Innenwinkelsummen von Vielecken
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Grundlagen zum Thema Innenwinkelsummen von Vielecken
Was ist die Innenwinkelsumme von Vielecken?
Philgonia Eckstein macht eine Forschungsreise in Polygonien. Dort haben alle Lebewesen die Form von Vielecken. Philgonia möchte heute Spinnennetze erforschen. Dabei kann sie auf ihr Wissen aus dem Matheunterricht zur Innenwinkelsumme von Vielecken zurückgreifen. Ein Vieleck mit $n$ Ecken nennt man auch $n$-Eck.
Für die Berechnung der Innenwinkelsumme eines Vielecks werden alle Innenwinkel des Vielecks zusammengerechnet. Anders gesagt: Es wird berechnet, wie viel Grad alle Innenwinkel zusammen in einem Vieleck haben.
Bei Dreiecken ist die Innenwinkelsumme immer $180^\circ$. Du kannst dir zur Wiederholung Philgonias Forschungserlebnis zu Innenwinkelsummen von Dreiecken anschauen.
Aber wie sieht es aus, wenn wir ein Vieleck mit mehr als drei Ecken betrachten?
Als erstes Beispiel schauen wir uns ein Sechseck an und messen mit einem Geodreieck alle innen liegenden Winkel:
Wir addieren diese Winkel und erhalten als Summe $720^\circ$:
$90^\circ+120^\circ+120^\circ+130^\circ+130^\circ+130^\circ=720^\circ$
Dieses Sechseck kann man in vier Dreiecke aufteilen:
Von Dreiecken wissen wir, dass sie immer eine Innenwinkelsumme von $180^\circ$ haben, deswegen können wir für die Innenwinkelsumme des Sechsecks auch mithilfe der Dreiecke rechnen:
$4\cdot 180^\circ = 720^\circ$
Innenwinkelsumme von Vielecken – Herleitung
Genau so, wie wir es gerade beim Sechseck gesehen haben, können wir jedes beliebige Vieleck in Dreiecke aufteilen. Dazu nehmen wir uns eine beliebige Ecke des Vielecks und verbinden diese mit jeder anderen Ecke des Vielecks, indem wir jeweils eine Strecke einzeichnen. Daraus entstehen jeweils Dreiecke, außer bei der Verbindung mit den benachbarten Ecken. Für das Sechseck von oben wurde die linke untere Ecke durch die hier weiß markierten Strecken mit den anderen Ecken, außer den benachbarten Ecken, verbunden:
Durch jede Verbindungsstrecke wird ein Dreieck abgespalten. Die letzte Strecke, die eingezeichnet wird, teilt das verbleibende Viereck in zwei Dreiecke:
Insgesamt entstehen für das Sechseck vier Dreiecke. Verallgemeinert bedeutet das, es entstehen $(n-2)$ Dreiecke, wenn man ein $n$-Eck wie beschrieben aufteilt. Ein Viereck besteht also aus zwei Dreiecken, ein Fünfeck aus drei Dreiecken und so weiter.
Für die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit $n$ Ecken ergibt sich also folgende Formel:
$I=(n-2)\cdot 180^\circ$
Innenwinkelsumme von Vielecken – Beispiele
Wir schauen uns nun beispielhaft noch weitere Vielecke an und bestimmen deren Innenwinkelsumme.
Zunächst nehmen wir uns ein Siebeneck vor und wollen wieder unser Wissen über die Innenwinkelsumme von Dreiecken zu Hilfe nehmen. Deswegen teilen wir das Siebeneck wie folgt in Dreiecke auf:
Das Siebeneck haben wir in sieben Dreiecke unterteilt, die alle eine Ecke in einem gemeinsamen Punkt innerhalb des Siebenecks haben. Wir addieren alle Innenwinkel dieser Dreiecke und erhalten:
$7\cdot 180^\circ = 1260^\circ$
Rechnen wir mit der oben hergeleiteten Formel erhalten wir aber:
$I=(7-2)\cdot 180^\circ = 5\cdot 180^\circ = 900^\circ$.
Was haben wir im ersten Ansatz falsch gemacht? Die Winkel an dem Punkt, in dem die Dreiecke zusammenlaufen, tragen nicht zur Innenwinkelsumme bei. Die Winkel um diesen Punkt haben zusammen $360^\circ$:
Wir müssen also von den $1260^\circ$ noch $360^\circ$ abziehen:
$7\cdot 180^\circ – 360^\circ = 900^\circ$
Nun haben wir dasselbe Ergebnis erhalten, das wir auch mit der Formel berechnet haben.
Als Nächstes schauen wir uns das folgende Fünfeck an:
Können wir die Innenwinkelsumme auch bestimmen, ohne das Fünfeck in Dreiecke zu unterteilen? Hierfür schauen wir einer Spinne zu, die auf den Kanten des Fünfecks krabbelt. Erreicht sie eine Ecke, muss sie eine Drehung um einen Winkel $\beta$ machen, damit sie auf der angrenzenden Kante weiterkrabbeln kann:
Der Winkel $\beta$ und der angrenzende Innenwinkel $\alpha$ ergeben zusammen einen Winkel von $180^\circ$.
Diese Winkelpaare gibt es in jeder der fünf Ecken:
Es gibt also fünf Winkelpaare von jeweils $180^\circ$:
$\alpha_1+\beta_1 = 180^\circ; ~ \alpha_2+\beta_2 = 180^\circ; ~ \alpha_3+\beta_3 = 180^\circ; ~ \alpha_4+\beta_4 = 180^\circ; ~ \alpha_5+\beta_5 = 180^\circ$
Wenn die Spinne das ganze Fünfeck umrundet, hat sie sich auf ihrem Weg also um die fünf Winkel $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, $\beta_4$ und $\beta_5$ gedreht. Außerdem schaut sie am Ende ihres Wegs wieder in die gleiche Richtung wie am Anfang, sie hat sich also insgesamt um $360^\circ$ gedreht. Daraus ergibt sich Folgendes:
$\beta_1+\beta_2+\beta_3+\beta_4+\beta_5 = 360^\circ$
Nun bringen wir diese beiden Überlegungen zusammen: Die Summe der Winkelpaare ergibt $180^\circ$, ausgeschrieben ist das:
$\alpha_1+\beta_1 + \alpha_2+\beta_2 + \alpha_3+\beta_3+\alpha_4+\beta_4 +\alpha_5+\beta_5 = 5\cdot 180^\circ$
Auf der linken Seite dieser Gleichung können wir umsortieren:
$\alpha_1+ \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5+\beta_1 +\beta_2+\beta_3+\beta_4 +\beta_5 = 5\cdot 180^\circ$
Die Summe aller $\alpha$-Winkel ist unsere gesuchte Innenwinkelsumme $I$. Die Summe aller $\beta$-Winkel haben wir oben schon berechnet. Das können wir einsetzen:
$I+360^\circ = 5\cdot 180^\circ$
Diesen Term können wir umstellen, indem wir $360^\circ$ subtrahieren und erhalten:
$I = 5\cdot 180^\circ - 360^\circ = 5\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 3\cdot 180^\circ =540^\circ$
Auch für die Innenwinkelsumme dieses Fünfecks hat sich die Formel bestätigt, die wir bereits kennen. Wir haben nun drei verschiedene Erklärungen für die Berechnung der Innenwinkelsumme von Vielecken gesehen.
Innenwinkelsumme in Vielecken – Zusammenfassung
Die Formel, um zu bestimmen, wie groß die Innenwinkelsumme in einem n-Eck, oder Vieleck, ist, lautet:
$I=(n-2)\cdot 180^\circ$
Diese Formel kannst du nutzen, wenn du Aufgaben zur Bestimmung der Innenwinkelsumme von Vielecken lösen sollst. Für die folgenden n-Ecke ergeben sich die Innenwinkelsummen:
| n-Eck | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Innenwinkelsumme | $180^\circ$ | $360^\circ$ | $540^\circ$ | $720^\circ$ | $900^\circ$ |
Transkript Innenwinkelsummen von Vielecken
Philgonia Eckstein ist auf einer Forschungsreise in Polygonien. Dort haben alle Lebewesen die Form von Vielecken: Gräser, Blumen, Wirbeltiere und Insekten haben die Formen von Drei-, Fünf-, Achtecken und vielen anderen Vielecken. Manche wollen sogar schon ein saurierartiges, regelmäßiges zweihundert-siebenundfünfzig-Eck gesehen haben. Philgonia bleibt aber erstmal bei Vielecken mit geringerer Eckenzahl: Sie erforscht heute die Spinnen und ihre wunderschönen Netze. Also muss Philgonia die Innenwinkelsumme von Vielecken bestimmen. Bei Dreiecken kennt Philgonia die Innenwinkelsumme schon: Die ist immer 180 Grad. Vielleicht hilft ihr das auch für die Vermessung der Vielecke. Philgonia nimmt ihr spezielles, antihaftbeschichtetes, spinnennetztaugliches Geodreieck und fängt bei diesem sechseckigen Spinnennetz an, die Innenwinkel zu messen. Sie misst 90 Grad, 120 Grad, 130 Grad, 130 Grad, 130 Grad und noch einmal 120 Grad. Zusammen ergibt das die Innenwinkelsumme von 720 Grad, ah ja! Ihr fällt aber auch sofort auf, dass sich dieses Netz aus 4 Dreiecken aufbaut. Weil jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180 Grad hat, haben diese 4 Dreiecke zusammen das Vierfache, also 720 Grad. Moment mal, so kann man das ja eigentlich bei jedem Vieleck machen. Allgemein lässt sich ein n-Eck immer in 'n minus 2' Dreiecke aufteilen. Zur Aufteilung eines Vielecks in Dreiecke sucht man sich einfach eine beliebige Ecke des Vielecks aus. Diese Ecke wird dann mit allen anderen Ecken des Vielecks durch Strecken verbunden außer mit den beiden benachbarten Ecken, denn dabei würden keine Dreiecke entstehen. Man zieht also n minus 3 Verbindungsstrecken und durch jede Strecke wird ein Dreieck abgetrennt. Nur bei der letzten Verbindungsstrecke entstehen 2 Dreiecke, weil dabei ein verbleibendes Viereck in zwei Dreiecke zerteilt wird. Insgesamt entstehen also n minus 2 Dreiecke. Ein 4-Eck besteht also aus 2 Dreiecken, ein 5-Eck aus 3 Dreiecken, ein 6-Eck aus 4 Dreiecken und so weiter. Für die Innenwinkelsumme I eines n-Ecks ergibt sich also folgende Formel: I ist gleich 'in Klammern n minus 2' mal 180 Grad. Aber Philgonia forscht schon fleißig weiter: Hier baut die nächste Spinne ihr siebeneckiges Netz. Dieses Netz ist in 7 Dreiecke – ein Dreieck pro Ecke – aufgeteilt. Dabei laufen die Dreiecke im Innern des Netzes in einem Punkt zusammen. Alle Innenwinkel der 7 Dreiecke haben zusammen 7 mal 180 Grad, das macht 1260 Grad. Lass uns das noch einmal mit unserer Formel nachprüfen: I ist gleich 'in Klammern n minus 2' mal 180 Grad ist gleich 7 minus 2 mal 180 Grad macht 5 mal 180 Grad, das sind 900 Grad. Was haben wir falsch gemacht? Die Winkel an dem Punkt, wo die Dreiecke zusammenlaufen, tragen ja gar nicht zur Innenwinkelsumme bei! Die Winkel um diesen Punkt haben zusammen genau 360 Grad. Wir müssen also von den 1260 Grad noch 360 Grad abziehen. Das macht 900 Grad. Nun haben wir dasselbe Ergebnis erhalten, das wir auch mit unserer Formel berechnet haben. Zur Sicherheit messen wir noch einmal nach: 90 Grad und 130 Grad und 140 Grad und 150 Grad und 130 Grad und 110 Grad und 150 Grad sind zusammen 900 Grad. Wir haben also definitiv das richtige Ergebnis. Und Philgonia forscht weiter: Hier baut die dritte Spinne ihr fünfeckiges Netz. Können wir die Innenwinkelsumme ermitteln, ohne das Fünfeck in Dreiecke aufzuteilen? Sieh mal, wie die Spinne ihr Fünfeck umrundet: An jeder Ecke muss sie sich ein Stück drehen – und zwar um einen Winkel Beta. Zusammen mit dem zugehörigen Innenwinkel Alpha bildet dieser einen Winkel von 180 Grad. Diese Winkelpaare gibt es in jeder der 5 Ecken: Immer dreht sich die Spinne um einen Winkel Beta, der zusammen mit dem entsprechenden Innenwinkel Alpha 180 Grad ergibt. Es gibt also 5 Winkelpaare von jeweils 180 Grad. Das ist die erste Überlegung. Während die Spinne einmal um ihr Netz herumkrabbelt, dreht sie sich um die Winkel Beta 1, Beta 2, Beta 3, Beta 4 und Beta 5. Zum Schluss schaut sie wieder in dieselbe Richtung wie am Anfang. Das heißt, sie hat sich um 360 Grad gedreht. Also gilt: Die Summe von 'Beta 1' bis 'Beta 5' ergibt 360 Grad. Das ist die zweite Überlegung. Jetzt verbinden wir die erste und die zweite Überlegung: Die Summe der Winkelpaare beträgt 5 mal 180 Grad. Wenn wir die Summe der 5 Winkelpaare aufschreiben: also 'Alpha 1' plus 'Beta 1' bis 'Alpha 5' plus 'Beta 5', dann können wir diese Summe ein bisschen umsortieren, die Alpha-Winkel zusammenfassen und die Beta-Winkel zusammenfassen. Die Summe aller Alpha-Winkel ist unsere Innenwinkelsumme I. Die Summe aller Beta-winkel ist 360 Grad, das können wir einsetzen. Es ist also 5 mal 180 Grad gleich I plus 360 Grad. 360 Grad ist 2 mal 180 Grad. Jetzt müssen wir nur noch umstellen und erhalten so: I ist gleich 5 minus 2 mal 180 Grad. Ergibt 540 Grad. Wir haben also auch für die Innenwinkelsumme dieses Spinnennetzes die Formel erhalten, die wir bereits kennen. Während Philgonia weitere Spinnennetze erforscht, fassen wir zusammen: Die Innenwinkelsumme eines N-ecks berechnet sich nach der Formel I ist gleich 'in Klammern n minus 2' mal 180 Grad. Bei einem Dreieck ergibt das beispielsweise 180 Grad, bei einem Viereck 360 Grad, bei einem Fünfeck 540 Grad, bei einem Sechseck 720 Grad und bei einem Siebeneck 900 Grad. Philgonia ist sehr stolz, dass sie nun eine Formel für die Innenwinkel der Spinnennetze gefunden hat. Die spinnen, die Spinnen!
Innenwinkelsummen von Vielecken Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zur Innenwinkelsumme von Vielecken.
TippsHier wurde ein $7$-Eck vom Mittelpunkt aus in Dreiecke aufgeteilt.
Bei der Aufteilung in Dreiecke von einer Ecke aus, müssen Begrenzungslinien von einer beliebigen Ecke zu allen anderen Ecken gezogen werden. Nur zu den direkt nebenliegenden Ecken werden keine Begrenzungslinien gezogen.
Die Innenwinkelsumme des $7$-Ecks beträgt $900^{\circ}$.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- „Vom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n-2$ Dreiecke aufteilen.“
- „Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-1) \cdot 180^{\circ}$“
Diese Aussagen sind richtig:
- „Beginnst du in einer Ecke eines Sechsecks, kannst du es in $4$ Dreiecke aufteilen.“
- „Die Innenwinkelsumme eines $6$-Ecks beträgt $720^{\circ}$.“
- „Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren des Vielecks, die von den Begrenzungslinien aufgespannt werden.“
-
Bestimme die Innenwinkelsumme des Siebenecks.
TippsVom Mittelpunkt eines $n$-Ecks aus, kannst du es in $n$ Dreiecke aufteilen.
Der Mittelpunktswinkel eines Vielecks ist nicht Teil der Innenwinkelsumme.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„Zuerst teilt sie das Siebeneck vom Mittelpunkt aus in $7$ Dreiecke auf. Sie weiß, dass jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von $180^{\circ}$ hat. Alle Dreiecke zusammen haben also eine Innenwinkelsumme von:
$7 \cdot 180^{\circ}= 1260^{\circ}$“
- Da sie die Dreiecke vom Mittelpunkt aus einzeichnet, erhält sie hier $7$ Stück.
$1260^{\circ}-360^{\circ}=900^{\circ}$“
- Da der Mittelpunktswinkel nicht zum Innenwinkel gehört, muss sie diesen von der Rechnung abziehen.
$I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$
bestätigen. Setzt sie die Anzahl der Ecken $n=7$ ein, erhält sie:
$I=5 \cdot 180^{\circ}=900^{\circ}$
Beide Wege kommen also auf das gleiche Ergebnis.“
-
Erschließe die korrekten Aussagen zu diesem Siebeneck.
TippsDer Mittelpunktswinkel entspricht einer kompletten Umdrehung eines Kreises.
Jedes $\beta$-$\alpha$-Paar addiert sich zu $180^{\circ}$ .
$\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$
LösungDiese Aussage ist falsch:
„Gilt $\alpha_1=175^{\circ}$ und $\alpha_2=175^{\circ}$, dann muss jeder der anderen $\alpha$-Winkel gleich $110^{\circ}$ sein.“
- Diese Winkelangaben addieren sich zwar korrekt zu $900^{\circ}$, es könnte aber auch jede beliebige Kombination an Winkeln, die sich zu dieser Summe addieren, vorkommen.
„Summierst du über alle $\alpha$, erhältst du $900^{\circ}$.“
- Die Innenwinkel aller Siebenecke addieren sich zu $900^{\circ}$.
- Alle $\beta$-Winkel addieren sich zu einer kompletten Umdrehung. Das entspricht dem Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$.
- Diese Kombination an Winkeln addiert sich zur korrekten Summe.
- Da du die Summe aller Innenwinkel kennst, kannst du aus den gegebenen $\alpha$-Winkeln den letzten $\alpha$-Winkel berechnen. Außerdem addiert sich jedes $\beta$-$\alpha$-Paar zu $180^{\circ}$. $\beta_i + \alpha_i=180^{\circ}$
-
Ermittle die korrekten Winkel in diesen Vielecken.
TippsDie Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.
Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.
LösungMit folgenden Überlegungen kannst du die Lösung bestimmen:
Die Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks ist $I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$.
Die Winkelsumme aller $\beta$ ist $360^{\circ}$.
An jeder Ecke gilt: $\alpha + \beta= 180^{\circ}$.
Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel gleich groß sind.
- Für das Fünfeck gilt:
Der Mittelpunktswinkel beträgt: $360^{\circ}$.
Gilt $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$ und $\alpha_4=\alpha_5=120^{\circ}$, dann ist $\alpha_1=100^{\circ}$.
- Beim Sechseck erhältst du:
Für $\alpha_1=100^{\circ}$, gilt $\beta_1=80^{\circ}$.
Gilt $\beta_1=\beta_2=\beta_3=50^{\circ}$ und $\beta_4=\beta_5=60^{\circ}$, dann ist $\beta_6=90^{\circ}$.
- Beim Rechteck ergibt sich:
und $\beta=90^{\circ}$.
-
Bestimme die Innenwinkelsumme der Vielecke.
TippsUm den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du zuerst die Anzahl der Ecken, die wir mit $n$ bezeichnen, zählen.
Anschließend setzt du $n$ in die Formel für die Innenwinkelsumme
$I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$ ein.
LösungUm den Innenwinkel der Vielecke zu bestimmen, musst du die Ecken $n$ zählen und in die Formel für die Innenwinkelsumme
$I=(n-2) \cdot 180^{\circ}$
einsetzen.
Damit erhältst du:
- Ein Viereck hat eine Innenwinkelsumme von $I=360^{\circ}$, denn $n=4$ und somit ist $I= (4-2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$.
- Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt $I=640^{\circ}$.
- Ein Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $I=720^{\circ}$.
- Die Innenwinkelsumme eines Siebenecks beträgt $I=900^{\circ}$.
-
Erschließe die korrekten Aussagen zu regelmäßigen Sechsecken.
TippsDie Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.
Das Zeichen $\approx$ kannst Du benutzen wie ein $=$-Zeichen. Es gibt nur an, dass das Ergebnis nicht ganz exakt ist.
LösungDie Lücken kannst du folgendermaßen füllen:
„Die Innenwinkel $\alpha$ betragen $120^{\circ}$.“
- Die Innenwinkel sind alle gleich groß und addieren sich zu: $720^{\circ}$
- Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Die Basiswinkel jedes dieser Dreiecke betragen die Hälfte der Innenwinkel des Sechsecks. Deshalb müssen alle Innenwinkel der Dreiecke $60^{\circ}$ groß sein.
- Der Mittelpunktswinkel von $360^{\circ}$ wird in sechs gleich große Teile aufgeteilt.
- Diesen Wert erhältst du durch Einsetzen von $a= 6~\text{cm}$ in die Formel $r \approx 0,9 \cdot a$. Daher ist $r \approx 0,9 \cdot a \approx 0,9 \cdot 6~\text{cm} \approx 5,4 ~\text{cm}$.
- Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: $A=\frac{1}{2} g h$. Hier entspricht das $A=\frac{1}{2} r a$. Setzt du die Größen in die Gleichung ein, erhältst du das Ergebnis.
- Das Sechseck besteht aus sechs dieser Dreiecke. Du musst also den Flächeninhalt eines Dreiecks mit sechs multiplizieren.
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Super Video ihr habt euch sehr viel Mühe gegeben 👍
Danke für das Video habe das Thema jetzt endlich verstanden
tolles video, hat mir geholfen
weiter so 🕷🕸📐😃
sehr schön das Ende war irgendwie verrückt
Das Ende war total verrückt, ich habe es geliebt! 😂