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Winkelsumme in Vierecken

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Team Digital
Winkelsumme in Vierecken
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Winkelsumme in Vierecken

Winkelsummen in Dreiecken zur Vermessung von Straßenkreuzungen

In der Vermessungstechnik sind die Winkelsummen oder auch Innenwinkelsummen von Dreiecken besonders wichtig. So stellt man beispielsweise zur Vermessung von Straßenkreuzungen die Messgeräte so auf, dass die Messpunkte ein Dreieck bilden. Um später alle Messwerte richtig ausrechnen zu können, spielen die Innenwinkel eine wichtige Rolle. Wir betrachten daher im Folgenden die Winkelsumme im Dreieck und im Viereck.

Größen am Dreieck und Viereck

Dreiecke und Vierecke werden ähnlich beschriftet, um einheitlich und klar nachvollziehbar mit ihnen umgehen zu können.

Beschriftung von Dreiecken

Beim Dreieck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben bezeichnet: $A$, $B$ und $C$. Sie werden entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet. Wir nennen das Dreieck dann $ABC$. Die Strecken zwischen den Eckpunkten nennt man Seiten. Diese werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Dabei werden die Seiten entsprechend der gegenüberliegenden Eckpunkte bezeichnet: Gegenüber von Punkt $A$ liegt die Seite $a$, gegenüber von Punkt $B$ die Seite $b$ und gegenüber von Punkt $C$ die Seite $c$. Die drei Winkel an den Eckpunkten des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Winkel bei Punkt $A$ heißt $\alpha$, der Winkel bei Punkt $B$ heißt $\beta$ und der Winkel bei Punkt $C$ heißt $\gamma$. Da diese Winkel innerhalb des Dreiecks liegen, nennt man sie auch Innenwinkel des Dreiecks.

Beschriftung eines Dreiecks

Beschriftung von Vierecken

Auch beim Viereck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben bezeichnet: $A$, $B$, $C$ und $D$. Auch hier werden sie entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet. Wir nennen das Viereck dann $ABCD$. Die Strecken zwischen benachbarten Eckpunkten nennt man auch hier Seiten. Diese werden wieder mit Kleinbuchstaben bezeichnet: $a$, $b$, $c$ und $d$. Die vier Innenwinkel an den Ecken werden wieder mit griechischen Buchstaben bezeichnet: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$.

Beschriftung eines Vierecks

Winkelsummensatz im Dreieck

Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Warum ist die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad?

Wir können die Winkelsumme im Dreieck beweisen, indem wir durch den Eckpunkt $C$ eine Parallele zur Seite $c$ einzeichnen. Die dadurch links und rechts von $\gamma$ entstehenden Winkel sind Wechselwinkel von $\alpha$ und $\beta$. Wir können somit erkennen, dass die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ zusammen einen gestreckten Winkel, also $180^\circ$, bilden.

Beispiel zum Berechnen der Winkelsumme im Dreieck

Wir können die Winkelsumme im Dreieck an einem Beispiel entdecken. Ein Dreieck habe folgende Winkel:

  • $\alpha =50^\circ$
  • $\beta =60^\circ$
  • $\gamma =70^\circ$

Wie rechnet man die Winkelsumme aus? Wir können die gegebenen Winkel addieren und erhalten:

$\alpha + \beta + \gamma = 50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ$

Dies entspricht der Aussage des Winkelsummensatzes.

Genauso können wir auch die Winkelsumme in einem gleichschenkligen oder rechtwinkligen Dreieck berechnen. Der Winkelsummensatz gilt für jedes beliebige Dreieck.

Winkelsummensatz im Viereck

Wir kennen nun die Winkelsumme im Dreieck. Aber wie groß ist die Winkelsumme im Viereck? Es gilt:

Die Summe aller Innenwinkel im Viereck beträgt $360^\circ$.

$\alpha + \beta + \gamma + \delta= 360^\circ$

Warum ist die Winkelsumme in einem Viereck 360 Grad?

Der Beweis der Winkelsumme im Viereck erfolgt durch das Einzeichnen der Diagonale $AC$. Diese teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ werden dadurch jeweils in zwei Teilwinkel aufgeteilt. Mithilfe des Innenwinkelsummensatzes für Dreiecke können wir dann den Winkelsummensatz für Vierecke beweisen. Denn die beiden Dreiecke haben jeweils die Innenwinkelsumme $180^\circ$, das Viereck ist aus den beiden Dreiecken zusammengesetzt und hat daher die Innenwinkelsumme $180^\circ +180^\circ = 360^\circ$.

Beispiel zum Berechnen der Winkelsumme im Viereck

Ein Viereck habe folgende Winkel:

  • $\alpha =80^\circ$
  • $\beta =70^\circ$
  • $\gamma =100^\circ$
  • $\delta =110^\circ$

Wir können nun die Winkelsumme des Vierecks berechnen:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta= 80^\circ + 70^\circ + 100^\circ + 110^\circ = 360^\circ$

Zusammenfassung zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck

Wir haben zunächst die Beschriftung der Eckpunkte, der Seiten und der Winkel im Dreieck und im Viereck wiederholt. Anschließend haben wir die Winkelsummen, die auch Innenwinkelsummen genannt werden, für das Dreieck und das Viereck an Beispielen erläutert. Der Innenwinkelsummensatz wurde auch bewiesen. Wenn du noch mehr Übungen zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck benötigst, so wirst du auf dieser Seite fündig. Hier findest du verschiedene Aufgaben zur Winkelsumme im Viereck. Auch kannst du hier Arbeitsblätter zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck herunterladen.

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Winkelsumme in Vierecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelsumme in Vierecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Aussage des Innenwinkelsummensatzes für Vierecke wieder.

    Tipps

    Beispiel für die Innenwinkel eines Vierecks:

    • $\alpha = 90^\circ$
    • $\beta = 125^\circ$
    • $\gamma = 45^\circ$
    • $\delta = 100^\circ$

    Der Begriff Innenwinkelsummensatz verrät dir, welche Rechenoperation angewendet wird.

    Lösung

    Die Innenwinkel im Viereck werden mit griechischen Buchstaben benannt:
    $\alpha,~ \beta,~ \gamma$ und $\delta$.

    Die Summe aller Innenwinkel ist in jedem Viereck gleich groß.

    Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $\color{#99CC00}{\mathbf{360^\circ}}$ beträgt.

    Wir schreiben dies als Formel:

    $\color{#99CC00}{\mathbf{\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ}}$

    Alle Winkel zusammen ergeben also $360^\circ$.

    Wir betrachten dazu noch ein Beispiel:
    In einem Viereck sind die Innenwinkel:

    • $\alpha = 90^\circ$
    • $\beta = 125^\circ$
    • $\gamma = 45^\circ$
    • $\delta = 100^\circ$
    Wir addieren alle vier Winkel...
    $ 90^\circ+ 125^\circ+ 45^\circ+ 100^\circ = 360^\circ$
    ...und erkennen, dass die Summe der Innenwinkel wie erwartet $360^\circ$ ergibt.

  • Beschreibe, wie der Innenwinkelsummensatz für Vierecke bewiesen werden kann.

    Tipps

    Beginne damit, das Dreieck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zu teilen, wie abgebildet.

    Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$.

    Als letzten Schritt musst du die erhaltene Gleichung zusammenfassen.

    Lösung

    Um den Innenwinkelsummensatz für Vierecke zu beweisen, betrachten wir ein beliebiges allgemeines Viereck mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$.
    Wir wollen zeigen, dass die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ genau $360^\circ$ beträgt.

    Dazu gehen wir wie folgt vor:

    1.$~$Wir zeichnen eine Diagonale zwischen den Eckpunkgen $A$ und $C$ ein.

    Die Diagonale teilt die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ jeweils in zwei kleinere Winkel. Wir nennen diese $\alpha_1$ und $\alpha_2$ mit ${\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha}$ beziehungsweise $\gamma_1$ und $\gamma_2$ mit ${\gamma_1 + \gamma_2 = \gamma}$.

    2.$~$Das Viereck wird durch die Diagonale in zwei Dreiecke geteilt: die Dreiecke $ABC$ und $ACD$.

    Wir wissen bereits, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^\circ$ beträgt. Damit ergeben sich für die beiden Dreiecke die beiden Gleichungen:

    ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180^\circ}~$ und $~{\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ}$

    3.$~$Wir fügen diese beiden Gleichungen zusammen und erhalten:

    ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 + \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ + 180^\circ}$

    4.$~$Diese Gleichung können wir noch sortieren:

    ${\alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta = 360^\circ}$

    5.$~$Und im letzten Schritt zum Innenwinkelsummensatz für Vierecke zusammenfassen:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

    Die Innenwinkelsumme beträgt im Viereck $360^\circ$.


    Zusammengefasst erhalten wir folgende korrekte Reihenfolge:

    1.$~$Wir betrachten das Viereck $ABCD$ und zeichnen eine Diagonale zwischen $A$ und $C$ ein. Diese teilt:

    $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha \quad$ und $\quad \gamma_1 + \gamma_2 = \gamma$

    2.$~$Für die beiden entstandenen Dreiecke $ABC$ und $ACD$ gilt:

    ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180^\circ}~$ und $~{\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ}$

    3.$~$Wir setzen diese Gleichungen zu einer Gleichung zusammen:

    ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 + \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ + 180^\circ}$

    4.$~$Wir sortieren:

    ${\alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta = 360^\circ}$

    5.$~$Und fassen zusammen:

    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

  • Überprüfe, ob die vier gegebenen Winkel die Innenwinkel eines Vierecks sein können.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für ein Viereck mit den eingetragenen vier Innenwinkeln.

    Bilde die Summe der vier gegebenen Winkel.

    Lösung

    Damit die vier gegebenen Winkel ein Viereck bilden können, muss der Innenwinkelsummensatz erfüllt sein.

    Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt.
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

    Wir bilden also jeweils die Summe der vier gegebenen Winkel, und überprüfen, ob diese $360^\circ$ ergibt:

    Viereck 1:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 126^\circ + 34^\circ + 112^\circ + 78^\circ = 350^\circ \neq 360^\circ$
    $\implies$ kein Viereck

    Viereck 2:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90^\circ + 67^\circ + 103^\circ + 100^\circ = 360^\circ$
    $\implies$ Viereck

    Viereck 3:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 78^\circ + 95^\circ + 86^\circ + 101^\circ = 360^\circ$
    $\implies$ Viereck

    Viereck 4:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 66^\circ + 78^\circ + 19^\circ + 101^\circ = 264^\circ \neq 360^\circ$
    $\implies$ kein Viereck

    Viereck 5:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
    $\implies$ Viereck

    Viereck 6:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 77^\circ + 115^\circ + 59^\circ + 108^\circ = 359^\circ \neq 360^\circ$
    $\implies$ kein Viereck

  • Berechne den fehlenden Winkel $\beta$ der Vierecke.

    Tipps

    Du kannst mit dem Innenwinkelsummensatz für Viereck einen fehlenden Winkel in einem Viereck berechnen.

    Setze die gegebenen Winkel in die Gleichung $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ ein und stelle nach dem gesuchten Winkel um.

    Lösung

    Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt.
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

    Um den fehlenden Winkel $\beta$ zu berechnen, können wir von $360^\circ$ die drei bekannten Winkel abziehen und erhalten so den gesuchten Winkel:
    $\beta = 360^\circ - \alpha - \gamma -\delta$

    Wir führen diese Berechnung für die vier Vierecke durch:

    Erstes Viereck:
    $\alpha = 68^\circ \,\, \gamma = 123^\circ \,\, \delta = 97^\circ$
    $\beta = 360^\circ - 68^\circ -123^\circ -97^\circ =72^\circ $

    Zweites Viereck:
    $\alpha = 131^\circ \,\, \gamma = 51^\circ \,\,\delta = 47^\circ$
    $\beta = 360^\circ - 131^\circ -51^\circ -47^\circ =131^\circ $

    Drittes Viereck:
    $\alpha = 106^\circ \,\, \gamma = 98^\circ \,\, \delta = 62^\circ$
    $\beta = 360^\circ - 106^\circ -98^\circ -62^\circ =94^\circ $

    Viertes Viereck:
    $\alpha = 99^\circ \,\, \gamma = 58^\circ \,\, \delta =116^\circ$
    $\beta = 360^\circ - 99^\circ -58^\circ -116^\circ =87^\circ $

  • Benenne die Innenwinkel des abgebildeten Vierecks.

    Tipps

    Die griechischen Buchstaben entsprechen den Großbuchstaben der Ecken.

    Winkelbezeichnungen:

    • $\alpha$: $~$ Alpha
    • $\beta$: $~$ Beta
    • $\gamma$: $~$ Gamma
    • $\delta$: $~$ Delta
    Lösung

    Bei der Beschriftung eines Vierecks gehen wir wie folgt vor:

    Beschriftung der Ecken:
    Wir beginnen links unten und beschriften die Ecken dann gegen den Uhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge mit Großbuchstaben:
    $A \quad - \quad B \quad - \quad C\quad - \quad D$

    Beschriftung der Innenwinkel:
    Wir beschriften die Innenwinkel mit griechischen Buchstaben. Die Buchstaben entsprechen den Großbuchstaben der Ecken:
    $\alpha \quad - \quad \beta \quad - \quad \gamma \quad - \quad \delta$
    Wir sprechen diese wie folgt:

    • $\alpha$: $~$ Alpha
    • $\beta$: $~$ Beta
    • $\gamma$: $~$ Gamma
    • $\delta$: $~$ Delta
    Somit ergibt sich die Beschriftung wie in der Abbildung.

  • Ermittle die fehlenden Winkel der Vierecke.

    Tipps

    Beim Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. Außerdem sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.

    Beim Drachenviereck gibt es zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten und ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel.

    Lösung

    Wir wissen, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt:
    $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

    In unserem Fall handelt es sich um spezielle Vierecke:

    Das Parallelogramm:
    Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
    Wir wissen also, dass $\alpha = \gamma = 110^\circ$ //. Entsprechend dem Winkelsummensatz bleiben $360^\circ - 110^\circ - 110^\circ = 140^\circ$ für die beiden verbleibenden Winkel:
    $\beta = \delta = 140^\circ :2 = 70^\circ$
    Insgesamt erhalten wir also die Winkel:

    $\alpha = 110^\circ$
    $\beta=\color{#99CC00}{\mathbf{70^\circ}}$
    $\gamma=\color{#99CC00}{\mathbf{110^\circ}}$
    $\delta=\color{#99CC00}{\mathbf{70^\circ}}$

    Das Drachenviereck:
    Es gibt zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten und ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel.
    Es gilt also $\beta = \delta = 100^\circ$
    Den vierten fehlenden Winkel können wir über den Winkelsummensatz berechnen:
    $\gamma = 360^\circ - 120 ^\circ - 100^\circ - 100^\circ = 40^\circ$
    Insgesamt erhalten wir also die Winkel:

    $\alpha = 120^\circ$
    $\beta= 100^\circ$
    $\gamma=\color{#99CC00}{\mathbf{40^\circ}}$
    $\delta=\color{#99CC00}{\mathbf{100^\circ}}$