Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken Übungen: Wie berechnest du die Innenwinkelsummen dieser Formen? Übe hier mit Aufgaben zur Bestimmung von fehlenden Winkeln in Dreiecken und Vierecken. Teste dein Wissen mit unseren umfassenden Übungen!
Einleitung zum Thema Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken
In der Geometrie spielen Winkel eine zentrale Rolle, besonders wenn es darum geht, Formen wie Dreiecke und Vierecke zu verstehen. Die Innenwinkel verraten dir viel über die Eigenschaften dieser Figuren. Mit grundlegenden Kenntnissen über Dreiecke und Vierecke schaffst du es, komplexere geometrische Figuren zu untersuchen. In diesem Text übst du, wie du die Innenwinkelsummen in Dreiecken und Vierecken berechnest und anwendest.
Unsere Einführungen zum Thema Innenwinkelsummen von Dreiecken und Vierecken bieten dir einen Überblick über die wichtigsten Regeln und Beispiele.
Unter den Aufgaben findest du jeweils Lösungen und Erklärungen.
Teste dein Wissen zum Thema Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken
Rechenweg:
Addiere die Winkel α und β: 50∘+60∘=110∘
Ziehe die Summe von 180∘ ab, da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180∘ beträgt: 180∘−110∘=70∘
Rechenweg:
Berechne die Summe der Winkel α und β: 75∘+45∘=120∘
Ziehe 120∘ von 180∘ ab, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180∘ ergibt: 180∘−120∘=60∘
Rechenweg:
Addiere α und β: 35∘+85∘=120∘
Ziehe die Summe von 180∘ ab, da die Winkel in einem Dreieck immer eine Gesamtsumme von 180∘ ergeben: 180∘−120∘=60∘
Rechenweg:
Berechne die Summe der Winkel α und β: 70∘+80∘=150∘
Ziehe die Summe von 180∘ ab, da in jedem Dreieck die Innenwinkelsumme immer 180∘ beträgt: 180∘−150∘=30∘
Rechenweg:
Addiere die Winkel β und γ: 60∘+40∘=100∘
Ziehe die Summe von 180∘ ab, da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180∘ beträgt: 180∘−100∘=80∘
Rechenweg:
Addiere die Winkel β und γ: 45∘+90∘=135∘
Ziehe die Summe von 180∘ ab, da in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel 180∘ beträgt: 180∘−135∘=45∘
Rechenweg:
Addiere die Winkel α und γ: 40∘+100∘=140∘
Ziehe die Summe von 180∘ ab, da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180∘ beträgt: 180∘−140∘=40∘
Rechenweg:
Addiere die Werte von α, β und γ: 90∘+80∘+110∘=280∘
Subtrahiere diese Summe von 360∘, da alle Winkel in einem Viereck zusammen 360∘ ergeben: 360∘−280∘=80∘
Rechenweg:
Zuerst summierst du die Winkel α, β und δ: 100∘+90∘+70∘=260∘
Ziehe diese Summe von 360∘ ab, da das die Innenwinkelsumme eines Vierecks ist: 360∘−260∘=100∘
Rechenweg:
Summiere die Werte von β, γ und δ: 95∘+85∘+110∘=290∘
Da die Gesamtwinkelsumme eines Vierecks 360∘ ist, berechne die Differenz: 360∘−290∘=70∘
Rechenweg:
Zuerst addierst du die Winkel α, β und γ: 100∘+100∘+90∘=290∘
Subtrahiere 290∘ von 360∘, da das die Summe aller Innenwinkel im Viereck ist: 360∘−290∘=70∘
Rechenweg:
Addiere die Winkel α, β und δ miteinander: 85∘+75∘+120∘=280∘
Ziehe diese Summe von 360∘ ab, da die Innenwinkelsumme eines Vierecks immer 360∘ beträgt: 360∘−280∘=80∘
Rechenweg:
Addiere die bekannten Winkel β, γ und δ: 90∘+120∘+85∘=295∘
Subtrahiere die Summe von 360∘, da das die Innenwinkelsumme des Vierecks ist: 360∘−295∘=65∘
Rechenweg:
Addiere die drei Winkel α, β und γ: 90∘+90∘+90∘=270∘
Ziehe diese Summe von 360∘ ab, da die Innenwinkelsumme in einem Viereck 360∘ beträgt: 360∘−270∘=90∘
Lösung:
Der Winkel δ misst 90∘.
Anwendungen der Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken
Das konkave Viereck
Minh und Lara sitzen zusammen im Mathematikunterricht und schauen sich ein konkaves Viereck an. Das Viereck sieht irgendwie „eingedrückt“ aus und einer der Winkel scheint größer als 180∘ zu sein.
Minh ist der Meinung, dass die Innenwinkelsumme von diesem Viereck nicht 360∘ sein kann. Lara schüttelt den Kopf. Sie glaubt, dass alle Vierecke eine Innenwinkelsumme von 360∘ haben, weil sich Vierecke immer auf zwei Dreiecke zurückführen lassen.
Lösungsweg:
Wenn wir Laras Idee nachgehen und das Viereck mithilfe einer gedachten Linie zwischen den Eckpunkten A und C in zwei Dreiecke unterteilen, dann erhalten wir folgende Figur:
Dabei teilt sich der Winkel α=α1+α2 in die beiden Winkel α1 und α2. Das Gleiche gilt auch für den Winkel γ=γ1+γ2.
Dadurch dass die Innenwinkelsumme für Dreiecke 180∘ beträgt, können wir folgende Gleichungen aufstellen: α1+γ1+δ=180∘α2+γ2+β=180∘
Sowohl das Dreieck △ACD als auch das Dreieck △ABC besitzen eine Innenwinkelsumme von 180∘. Für die Innenwinkelsumme des gesamten Vierecks ergibt sich: α+β+γ+δ=α1+α2+β+γ1+γ2+δ=(α1+γ1+δ)+(α2+γ2+β)=180∘+180∘=360∘
Antwort:
Lara hatte mit ihrer Vermutung recht, dass auch das konkave Viereck eine Innenwinkelsumme von 360∘ hat, weil es sich durch Zerlegung auf zwei Dreiecke zurückführen lässt.
Ein unregelmäßiges Fünfeck
Emilia und Justin bearbeiten eine Geometrieaufgabe. Sie haben ein unregelmäßiges Fünfeck vor sich und sollen die Innenwinkelsumme berechnen.
Die beiden kennen aber nur die Innenwinkelsummen von Dreiecken und Vierecken. Da kommt Justin eine Idee. Er schlägt vor, dass sich das Fünfeck bestimmt in kleinere Figuren unterteilen lässt.
Gehe Justins Vorschlag nach und ermittle die Innenwinkelsumme.
Lösungsweg:
Wenn wir Justins Idee nachgehen und das Fünfeck mithilfe einer gedachten Linie zwischen den Eckpunkten C und E in ein Dreieck und ein Viereck unterteilen, dann erhalten wir folgende Figur:
Dabei teilt sich der Winkel γ=γ1+γ2 in die beiden Winkel γ1 und γ2. Das Gleiche gilt auch für den Winkel ε=ε1+ε2.
Dadurch dass die Innenwinkelsumme für Dreiecke 180∘ beträgt, gilt für das Dreieck △CDE: γ1+δ+ε1=180∘
Für das Viereck □ABCE gilt aufgrund der Innenwinkelsumme von Vierecken dann die Gleichung:
α+β+γ2+ε2=360∘
Für die Innenwinkelsumme des gesamten Fünfecks ergibt sich: α+β+γ+δ+ε=α+β+γ1+γ2+δ+ε1+ε2=(α+β+γ2+ε2)+(γ1+δ+ε1)=360∘+180∘=540∘
Antwort:
Justins Idee hat funktioniert und die Innenwinkelsumme des Fünfecks beträgt 540∘.
Das regelmäßige Sechseck
Sophia schaut sich ein regelmäßiges Sechseck an. Es hat sechs gleich lange Seiten und scheinbar auch gleich große Innenwinkel. Sie will herausfinden, wie groß die Innenwinkelsumme ist.
Nach längerem Überlegen stellt Sophia die Vermutung auf, dass die Innenwinkelsumme 6⋅180∘=1080∘ sein muss, da sich das Sechseck über den Mittelpunkt in 6 gleich große Dreiecke aufteilen lässt.
Prüfe Sophias Vermutung und ermittle die Innenwinkelsumme eines Sechsecks.
Lösungsweg:
Nach Sophias Vermutung können wir das Sechseck über den neu eingezeichneten Mittelpunkt M in 6 gleich große und identische Dreiecke aufteilen. Das sollte in der Skizze so aussehen:
Dabei werden die Innenwinkel des Sechsecks jeweils durch die Konstruktion geteilt. Durch die Konstruktion bilden jeweils zwei Eckpunkte mit dem Mittelpunkt M ein Dreieck mit der Innenwinkelsumme von 180∘. Da es 6 Dreiecke gibt, kommt Sophia mit ihrer Vermutung, dass die Innenwinkelsumme 6⋅180∘=1080∘ beträgt, der richtigen Antwort sehr nahe.
Jedoch umfasst die Innenwinkelsumme des Sechsecks nur die Winkel an den Eckpunkten A bis F. Das bedeutet, dass die Winkel, die an den Mittelpunkt M liegen, nicht zur Innenwinkelsumme des Sechsecks gehören. Da alle Winkel um den Punkt M einen ganzen Kreis ergeben, der insgesamt einen Winkel von 360∘ ergibt, kommen wir auf diese Innenwinkelsumme: 1080∘−360∘=720∘
Antwort:
Sophias Vermutung ist nicht ganz korrekt, weil sie die Winkel um den Mittelpunkt M zur Innenwinkelsumme dazugezählt hat. Die Innenwinkelsumme eines regelmäßigen Sechsecks ergibt somit 720∘.
Teste dein Wissen zum Thema Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übungen!
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Nachdem du dich mit den Innenwinkelsummen beschäftigt hast, kannst du im nächsten Schritt die Konstruktion von Vierecken lernen. Es gibt beispielsweise die Konstruktion von Quadraten, Rechtecken, Parallelogrammen oder Trapezen. Diese Themen helfen dir, die Eigenschaften von Vierecken und geometrische Zusammenhänge besser zu verstehen!
Von Itslearning Nutzer 2535 1123603, vor etwa 4 Jahren
🤩
Von Itslearning Nutzer 2535 1123603, vor mehr als 4 Jahren
Das ist das erste mal das ich Mathe verstanden habe hat mirsuper viel geholfen danke danke danke ihr seut echt die besten
Von Lonne S., vor mehr als 5 Jahren
Danke, das Video hat mir sehr geholfen. :)
Von Quyenlinhdao, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare
Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übung Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übung kannst du es wiederholen und üben.
Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck 180° beträgt.
Du kannst die Innenwinkel der Dreiecke ABD, ACD und BCD berechnen. Summiert ergeben die Innenwinkel jeweils 180°.
Lösung
Wir wollen die Winkel $\gamma, ~\delta_1und\delta_2$ bestimmen.
Wenn wir das Dreieck ACD betrachten, haben wir den Winkel α mit 35° gegeben und die Winkel $\gamma, ~ \delta_1und\delta_2sindunbekannt.BetrachtenwirdasDreieckABD,sehenwirnureinenunbekanntenWinkel.DerInnenwinkelsummensatzfu¨rDreieckebesagt,dassdieSummeallerInnenwinkelineinemDreieck180°$ beträgt.
$35° + 90° + \delta_1 = 180°$
$\delta_1 = 180° - (35° + 90°) = 55°$
$\delta_1und\delta_2$ zusammen ergeben einen rechten Winkel.
$\delta1+δ_2 = 90°$
$\delta_2 = 90° - 55° = 35°$
Nun können wir γ auf die gleiche Weise wie $\delta_1$ bestimmen, indem wir uns das Dreieck BCD ansehen.
$\delta_2 + 90° + \gamma = 180°$
γ=180°−(90°+35°)=55°
Wie erhalten: $\gamma = 55°, ~\delta_1 = 55°und\delta_2 = 35°$.
Weitere Videos im ThemaVierecke – Arten, Umfang und Flächeninhalt
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Die Lösungen sind toll erklärt. 😉
Super cool 👍
🤩
Das ist das erste mal das ich Mathe verstanden habe hat mirsuper viel geholfen danke danke danke ihr seut echt die besten
Danke, das Video hat mir sehr geholfen. :)