das zweidimensionale Koordinatensystem kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr zum Themengebiet der analytischen Geometrie zu lernen.

Transkript Das dreidimensionale Koordinatensystem

Gehst du auch nach einem langen Schultag hin und wieder mal joggen um den Kopf frei zu kriegen? Das monotone Laufen wirkt entspannend. Falls es dann doch mal eintönig wird, kann man sich ja auch mal von der zweidimensionalen Laufebene trennen und den dreidimensionalen Raum erobern. Und für den absoluten Adrenalin-Kick gibts dann auch noch das Parkour-Running. Um auch im dreidimensionalen Raum den Überblick zu behalten, schauen wir uns einmal das dreidimensionale Koordinatensystem an. Fangen wir erst einmal in bekannten Gewässern an: das zweidimensionale Koordinatensystem kennen wir schon. Bei diesem ebenen Koordinatensystem stehen die x- und die y-Achse senkrecht aufeinander, beide haben einen positiven und einen negativen Abschnitt, und alle Punkte auf dieser Ebene sind durch zwei Koordinaten eindeutig verortet. Um nun eine dritte Dimension hinzuzufügen, wird eine dritte Achse benötigt. Auch wenn es hier nicht überall nach neunzig Grad aussieht, dürfen wir uns nicht täuschen lassen: die diagonale Achse verläuft ebenfalls senkrecht zu den anderen beiden Achsen. Doch um die Räumlichkeit auf einem Blatt Papier visualisieren zu können, wird die Achse in einem 45-Grad-Winkel gezeichnet. Genauso wie wir es von Schrägbildern kennen. Da die Achsen senkrecht zueinanderstehen, sprechen wir auch von einem „kartesischen Koordinatensystem“. Der Namensgeber hierfür ist übrigens der französische Philosoph und Mathematiker René Descartes. Jetzt wäre es natürlich zu einfach, diese neue dritte Achse als z-Achse zu bezeichnen. Es ist allerdings allgemein üblich, dass die nach vorn laufender Achse mit x, die zur Seite verlaufende Achse mit y, und die nach oben verlaufender Achse mit z bezeichnet wird. Statt x, y und z findet man manchmal auch die Achsenbezeichnungen x-eins, x-zwei und x-drei. Wir bleiben allerdings erstmal bei x, y und z und teilen als nächstes die Achsen in gleichlange Einheiten ein. Während bei der y- und z-Achse wie gewohnt eine Einheit zwei Kästchenlängen entspricht, ist es bei der x-Achse jeweils eine Kästchendiagonale. Die Einheiten werden also aufgrund des räumlichen Effekts verkürzt dargestellt. Das sieht doch ganz hübsch aus, oder? Besonders schön anzusehen sind die Koordinatenebenen, die von den Achsen aufgespannt werden. Die x-y-Ebene verläuft horizontal, die y-z-Ebene und die x-z-Ebene vertikal. Auch diese Ebenen stehen, wie die Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander. Sehr elegant! Schauen wir uns als nächstes an, wie man Punkte ins räumliche Koordinatensystem einzeichnet. Der wohl am einfachsten einzuzeichnende Punkt ist der Koordinatenursprung. Funfact: Das O steht übrigens für „origin“, also Ursprung. Wie passend! Er befindet sich im gemeinsamen Schnittpunkt der Koordinatenachsen, in „null, null, null“. Ja, du hast richtig gehört: Da wir nun drei Achsen haben, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Wenn wir andere Punkte einzeichnen wollen, zum Beispiel den Punkt „zwei, drei, vier“, gehen wir - vom Koordinatenursprung aus - zwei Einheiten in Richtung der x-Achse, also nach vorne, dann drei Einheiten in Richtung der y-Achse, also nach rechts, und von dort aus anschließend vier Einheiten entlang der z-Achse, also nach oben. An diesem Endpunkt des sogenannten Koordinatenzuges befindet sich der gesuchte Punkt P. Wenn die Koordinaten der Punkte negativ sind, müssen wir natürlich in Richtung des negativen Abschnitts der jeweiligen Achse gehen. So verläuft der Koordinatenzug des Punktes „minus zwei, eins, minus drei“, zwei Einheiten nach hinten, eine Einheit nach rechts, und drei Einheiten nach unten. Der Punkt liegt daher hier. Es sieht so aus, als würde Q genau senkrecht unter P liegen. Das ist allerdings eine optische Täuschung, die dadurch entsteht, dass wir das räumliche Koordinatensystem auf einer zweidimensionalen Bildschirmfläche abbilden. Natürlich liegt P viel weiter vorne als Q, aber ohne Koordinatenzüge kann man das nicht erkennen. Etwas klarer wird es vielleicht, wenn wir zwischen dem Ursprung und den Punkten P und Q jeweils einen Quader einzeichnen. Da sehen wir eindeutig, dass der Quader von P VOR der y-Achse und der Quader von Q hinter der y-Achse verläuft. Damit liegt P also weiter vorne als Q. Und was sagst du zu diesem Punkt? Liegt er auf der waagerechten Kante des roten Quaders, oder auf der senkrechten Kante des grünen Quaders? Spoileralarm: Weder noch. Die Koordinaten sind nicht eindeutig ablesbar und die genaue Lage können wir erst bestimmen, wenn wir den Koordinatenzug kennen. Jetzt wird klar: Der Punkt S liegt noch weiter vorne, als wir dachten. Man muss im dreidimensionalen Raum also wirklich die Augen offenhalten und darf sich nicht hinters Licht führen lassen. Bevor es also in den nächsten Parkour geht, fassen wir die wichtigsten Punkte nochmal zusammen. Beim dreidimensionalen Koordinatensystem können wir durch eine dritte, diagonale Achse die Räumlichkeit darstellen. Die neue Reihenfolge der Achsenbezeichnungen solltest du dir dabei gut merken: Die x-Achse verläuft nach vorn, die y-Achse nach rechts und die z-Achse nach oben. Manchmal lauten die Bezeichnungen auch x-eins, x-zwei und x-drei. Da es jetzt drei Achsen gibt, haben Punkte dementsprechend auch drei Koordinaten. Um sie einzuzeichnen, nutzen wir den Koordinatenzug, mit dem wir die Achsen einzeln abschreiten. Eingezeichnete Punkte können wir in diesem Koordinatensystem erst dann verorten, wenn wir den dazugehörigen Koordinatenzug kennen. Jetzt, da du nun ganz genau weißt, wo welche Punkte zu verorten sind, kannst du sie ziel- und treffsicher in deine nächste dreidimensionale Laufrunde einbinden.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Wow just wow

    Von Mam jai sarr, vor 13 Tagen
  2. Sooo gut und schön

    Von Mam jai sarr, vor 13 Tagen
  3. Wow

    Von Mam jai sarr, vor 13 Tagen
  4. Es

    Von Mam jai sarr, vor 13 Tagen
  5. Ich liebe

    Von Mam jai sarr, vor 13 Tagen
Mehr Kommentare

Das dreidimensionale Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das dreidimensionale Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, ob die Aussagen richtig sind.

    Tipps

    Die $x$-$z$-Ebene ist eine Ebene, welche durch die $x$- und die $z$-Achse aufgespannt wird.

    Die $x$-$z$-Ebene verläuft vertikal.

    Lösung

    Das ebene Koordinatensystem:
    Beim ebenen Koordinatensystem stehen die $x$- und die $y$-Achse senkrecht aufeinander. Beide haben einen positiven und einen negativen Abschnitt. Ein Punkt wird durch zwei Koordinaten eindeutig verortet.

    Erweiterung des ebenen zum dreidimensionalen Koorindatensystem:
    Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird eine dritte Achse benötigt: Die $z$-Achse. Um die Räumlichkeit auf einem Blatt Papier zu visualisieren, wird die dritte Achse in einem $45^\circ$-Winkel gezeichnet. Sie verläuft tatsächlich aber senkrecht zu den anderen beiden Achsen. Da die Achsen senkrecht zueinander stehen, sprechen wir auch von einem kartesischen Koordinatensystem.
    Die $z$-Achse verläuft im $45^\circ$-Winkel zu den anderen beiden Achsen. Dies ist also falsch.

    Die Koordinatenebenen:
    Die Ebenen, die von den Achsen aufgespannt werden, nennen wir Koordinatenebenen.
    Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal. Dies ist richtig. Die $y$-$z$-Ebene und die $x$-$z$-Ebene verlaufen hingegen vertikal. Auch diese Ebenen stehen, wie die Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander.
    Die Koordinatenebenen stehen senkrecht aufeinander. Diese Aussage ist also richtig.

    Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:
    Da wir nun drei Achsen haben, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel.
    Die Angabe eines Punktes im Dreidimensionalen wird als Zahlentripel bezeichnet. Diese Aussage ist also richtig.
    Der Ursprung im dreidimensionalen Koordinatensystem ist gleich $(0|0)$. Diese Aussage ist falsch. Der Ursprung lautet im Dreidimensionalen: $(0|0|0)$.
    Die Koordinaten eines Punktes sind nicht eindeutig ablesbar und die genaue Lage können wir erst bestimmen, wenn wir den Koordinatenzug kennen.
    Ein Punkt kann im dreidimensionalen nicht eindeutig angegeben werden. Dies ist falsch. Ein Punkt kann eindeutig angegeben werden, nur aus der grafischen Darstellung lassen sich die Koordinaten nicht eindeutig ablesen.

  • Bennenne die Koordinatenachsen und die Koordinatenebenen.

    Tipps

    Manchmal werden die Koordinatenachsen auch mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ beschriftet.

    Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal.

    Die anderen beiden Ebenen verlaufen vertikal.

    Lösung

    Im dreidimensionalen Koordinatensystem stehen alle drei Achsen senkrecht zueinander. Wir sprechen daher auch von einem kartesischen Koordinatensystem.

    • Die Achse, die nach vorne zeigt, nennt man die $x$-Achse.
    • Die Achse, die nach rechts zeigt, nennt man die $y$-Achse.
    • Die Achse, die nach oben zeigt, nennt man die $z$-Achse.

    Die Ebenen, die von den Achsen aufgespannt werden, nennen wir Koordinatenebenen.
    Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal. Die $y$-$z$-Ebene und die $x$-$z$-Ebene verlaufen hingegen vertikal. Auch diese Ebenen stehen, wie die Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander.

  • Bestimme die Koordinaten der Punkte.

    Tipps

    Allgemein wird ein Punkt wie folgt angegeben:

    $P(x|y|z)$

    Die Koordinaten der Punkte sind nicht eindeutig ablesbar. Du kannst sie ermitteln, indem du den Koordinatenzug verfolgst.

    Lösung

    Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:
    Da wir im dreidimensionalen Koordinatensystem drei Achsen haben, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Die Koordinaten eines Punktes sind nicht eindeutig ablesbar und die genaue Lage können wir erst bestimmen, wenn wir den Koordinatenzug kennen.

    Wir überlegen uns also zu jedem gegebenen Punkt, wie wir ihn vom Ursprung aus erreichen können. Dabei verwenden wir die Tatsache, dass es sich bei den Punkten um die Eckpunkte eines Quaders mit der Länge $4$, der Breite $5$ und der Höhe $3$ handelt.

    • $A(4|0|0)$
    $4$ Einheiten nach vorne.
    • $B(4|5|0)$
    $4$ Einheiten nach vorne und $5$ Einheiten nach rechts.
    • $C(0|5|0)$
    $5$ Einheiten nach rechts.
    • $D(0|0|0)$
    Dies ist der Koordinatenursprung.
    • $E(4|0|3)$
    $4$ Einheiten nach vorne und $3$ Einheiten nach oben.
    • $F(4|5|3)$
    $4$ Einheiten nach vorne, $5$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach oben.
    • $G(0|5|3)$
    $5$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach oben.
    • $H(0|0|3)$
    $3$ Einheiten nach oben.
  • Ordne die Punkte nach ihrer Position. Beginne mit dem vordersten Punkt.

    Tipps

    Überlege zunächst, welche Koordinate für die Position vorne - hinten verantwortlich ist.

    Beispiel:

    Der Punkt $(4|2|1)$ liegt weiter vorne als der Punkt $(-2|0|3)$

    Die $x$-Koordinate ist für die Position vorne - hinten verantwortlich.

    Lösung

    Die Lage der Punkte wird durch ihre Koordinaten bestimmt. Dabei gilt:

    • $x$-Koordinate: Je größer die Koordinate, umso weiter vorne liegt der Punkt.
    • $y$-Koordinate: Je größer die Koordinate, umso weiter rechts liegt der Punkt.
    • $z$-Koordinate: Je größer die Koordinate, umso weiter oben liegt der Punkt.
    Wir sortieren die Punkte also entsprechend ihrer $x$-Koordinate:

    $(6|4|-1{,}5) \quad (3|-2|12) \quad (2{,}5|-4|0) \quad (0|3|-7) \quad (-1|11|8{,}2)$

  • Zeige Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem auf.

    Tipps

    Die Koordinaten eines Punktes im Raum bilden ein sogenanntes Zahlentripel.

    Im zweidimensionalen Koordinatensystem wird ein Punkt durch zwei Koordinaten beschrieben. Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird es durch drei Koordinaten beschrieben.

    Lösung

    Da das dreidimensionale Koordinatensystem drei Achsen hat, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Wir schreiben sie ähnlich wie die Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem in Klammern und trennen die einzelnen Koordinaten durch Striche.

    Folgende Angaben sind also Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:

    • $(0|0|0) \quad$
    • $(-1|2|9) \quad$
    Der erste Punkt ist dabei der Ursprung.

    Folgende Angabe sind keine Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:

    • $(3|4) \quad$
    • $(0|-6) \quad$
    Hierbei handelt es sich um Punkte im ebenen Koordinatensystem.
  • Ordne jedem Punkt einen anderen Punkt zu, der 3 Einheiten bezüglich einer Koordinate entfernt ist.

    Tipps

    Beispiel:

    Die Punkte $P(3|4|5)$ und $Q(3|4|0)$ sind $5$ Einheiten bezüglich der $z$-Koordinate voneinander entfernt.

    Zeichne die einzelnen Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein und untersuche ihre Lage zueinander.

    Lösung

    Im dreidimensionalen Koordinatensystem bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Ein Punkt wird also durch drei Koordinaten beschrieben:

    $P(x|y|z)$

    Von zwei Punkten, welche sich nur in einer der drei Koordinaten unterscheiden, können wir den Abstand ermitteln, indem wir die Differenz der entsprechenden Koordinate bilden.

    Wir suchen uns also jeweils einen zugehörigen Punkt, der sich nur in einer Koordinate um genau $3$ Einheiten unterscheidet:

    • $(3|4|{-}2)$ und $(0|4|{-}2)$
    Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $x$-Koordinate.
    • $(0|4|0)$ und $(0|4|3)$
    Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $z$-Koordinate.
    • $(0|4|{-}5)$ und $(0|4|{-}2)$
    Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $z$-Koordinate.
    • $({-}3|1|{-}2)$ und $({-}3|{-}2|{-}2)$
    Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $y$-Koordinate.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.062

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.281

Lernvideos

42.389

Übungen

37.454

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden