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Was ist ein Abstand?

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Die Autor*innen
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Team Digital
Was ist ein Abstand?
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Was ist ein Abstand?

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Abstand zwischen Punkten und Geraden zu messen.

Zunächst lernst du, was das Wort Abstand im mathematischen Sinn bedeutet. Anschließend lernst du, wie du wie du den Abstand zwischen Punkt und Punkt, Punkt und Gerade oder zwei parallelen Geraden messen kannst.

Abstand Punkt Gerade

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Abstand, Punkt, Gerade, Strecke, senkrecht und parallel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Gerade und was eine Strecke ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen wie man Punkte und Geraden in ein Koordinatensystem einträgt.

Transkript Was ist ein Abstand?

Kennst du schon die sogenannte „Zöllner-Täuschung“? Was würdest du sagen? Verlaufen die hier zu sehenden roten Geraden parallel zueinander? Sieht nicht so aus oder? Das sollten wir vielleicht mal genauer untersuchen! Und zwar, indem wir uns folgender Frage widmen: „Was ist ein Abstand?“ Was Abstände damit zu tun haben? Nun, fangen wir ganz von vorne an! Abstände begegnen uns in unserem Alltag ständig! Was im mathematischen Sinne unter dem Wort „Abstand“ zu verstehen ist, können wir uns gut auf einer Map veranschaulichen. Wenn wir mit dem Auto von Köln nach Berlin fahren wollen, suchen wir die schnellste Route. Diese ist hier durch die blaue Linie markiert. Das ist allerdings nicht der Abstand! Denn der Abstand bezieht sich streng mathematisch betrachtet immer auf die kürzeste Verbindungsstrecke. In unserem Fall wäre das die Luftlinie zwischen Berlin und Köln – hier rot eingezeichnet. Der Begriff „Abstand“ ist in der Mathematik also gleichbedeutend mit „Länge der kürzesten Verbindungsstrecke“. Wir können zum Beispiel den Abstand von zwei Punkten betrachten. Der Abstand von zwei Punkten, nennen wir sie P und Q, ist die Länge der Verbindungsstrecke der Punkte. Wir müssen die beiden Punkte also durch eine Strecke verbinden. Eine gebogene Linie, die im Zickzack-Kurs verläuft, können wir dafür nicht nehmen. Diese Strecke benennen wir nach den beiden Punkten, die durch sie verbunden werden. Der waagerechte Strich verdeutlicht, dass es sich um eine Strecke handelt. Dann müssen wir die Länge der Verbindungsstrecke einfach mit dem Geodreieck messen. In unserem Beispiel beträgt der Abstand zwischen den beiden Punkten drei Zentimeter. Die Länge der Strecke „p q“ schreiben wir so. Doch wir können nicht nur den Abstand von Punkt zu Punkt messen. Als nächstes betrachten wir den Abstand eines Punktes P von einer Geraden, nennen wir sie g. Zwischen Punkt und Gerade können wir viele unterschiedliche Verbindungsstrecken einzeichnen, genau genommen sogar unendlich viele. Für den Abstand interessiert uns aber nur die Länge einer einzigen – und zwar der kürzesten! Doch wie finden wir heraus welche die kürzeste Verbindungsstrecke ist? Die kürzeste Verbindungsstrecke ist immer die, die genau senkrecht auf unserer Geraden liegt und den Punkt mit der Geraden verbindet. Um sie einzuzeichnen, brauchen wir wieder unser Geodreieck. Wir legen die Mittellinie des Geodreiecks genau auf die Gerade und verschieben es dann so, dass der Punkt P genau auf der Zeichenkante liegt. Dann können wir eine Gerade durch P einzeichnen, die genau im rechten Winkel zur anderen Geraden liegt. Den Schnittpunkt von beiden Geraden können wir jetzt noch beschriften. Wir betrachten dann die Strecke „p q“. Die Länge dieser Strecke können wir wieder am Geodreieck ablesen. Hier sind es 4,5 Zentimeter. Soweit alles klar? Dann können wir ja jetzt nochmal unsere „Zöllner-Täuschung“ vom Anfang genauer betrachten. Die Frage, die wir uns gestellt haben war, ob die roten Geraden parallel zueinander sind. Parallel sind zwei Geraden genau dann, wenn sie an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander haben. Schauen wir uns dazu einmal zwei dieser Geraden genauer an und nennen sie g und h. Um den Abstand zwischen diesen beiden Geraden zu bestimmen, brauchen wir wieder eine Verbindungsstrecke. Allerdings nicht irgendeine, sondern wieder die kürzeste! Das ist erneut DIE Strecke, die senkrecht zu g, jetzt aber auch senkrecht zu h steht. Wir legen also wieder die Mittellinie unseres Geodreiecks auf eine der beiden Geraden und zeichnen die senkrechte Strecke ein, die beide Geraden verbindet. Jetzt können wir mit dem Geodreieck überprüfen, ob die eingezeichnete Strecke auch parallel zu der anderen Geraden verläuft. Bei uns ist das der Fall. Die Geraden sind also parallel! Dass beide Geraden parallel sind, erkennen wir auch daran, dass wir an jeder Stelle den gleichen Abstand messen: Zwei Zentimeter! Wir haben also offiziell bestätigt: Die beiden Geraden sind parallel! Mathematisch schreiben wir das so: „g und h sind parallel“. Bevor wir nochmal das ganze Bild unter die Lupe nehmen, fassen wir kurz zusammen. Der Abstand beschreibt in der Mathematik immer die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Zwischen zwei Punkten können wir diese Verbindungsstrecke ganz einfach einzeichnen und anschließend abmessen. Wollen wir den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden messen, müssen wir mit unserem Geodreieck die Senkrechte zeichnen, die die Gerade mit dem Punkt verbindet. Dann können wir die Länge der Verbindungsstrecke wieder abmessen. Zu guter Letzt können wir auch den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden messen. Da der Abstand bei parallelen Geraden an jeder Stelle gleich ist, ist es egal, an welcher Stelle wir unser Geodreieck ansetzen. Wichtig ist nur, dass die eingezeichnete Verbindungsstrecke zu beiden Geraden senkrecht steht. Dann können wir auch hier die Länge der eingezeichneten Strecke abmessen und haben so den Abstand der Geraden bestimmt! Gar nicht schwierig, oder? Und was lernen wir daraus? Die Mathematik zeigt uns, dass es nicht immer so ist, wie es auf den ersten Blick erscheint Linien, die so aussehen, als würden sie schief zueinanderstehen, entpuppen sich als parallele Geraden! Manchmal muss man eben ganz genau hinschauen!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Gutes und informatives
    Video

    Von Fly, vor 25 Tagen

Was ist ein Abstand? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Abstand? kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Eigenschaften des Abstands.

    Tipps

    Die Abbildung zeigt einen mathematischen Abstand.

    Zwischen zwei Punkten gibt es unendlich viele Verbindungen.

    Lösung

    Was wir als mathematischen Abstand verstehen, kann man gut mit einer Karte veranschaulichen:

    Wenn wir die Wegstrecke zwischen Berlin und Köln suchen, finden wir die schnellste Route. Diese ist hier durch die blaue Linie markiert. Das ist allerdings nicht der Abstand. Denn der Abstand bezieht sich streng mathematisch betrachtet immer auf die kürzeste Verbindungsstrecke. In unserem Fall wäre das die Luftlinie zwischen Berlin und Köln – hier rot eingezeichnet.

    Der Begriff Abstand ist in der Mathematik also gleichbedeutend mit der Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Die Strecke zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ bezeichnet man mit $ \overline{PQ} $. Die Länge dieser Strecke hingegen bezeichnet man mit $|PQ|$.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Der Abstand beschreibt immer den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten, wie in dem Bild die rote Luftlinie zwischen Köln und Berlin.
    • Zwei parallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander.
    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    • Ein Abstand kann eine krumme Linie sein, wie in dem Bild die blaue Linie von Köln nach Berlin. Richtig ist: Ein Abstand bezeichnet die kürzeste Wegstrecke.
    • Zwischen zwei Punkten gibt es immer genau zwei verschiedene Abstände: Eine gebogene Strecke und eine kürzeste Strecke. Richtig ist: Es gibt unendlich viele Verbindungen zwischen zwei Punkten, aber nur einen Abstand.
  • Beschreibe, wie man einen Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden einzeichnet.

    Tipps

    Für den mathematischen Abstand suchst du die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade und zeichnest sie mit dem Geodreieck ein.

    Lösung

    Ein mathematischer Abstand beschreibt eine Strecke, die den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten, einem Punkt und einer Gerade oder zwischen zwei Geraden darstellt. Um ihn einzuzeichnen benötigst du ein Geodreieck.

    Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden einzeichnen:

    $ {1)} $ Um den Abstand zu bestimmen, nimmst du dir ein Geodreieck zur Hand.

    $ {2)} $ Du legst die Mittellinie des Geodreiecks genau auf die Gerade und verschiebst es dann so, dass der Punkt $P$ genau auf der Zeichenkante liegt.

    $ {3)} $ Dann kannst du eine Gerade durch $P$ einzeichnen, die genau im rechten Winkel zur anderen Geraden $g$ liegt.

    $ {4)} $ Den Schnittpunkt von beiden Geraden kannst du jetzt beschriften (Im Bild: $Q$).

    $ {5)} $ Abschließend kannst du die Stecke mit dem Geodreieck messen (Im Bild: $4,5~\text{cm}$).

  • Formuliere die mathematischen Schreibweisen in Worten.

    Tipps

    Wenn zwei Geraden parallel sind, kann man an jeder Stelle eine Senkrechte zu einer der beiden Geraden einzeichnen. Diese bildet dann mit beiden Geraden einen rechten Winkel.

    $ \overline{PQ} $ beschreibt die kürzste Strecke zwischen den Punkten $P$ und $Q$.

    Lösung

    In der Mathematik werden Abkürzungen benutzt, um lange Sachverhalte kurz und für jeden einheitlich aufzuschreiben.

    Zum Beispiel beschreibt $ \overline{PQ} $ die kürzste Strecke zwischen den Punkten $P$ und $Q$.

    Folgende Paare gehören zueinander:

    • Die Strecke zwischen den Punkten $G$ und $H$. Wir schreiben: $ \overline{GH} $
    • Die Strecke $\overline{GH}$ ist parallel zur Geraden $g$. Wir schreibe: $\overline{GH} \parallel g$
    • Die Gerade $g$ hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zur Geraden $h$. Die beiden Geraden sind also parallel. Wir schreiben: $ g \parallel h $
    • Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt $G$ und $H$ beträgt $ 5~\text{cm} $. Dies ist der Abstand der beiden Punkte. Wir schreiben: $ |GH| = 5~\text{cm} $
  • Überprüfe folgende Aussagen zur Ermittlung des Abstands paralleler Geraden.

    Tipps

    Mithilfe der Mittellinie des Geodreiecks können wir den Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Geraden $h$ ermitteln:

    Die parallelen Hilfslinien am Geodreieck stehen senkrecht auf der Mittellinie.

    Hier sind die parallelen Hilfslinien blau markiert.

    Lösung

    Um den Abstand zwischen zwei parallelen Linien zu bestimmen, kann man die Hilfslinien des Geodreiecks zur Hilfe nehmen. Diese Hilfslinien sind ebenfalls parallel und sie stehen senkrecht auf der Mittellinie des Geodreiecks. Den Abstand kann man dann auf der Skallierung des Geodreiecks in $\text{cm}$ ablesen.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $h$ legen, so können wir den Abstand zwischen $g$ und $i$ bestimmen.
    Da die Mittellinie im rechten Winkel auf der Linealkante steht, und $g \parallel h \parallel i$, können wir an der Linealkante den Abstandzwischen $g$ und $i$ einzeichnen und ablesen.
    • Wenn wir das Geodreieck mit den parallelen Hilfslinien auf $k$ legen, so können wir den Abstand zwischen $h$ und $i$ bestimmen.
    Wir wissen, dass die Geraden $h$ und $i$ senkrecht auf $k$ stehen. Wenn wir die parallelen Hilfslinien auf $k$ legen, können wir daher den Abstand zwischen $h$ und $i$ an der Linealkante einzeichnen und ablesen.
    • Wenn wir das Geodreieck mit der Linealkante auf $m$ legen, so können wir den Abstand zwischen $g$ und $h$ bestimmen.
    Da die Gerade $m$ senkrecht zu $g$ und $h $ ist, können wir hier ebenfalls den Abstand einzeichnen und ablesen.
    • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $b$ legen, so können wir den Abstand zwischen $b$ und $c$ bestimmen.
    Wenn wir die Mittellinie des Geodreiecks auf $b$ legen, können wir den Abstand zwischen $b$ und $c$ an der Linealkante ablesen und einzeichnen, da diese senkrecht zur Mittellinie ist.

    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $k$ legen, so können wir den Abstand zwischen $h$ und $i$ bestimmen.
    Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $k$ legen, ist die Linealkante parallel zu $h$ und $i$, wir können deren Abstand so nicht bestimmen.
    • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $a$ legen, so können wir den Abstand zwischen $b$ und $h$ bestimmen.
    Da $b$ und $h$ nicht parallel sind, können wir ihren Abstand nicht ausmessen. Die beiden Geraden schneiden sich.
  • Benenne die Bilder, auf denen ein mathematischer Abstand dargestellt ist.

    Tipps

    Wenn du auf einer Karte zwischen zwei Orten die Luftlinie einzeichnest, beschreibt diese Strecke den mathematischen Abstand.

    Wenn du zwei Punkte mit einer zick-zack Linie verbindest, ist das kein mathematischer Abstand.

    Lösung

    Der mathematische Abstand beschreibt die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten, einem Punkt und einer Geraden oder zwei Geraden. Mögliche Darstellungen dazu siehst du auf der linken Seite der Abbildung.

    Kein mathematischer Abstand sind...

    • ...die Wegstrecke auf einer Landkarte
    • ...die zick-zack Verbindung zwischen zwei Punkten
    • ... die Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden, die aber nicht die kürzeste Verbindung ist.
    Dies siehst du auf der rechten Seite der Abbildung.

    $\,$

    Um einen Abstand einzuzeichnen, benötigst du ein Geodreieck. Wenn du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwei Geraden abmessen möchtest, ist es wichtig, dabei einen rechten Winkel zu verwenden: Du musst das Geodreieck im rechten Winkel, also senkrecht an die Gerade(n) anlegen und kannst so den mathematischen Abstand ermitteln.

  • Untersuche die Beziehungen der Geraden und Strecken.

    Tipps

    Wir betrachten die Strecke $\overline{PQ}$: Der Abstand zwischen den zwei Punkten beträgt $3~\text{cm}$. Wir schreiben: $|PQ|=3~\text{cm}$

    Die beiden Geraden $g$ und $h$ sind parallel, da die rot eingezeichnete, kürzeste Verbindungsstrecke mit beiden Geraden einen rechten Winkel bildet.

    Lösung

    Um die gesuchten Angaben aus der Graphik ablesen zu können, muss man die mathematischen Abkürzungen kennen.

    $ |AC| = 7~\text{cm} \rightarrow$ Die Strecke $AC$ beträgt $7~\text{cm}$, dies kann man direkt neben der Strecke am hellgrünen Strich ablesen.

    $ |AP| < 7~\text{cm} \rightarrow $ Da die Strecke $AP$ auf der Strecke $AC$ liegt und kürzer ist, muss sie auch kleiner als $ 7~\text{cm} $ sein.

    $\overline{PC} \not\parallel \overline{PQ} \rightarrow $ Die Strecken haben nicht an jeder Stelle den gleichen Abstand, deshalb sind sie nicht parallel.

    $|BC| = $ Abstand zwischen $A$ und $B \rightarrow $ Die Länge der Strecke $|BC|$ beträgt $9~\text{cm}$, dies entspricht dem Abstand zwischen den Punkten $B$ und $C$. Dieser ist gleich dem Abstand zwischen $A$ und $B$.

    $\overline{AB} \parallel$ $\overline{PQ} \rightarrow $ Dies gilt, weil $\overline{AB}$ $\parallel$ $g$ und $|PQ|$ auf $g$ liegt.

    $\overline{QS} \parallel$ $\overline{PT} \rightarrow $ Da die Strecken $|SQ|$ und $|TP|$ senkreckt auf $|AB|$ und $g$ stehen, und $|AB|$ und $g$ parallel zueinander sind, sind auch $|SQ|$ und $|TP|$ parallel.

    $|PT| = |QS| \rightarrow $ Da die Strecke $|AB|$ und $g$ parallel sind, sind die Strecken $|PT|$ und $|QS|$ gleich lang. Ihre Länge ist gleich dem Abstand zwischen $|AB|$ und $g$.

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