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Punkte im Raum – Abstandsberechnung

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Die Autor*innen
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Frank Steiger
Punkte im Raum – Abstandsberechnung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Punkte im Raum – Abstandsberechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte im Raum – Abstandsberechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie der Abstand zweier Punkte im Raum berechnet wird.

    Tipps

    Die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte im Zweidimensionalen mit $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ lautet

    $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    In dem obigen blauen Dreieck sind die Kathetenlängen $1$ und $2$ [LE].

    Lösung

    Ähnlich wie im zweidimensionalen Koordinatensystem kann man sich auch im dreidimensionalen Koordinatensystem den Abstand mithilfe des Satzes von Pythagoras klar machen. Dieser wird zweimal angewendet.

    In dem blauen rechtwinkligen Dreieck sind die Kathetenlängen gegeben durch

    • $|r_3-s_3|$, den Betrag der Differenz der z-Koordinaten, sowie
    • $|r_1-s_1|$, den Betrag der Differenz der x-Koordinaten.
    Diese Längen werden quadriert und addiert zu

    $h^2=(r_1-s_1)^2+(r_3-s_3)^2$.

    Nun kann man sich das grüne rechtwinklige Dreieck anschauen. Hier sind die Kathetenlängen gegeben durch

    • $h$ sowie
    • $|r_2-s_2|$, den Betrag der Differenz der y-Koordinaten.
    Wieder werden die Längen quadriert und addiert:

    $d^2(R;S)=h^2+(r_2-s_2)^2=(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2$.

    Zuletzt wird noch die Wurzel gezogen und man erhält die Abstandsformel für Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem

    $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.

  • Berechne den Abstand der Punkte im $\mathbb{R}^2$ und im $\mathbb{R}^3$.

    Tipps

    Die Abstandsformel für Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ lautet

    $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$.

    Die Abstandsformel für Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem $R(r_1|r_2|r_3)$ sowie $S(s_1|s_2|s_3)$ lautet

    $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.

    Setze die Koordinaten der Punkte in die jeweilige Formel ein.

    Lösung

    In dieser Aufgabe werden die beiden Abstandsformeln für Punkte im zwei- sowie im dreidimensionalen Koordinatensystem geübt. Für $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ ist diese gegeben durch $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$:

    Für $P(3|4)$ und $S(5|2)$ lässt sich der Abstand durch $d(P;S)=\sqrt{(3-5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}\approx2,82$ [LE] berechnen.

    Im dreidimensionalen Koordinatensystem lautet die Formel für $R(r_1|r_2|r_3)$ sowie $S(s_1|s_2|s_3)$:

    $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.

    Für $R(3|4|2)$ und $S(1|1|3)$ kann der Abstand durch folgende Rechnung ermittelt werden:

    $\begin{array}{rcl} d(R;S)&=&\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{14}\approx 3,74~[\text{LE}]\end{array}$

    Analog wird für $U(1|1|1)$ und $V(3|7|4)$ vorgegangen:

    $\begin{array}{rcl} d(U;V)&=&\sqrt{(1-3)^2+(1-7)^2+(1-4)^2}\\ &=&\sqrt{(-2)^2+(-6)^2+(-3)^2}\\ &=&\sqrt{4+36+9}\\ &=&\sqrt{49}=7~[\text{LE}]\end{array}$

  • Verwende die Abstandsformel zur Berechnung des Abstandes der beiden Punkte $P$ und $Q$.

    Tipps

    In der ersten Zeile setzt du die jeweils fehlenden Koordinaten ein.

    Beachte, dass zum Beispiel $4-(-3)=4+3=7$ ist.

    Wenn du negative Zahlen quadrierst, erhältst du eine positive Zahl.

    Schau dir das folgende Beispiel an:

    $(-3-(-1))^2=(-3+1)^2=(-2)^2=4$.

    Das Ergebnis ist ungefähr $6,16$.

    Lösung

    Es soll der Abstand der Punkte $P(3|-1|4)$ und $Q(2|-2|-2)$ berechnet werden. Hierfür wird die Abstandsformel im Dreidimensionalen verwendet:

    $d(P;Q)=\sqrt{(3-2)^2+(-1-(-2))^2+(4-(-2))^2}$.

    Die Summe der Quadrate der Differenzen wird berechnet:

    $d(P;Q)=\sqrt{1^2+1^2+6^2}=\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}$.

    Der Abstand ist ungefähr $6,16$ [FE].

  • Ermittle den Punkt mit dem größten Abstand zu $A(1|1|3)$.

    Tipps

    Verwende die Formel

    $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$

    für $R(r_1|r_2|r_3)$ und $S(s_1|s_2|s_3)$.

    Da alle Werte positiv sind, genügt es auch die Zahlen unter der Wurzel zu vergleichen.

    Der Abstand von $R$ zu $A$ beträgt zum Beispiel $\sqrt{24}$.

    Lösung

    Für Punkte $R(r_1|r_2|r_3)$ und $S(s_1|s_2|s_3)$ im dreidimensionalen Koordinatensystem gilt die Formel

    $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.

    Es muss nun jeweils der Abstand eines Punktes von dem gegebenen Punkt $A(1|1|3)$ berechnet werden.

    Berechnen wir zunächst den Abstand von $Q(3|2|1)$ und $A$:

    $\begin{array}{rcl} d(Q;A)&=&\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2+(1-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}\\ &=&\sqrt{9}=3 \end{array}$

    Nun berechnen wir den Abstand von $P(2|-2|2)$ und $A$:

    $\begin{array}{rcl} d(P;A)&=&\sqrt{(2-1)^2+(-2-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{1^2+(-3)^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{11} \end{array}$

    Der Abstand von $S(5|1|2)$ und $A$ lässt sich folgendermaßen berechnen:

    $\begin{array}{rcl} d(S;A)&=&\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{4^2+0^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{17} \end{array}$

    Zuletzt berechnen wir den Abstand von $R(3|3|-1)$ und $A$:

    $\begin{array}{rcl} d(R;A)&=&\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(-1-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}\\ &=&\sqrt{24} \end{array}$

    Wie sich zeigt, ist die richtige Reihenfolge, beginnend mit dem geringsten Abstand: $Q$, $P$, $S$ und $R$.

  • Gib die Formel zur Berechnung des Abstandes für $d(P;S)$ im $\mathbb{R}^2$ und $d(R;S)$ im $\mathbb{R}^3$ an.

    Tipps

    Die beiden Formeln sehen recht ähnlich aus. Die eine beinhaltet zwei, die andere drei Summanden.

    Zunächst werden die einander entsprechenden Koordinaten der Punkte subtrahiert.

    Dann werden die Differenzen quadriert.

    Die Quadrate werden addiert.

    Zuletzt wird die Wurzel aus der Summe gezogen.

    Lösung

    Die Abstandsformeln sehen sehr ähnlich aus. Beide gehen auf den Satz des Pythagoras zurück. Dieser wird im Dreidimensionalen zweimal durchgeführt.

    Es werden jeweils

    • die einander entsprechenden Koordinaten der Punkte subtrahiert,
    • die Differenzen quadriert und
    • diese Quadrate addiert.
    • Zuletzt wird die Wurzel aus dieser Summe gezogen.
    Auf diese Weise ergeben sich zwei Formeln:

    • $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$ für Punkte im $\mathbb{R}^2$
    • $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$ für Punkte im $\mathbb{R}^3$
  • Weise nach, dass das Dreieck $\Delta_{ABC}$ gleichschenklig ist.

    Tipps

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.

    Verwende die Abstandsformel. Sei zum Beispiel $P(3|3|4)$ und $Q(1|1|2)$, dann ist

    $\begin{array}{rcl} d(P;Q)&=&\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(4-2)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+2^2+2^2}\\ &=&\sqrt{12} \end{array}$

    Achte darauf, dass das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt.

    Lösung

    Es müssen insgesamt drei Längen, also drei Abstände, berechnet werden. Bei den Punkten handelt es sich um $A(7|7|3)$, $B(5|-6|4)$ und $C(3|1|4)$.

    $\begin{array}{rcl} d(A;B)&=&\sqrt{(7-5)^2+(7-(-6))^2+(3-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+13^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{174} \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} d(A;C)&=&\sqrt{(7-3)^2+(7-1)^2+(3-4)^2}\\ &=&\sqrt{4^2+6^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{53} \end{array}$

    $\begin{array}{rcl} d(B;C)&=&\sqrt{(5-3)^2+(-6-1)^2+(4-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+(-7)^2+0^2}\\ &=&\sqrt{53} \end{array}$

    Das bedeutet, dass die beiden Seiten $\overline{AC}$ sowie $\overline{BC}$ gleich lang sind. Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist gleichschenklig.

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