Geradengleichungen in der Ebene – Koordinatengleichung bestimmen

Geradengleichungen in der Ebene – Koordinatengleichung bestimmen Übung

• Beschreibe die verschiedenen Darstellungsformen von Geraden in der Ebene.

  Tipps

  In der Parametergleichung gibt ein Vektor die Richtung der Geraden vor, in der Normalengleichung steht ein Vektor senkrecht auf der Geraden.

  Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

  Die Koordinatengleichung kennst du sicher schon: Dies ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

  Lösung

  Parametergleichung Die Gerade ist gegeben durch einen Stützvektor $\vec p$ und einen Richtungsvektor $\vec v$ sowie einen Parameter (daher kommt der Name):

  $g: :\vec x=\vec p+t\cdot \vec v$.

  Normalengleichung Die Gerade ist gegeben durch einen Stützvektor $\vec p$ und einen Normalenvektor $\vec n$ (daher kommt der Name):

  $g:\left[\vec x - \vec p \right]\cdot \vec n=0$.

  Die $0$ auf der rechten Seite ist eine Zahl und kein Vektor, da auf der linken Seite ein Skalarprodukt steht. Der Nullvektor wird so geschrieben: $\vec 0$.

  Koordinatengleichung Die Gerade ist gegeben durch die Steigung $a$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$:

  $g:y=a\cdot x +b$.

  Dies ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

• Stelle die Gerade in der Koordinatenform dar.

  Tipps

  Schreibe die Gleichung für jede der beiden Koordinaten des Vektors $\vec x$ auf.

  Beide Gleichungen müssen mit einer Zahl multipliziert werden. Durch Addition der beiden Gleichungen fällt der Parameter $t$ heraus und die entstehende eine Gleichung hängt nur noch von $x$ und $y$ ab.

  Da du einen Punkt, nämlich $P(-2|4)$, kennst, kannst du diesen in die Koordinatengleichung einsetzen.

  Lösung

  Die Gerade $g$ ist in der Parametergleichung gegeben.

  $g:\vec x=\begin{pmatrix} -2\\ 4 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$

  Der Vektor $\vec x$ kann ersetzt werden durch $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$. Wenn die Gerade „koordinatenweise“ aufgeschrieben wird, erhält man ein lineares Gleichungssystem, zwei Gleichungen und drei Variablen $x$, $y$ und dem Parameter $t$. Durch Äquivalenzumformungen kann diese zu einer Gleichung umgeformt werden, welche nur noch von $x$ und $y$ abhängt.

  $\begin{aligned} &\text{(I)} & x & =-2+4t &| \cdot 7\\ &\text{(II)} & y & =4-7t &| \cdot 4\\ \hline &\text{(III)}&7x+4y&=2 \end{aligned}$

  Diese Gleichung kann weiter zu der gesuchten Koordinatengleichung umgeformt werden.

  $\begin{aligned} &&7x+4y&=2&|&-7x\\ &\Leftrightarrow&4y&=-7x+2&|&:4\\ &\Leftrightarrow&y&=-1,75x+0,5. \end{aligned}$

• Leite die Koordinatengleichung der Geraden her.

  Tipps

  Man kann mit Hilfe des Richtungsvektors die Steigung berechnen.

  Zeichne dir einen Richtungsvektor in ein Koordinatensystem und schaue dir das entsprechende Steigungsdreieck an.

  Wenn die Steigung bekannt ist, erhältst du das $b$, in dem du $a$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die Koordinatengleichung einsetzt.

  Lösung

  Dies ist eine weitere Methode, um von einer Parametergleichung einer Geraden zu einer Koordinatenform zu gelangen:

  • Die Steigung der Geraden ist der Quotient von der $y$- und der $x$-Koordinate des Richtungsvektors: $a=\frac 3{-2}=-1,5$.
  • Die Gleichung lautet dann $y=-1,5x+b$, wobei der $y$-Achsenabschnitt $b$ noch unbekannt ist.
  • Um den $y$-Achsenabschnitt zu erhalten, werden die Koordinaten des Punktes $P(3|2)$ und $a$ in die Gleichung eingesetzt, welche dann nach $b$ aufgelöst wird:

  $\begin{aligned} 2&=-1,5\cdot3+b &|& +4,5\\ 6,5&=b. \end{aligned}$

  • Die Koordinatengleichung lautet also $y=-1,5\cdot x+6,5$.

• Erläutere, wie eine Koordinatenform aus einer Normalengleichung hergeleitet werden kann.

  Tipps

  Wie bei der Multiplikation mit Zahlen im Reellen, gilt auch beim Rechnen mit dem Skalaprodukt das Distributivgesetz.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}=a\cdot c+b\cdot d.$

  Die Koordinatengleichung hat die Form:

  $y=ax+b$, wobei

  • $a$ die Steigung und
  • $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl.

  Lösung

  Die Gerade $g$ in Normalengleichung

  $g:\left[\vec x-\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

  soll in eine Koordinatenform umgeformt werden:

  • Zunächst wird die Klammer ausmultipliziert zu

  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=0$.

  • Durch Addition des rechten Produkts auf beiden Seiten kommt man zu

  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

  • Nun kann links und rechts das jeweilige Skalarprodukt berechnet werden: $-x+y=7$.
  • Durch Addition von $x$ kommt man zu der Koordinatenform: $y=x+7$.

• Gib die Koordinatengleichung der Geraden $g$ an.

  Tipps

  Du kennst einen Punkt der Geraden.

  Der Punkt $P(-2|-3)$ liegt auf der Geraden.

  Das heißt, die Geradengleichung muss erfüllt sein, wenn für $x=-2$ und $y=-2$ eingesetzt wird.

  Berechne das Skalarprodukt $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}$ sowie $\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}$.

  Lösung

  Um von der Normalengleichung zu der Koordinatenform zu kommen, wird zum einen das Distributivgesetz angewendet und zum anderen zweimal das Skalarprodukt berechnet:

  $\begin{aligned} &&\left[\vec x-\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \right]\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}&=0&|&+\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow&\vec x \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow& -6x+2y&=6&|&+6x\\ &\Leftrightarrow&2y&=6x+6&|&:2\\ &\Leftrightarrow&y&=3x+3. \end{aligned}$

  Dies ist die gesuchte Koordinatengleichung.

• Gib die Koordinatengleichung der Geraden an, die durch die beiden Punkte $P$ und $Q$ geht.

  Tipps

  Der Verbindungsvektor der beiden Punkte ist der Richtungsvektor.

  Der Richtungsvektor ist $\vec v=\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}.$

  Wenn du den Richtungsvektor in ein Koordinatensystem einzeichnest, kannst du gemeinsam mit den Vektoren $\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ ein Steigungsdreieck erkennen, aus welchem du die Steigung ablesen kannst.

  Zur Bestimmung des $y$-Achsenabschnitts kannst du die Koordinaten einer der beiden Punkte mit der bekannter Steigung in der Koordinatengleichung einsetzen.

  Lösung

  Die Gerade geht durch die beiden Punkte $P(3|-2)$ und $Q(-1|1)$. Einer der beiden Ortsvektoren ist der Stützvektor und der Verbindungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$.

  Dann ist die Steigung gegeben als Quotient aus $y$- und $x$-Koordinate des Richtungsvektors. Dies ist erkennbar, wenn man den Richtungsvektor in ein Koordinatensystem zeichnet. Mit den Vektoren $\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ erhält man ein Steigungsdreieck, in dem gilt:

  $a=\frac{3}{-4}=-0,75$.

  Somit lautet die Koordinatengleichung: $y=-0,75x+b$ bei noch unbekanntem $y$-Achsenabschnitt $b$. Diesen erhält man, indem man die Koordinaten einer der beiden Punkte, es ist egal welchen, in die Koordinatengleichung mit der bekannten Steigung einsetzt:

  $-2=-0,75\cdot3+b$. Die Addition von $2,25$ auf beiden Seiten führt zu dem $y$-Achsenabschnitt $b=0,25$.

  Die Koordinatengleichung lautet also $y=-0,75x+0,25$.