Geradengleichungen in Parameterform im Raum

Hallo und herzlich willkommen!  Wir werden uns in diesem Video mit der Darstellung einer Geraden im Raum befassen. Beginnen wir zunächst mit der Ebene. Nehmen wir an, wir haben 2 Punkte gegeben: einen Punkt P und einen Punkt Q. Der Punkt P soll die Koordinaten (1/3) besitzen. Der Punkt Q soll die Koordinaten (3/5) haben. Aus dem Punkt P erstellen wir uns einen Ortsvektor mit den Koordinaten (1;3). Wir benennen diesen Vektor als u^->. Dieser Vektor hilft uns, unsere Geradengleichung aufzubauen. Wir bezeichnen ihn als Stützvektor. Jetzt wollen wir einen zweiten Vektor bilden. Dieser Vektor soll im Punkt P starten und im Punkt Q aufhören. Wir erhalten ihn durch die Subtraktion der entsprechenden Koordinaten. v^->= für die x-Koordinate 3-1 und für die y-Koordinate 5-3, also v^->=(2;2). Diesen Vektor bezeichnen wir als Richtungsvektor. Er gibt die Richtung unserer Geraden von Punkt P zu Punkt Q an. Wir sind zu dem Punkt Q gelangt durch Addition der beiden Vektoren u^-> und v^->. Wir könnten auch einen Stützvektor bilden, der im Koordinatenursprung startet und im Punkt Q endet; der Vektor x^->, hier grün gekennzeichnet. Der Vektor x^-> ist die Vektorsumme der beiden Vektoren u^-> und v^->; also x^->=u^->+v^->. Um die Gerade darzustellen, reicht das noch nicht. Wir kennzeichnen sie jetzt durch eine rotfarbene Gerade. Jetzt zeigen wir mit dem Pfeil, wo der Richtungsvektor startet. Er endet jetzt, wieder durch orangefarbenen Pfeil gekennzeichnet, an der Stelle Q. Wir haben jetzt durch die Vektoraddition x^->=u^->+1×v^-> genau den Punkt Q auf der Geraden fixiert. Es besteht nun aber auch die Möglichkeit, dass wir den Vektor v^-> etwas verlängern, nämlich mit dem Faktor 1,2 oder mit dem Faktor 0,5 oder einfach mit 0 multiplizieren. Damit erhalten wir eine Menge von Punkten auf der Geraden. Auch die negative Richtung ist möglich: Der Ortsvektor wechselt die Richtung, zum Beispiel -1. Wir können somit alle Punkte der Geraden, die durch die Punkte P und Q geht, durch einen Faktor, der vor dem Richtungsvektor v^-> steht, definieren. Um das zu kennzeichnen, schreiben wir vor v^->: 1k. k ist Element der reellen Zahlen, ein Parameter. Die Gerade g wird demzufolge in Parameterschreibweise formuliert. g wird definiert als Vektor mit den Koordinaten (x;y), der gebildet wird aus dem Stützvektor (1;3), und es wird addiert eine beliebige reelle Zahl k, multipliziert mit dem Richtungsvektor (2;2). Wenden wir dieses Verfahren jetzt auf ein dreidimensionales Problem an. Wir haben gegeben die Punkte P und Q. P hat die Koordinaten (2/-2/4). Wir entwickeln aus dem Punkt P den Stützvektor u^-> mit den Koordinaten (2;-2;4). Den Richtungsvektor v^-> erhalten wir, indem wir die Koordinaten von Q und P paarweise subtrahieren. v^-> ergibt sich somit als (-1;5;-2). Die Geradengleichung g ergibt sich somit folgendermaßen: g wird definiert als Vektor mit den Koordinaten (x;y;z), der dargestellt wird als Summe aus dem Stützvektor mit den Koordinaten (2;-2;4) + dem Richtungsvektor mit den Koordinaten (-1;5;-2). Der Richtungsvektor kann nun beliebig verlängert, verkürzt werden oder eine andere Richtung erhalten. Daher schreiben wir vor den Richtungsvektor ein k, einen Parameter, der sämtliche reellen Zahlen erhält. Somit haben wir die Parametergleichung in der endgültigen Form gegeben. Das wär es für heute. Alles Gute. Tschüss!