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Haus der Vierecke – Einführung 06:00 min

Textversion des Videos

Transkript Haus der Vierecke – Einführung

Die kleine Clara lebt ein rundum glückliches Leben in einer idyllischen Vorstadt: Auf ihrem Schulweg trifft sie aber jedes Mal auf das berüchtigte Haus der Vierecke. Uh, das sind ja eckige Gesellen dort und sie sind sogar alle Viereckig. Aber davor soll Clara keine Angst mehr haben. Deshalb machen wir mit ihr einen Rundgang durch das Haus der Vierecke. Vom Dach bis zum Keller wohnen in diesem Haus die verschiedenen Typen von Vierecken. Und ganz unten fangen wir unseren Besuch jetzt an. Das allgemeine Viereck im Keller hat nun ja vier Ecken und sonst keine besonderen Eigenschaften. Vielleicht ist es deshalb immer so schlecht gelaunt wir gehen mal besser weiter. Das Trapez hat immerhin schon eine besondere Eigenschaft, nämlich genau ein Paar parallele Seiten, die es natürlich stolz präsentiert. Das Drachenviereck kann keine Parallelen vorzeigen, ist aber trotzdem ziemlich fröhlich: Weil es achsensymmetrisch ist, macht es eine gute Figur. Das Parallelogramm fühlt sich als der ganz große Star: Zwei gegenüberliegende Seiten sind jeweils gleich lang und parallel. Weiter geht's. Moment, Trapez? Da waren wir schon! Ach nein: Dieses Trapez hier ist symmetrisch und hat zwei gleich lange Seiten. So etwas wie ein Bruder vom allgemeinen Trapez. Schon ziemlich weit oben wohnt die Raute sie hat sogar vier gleich lange Seiten. Daher ist sie ein bisschen eingebildet gehen wir mal weiter. Ach, endlich ein alter Bekannter: Beim Rechteck sind alle Winkel rechtwinklig. Das kann das Quadrat genauso von sich sagen, aber noch dazu sind bei ihm auch alle Seiten gleich lang. Manche Eigenschaften haben die Vierecke also gemeinsam, andere nicht. Schauen wir uns das genauer an: Ein Paar parallele Seiten haben fast alle Hausbewohner, außer dem Drachenviereck und dem allgemeinen Viereck bei zwei Paaren paralleler Seiten sind es schon weniger. Ein Paar gleich langer Seiten haben wieder fast alle Vierecke, nur das Trapez und das allgemeine Viereck nicht. Von diesen Vierecken haben fast alle sogar zwei Paare gleich langer Seiten – bis auf das symmetrische Trapez. Hier können wir sehen, wie das Parallelogramm seine Eigenschaften an andere Vierecke weitergibt. Man sagt: Das Parallelogramm vererbt seine Eigenschaften. Jede Eigenschaft eines Parallelogramms ist auch eine Eigenschaft von Raute und Rechteck, die im Haus ein Stockwerk weiter oben wohnen. Diese zwei sind also ebenfalls Parallelogramme. Und jede Eigenschaft des Rechtecks und der Raute hat wiederum das Quadrat, das ganz oben wohnt. Also ist das Quadrat sowohl Rechteck, als auch Raute. Wir merken uns: Gehen wir im Haus der Vierecke ein Stockwerk nach oben, nehmen wir die Eigenschaften der Vierecke mit. Umgekehrt gilt das aber nicht: Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Bei den Vierecken im Stockwerk darunter fehlt jeweils eine Eigenschaft: Die Raute hat vier gleich lange Seiten, aber keine vier rechten Winkel. Sie ist also kein Quadrat. Und das Rechteck hat vier rechte Winkel, aber keine vier gleich langen Seiten. Also ist auch das Rechteck kein Quadrat. Schauen wir uns nun die Diagonalen der Vierecke an: Zwei gleich lange Diagonalen hat das symmetrische Trapez. Auf der gleichen Etage wohnt das Parallelogramm, das hat zwei Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Das Rechteck wohnt über beiden: also hat es zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Und dasselbe gilt dann natürlich auch für das Quadrat. Die Raute wohnt direkt über dem Parallelogramm, aber nicht direkt über dem symmetrischen Trapez: Daher halbieren sich ihre Diagonalen, sie sind aber nicht gleich lang. Genau eine der Diagonalen wird beim Drachenviereck halbiert. Jetzt untersuchen wir die Winkelgrößen im Haus der Vierecke: Ein Paar gegenüberliegender Winkel sind fast überall gleich groß, außer bei den Trapezen und dem allgemeinen Viereck. Vierecke, bei denen je ein Paar benachbarter Winkel gleich groß sind, gibt es allerdings weniger. Und nur bei Rechteck und Quadrat sind alle Winkel gleich groß. Wieder erkennen wir: Eine Eigenschaft wird an Mitbewohner weitergegeben, die im Stockwerk direkt darüber wohnen. Beim Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander – und folglich auch bei der Raute und dem Quadrat. Schließlich untersuchen wir die Vierecke auf Symmetrie. Mindestens eine Symmetrieachse finden wir bei den meisten Vierecken, abgesehen vom allgemeinen Viereck, dem Trapez und dem Parallelogramm. Mindestens zwei Symmetrieachsen besitzen nur die Vierecke der oberen Stockwerke: Raute, Rechteck und Quadrat. Das Quadrat ist auch hier wieder etwas Besonderes: Es besitzt gleich vier Symmeterieachsen. Und welche Vierecke sind Punktsymmetrisch? Neben den Vierecken der oberen Stockwerke auch das Parallelogramm. Wir fassen zusammen: Im Haus der Vierecke sind alle Typen von Vierecken nach ihren Gemeinsamkeiten angeordnet. Die Eigenschaften werden 'von unten nach oben' vererbt. Im Keller wohnt also das am wenigsten spezielle Viereck: nämlich das allgemeine Viereck. Direkt unter dem Dach wohnt das Viereck, mit allen Spezialeigenschaften: Das Quadrat. Jetzt haben wir alle Eigenheiten dieser eckigen Gestalten kennengelernt. Und selbst Clara hat sich mit ihnen allen angefreundet.

Haus der Vierecke – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Haus der Vierecke – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Funktionsprinzip des Hauses der Vierecke.

    Tipps

    Im Keller wohnt das am wenigsten spezielle Viereck und direkt unter dem Dach wohnt das Viereck mit allen Spezialeigenschaften.

    Das Quadrat vereint die Eigenschaften einer Raute und eines Rechtecks.

    Lösung

    Vierecke haben $4$ Eckpunkte, $4$ Seiten und eine Innenwinkelsumme von $360^\circ$. Diese drei Eigenschaften treffen tatsächlich auf alle Vierecke zu. Doch einige Vierecke haben noch weitere Besonderheiten.

    Im Haus der Vierecke sind alle Typen von Vierecken nach ihren Eigenschaften wie folgt angeordnet:

    • Ein Viereck in einem höheren Stockwerk besitzt mehr Besonderheiten als die Vierecke in den darunterliegenden Etagen.
    • Ein Viereck besitzt mindestens alle besonderen Eigenschaften von seinen unteren Nachbarn.
    Die Eigenschaften werden also von unten nach oben vererbt. Gehen wir also ein Stockwerk nach oben, nehmen wir die Eigenschaften der Vierecke mit. Umgekehrt gilt das aber nicht. Das bedeutet, dass ein Quadrat auch ein Rechteck und eine Raute ist, aber ein Rechteck und eine Raute sind kein Quadrat.

    Demnach wohnt im Keller also das am wenigsten spezielle Viereck, nämlich das allgemeine Viereck. Direkt unter dem Dach wohnt das Viereck mit allen Spezialeigenschaften, also das Quadrat.

  • Vervollständige das Haus der Vierecke.

    Tipps

    Das Rechteck erbt die Eigenschaften des Parallelogramms und des symmetrischen Trapezes.

    Das Quadrat besitzt alle Besonderheiten.

    Hier siehst du, in welchen Räumen das Rechteck und das Trapez wohnen.

    Lösung

    Wir merken uns: Gehen wir im Haus der Vierecke ein Stockwerk nach oben, nehmen wir die Eigenschaften der Vierecke mit. Umgekehrt gilt das aber nicht:

    Dachgeschoss

    • Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten, vier rechte Winkel und zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Damit besitzt es alle Besonderheiten. Daher ist es direkt unter dem Dach platziert.
    Zweites Stockwerk
    • Bei den Vierecken im Stockwerk darunter fehlt jeweils eine Eigenschaft: Die Raute hat vier gleich lange Seiten und zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Es hat aber keine vier rechten Winkel. Das Rechteck hat vier rechte Winkel und zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Es hat aber keine vier gleich langen Seiten.
    Erstes Stockwerk
    • Die unteren Nachbarn des Rechtecks sind das Parallelogramm und das symmetrische Trapez. Diese haben jeweils eine Eigenschaft weniger als das Rechteck. Das Parallelogramm hat keine rechten Winkel und das symmetrische Trapez besitzt nur ein Paar paralleler gleich langer Seiten.
    • Die unteren Nachbarn der Raute sind das Parallelogramm und das Drachenviereck. Auch diese haben jeweils eine Eigenschaft weniger als das Drachenviereck. Das Parallelogramm hat nicht vier gleich lange Seiten und beim Drachenviereck wir nur eine Diagonale durch die andere halbiert.
    Erdgeschoss
    • Der untere Nachbar des Parallelogramms und des symmetrischen Trapezes ist das Trapez. Es besitzt eine Eigenschaft weniger als das symmetrische Trapez, nämlich die gleich langen Diagonalen, und eine Eigenschaft weniger als das Parallelogramm, nämlich die zwei Paar parallelen Seiten.
    Keller
    • Hier wohnt nun das Viereck, dass keine besonderen Eigenschaften bis auf seine vier Ecken aufweist.

  • Gib die Eigenschaften der Vierecke bezüglich der Parallelität ihrer Seiten an.

    Tipps

    Hier siehst du in der ersten Reihe von links nach rechts folgende Vierecke:

    1. Drachenviereck
    2. Quadrat
    3. Trapez
    4. Parallelogramm
    In der zweiten Reihe sind von links nach rechts folgende Vierecke abgebildet:

    1. Rechteck
    2. symmetrisches Trapez
    3. Raute
    4. allgemeines Viereck

    Die Eigenschaft „mindestens ein Paar parallele Seiten“ trifft auch auf Vierecke mit zwei Paar paralleler Seiten zu.

    Lösung

    Wir können den Vierecken folgende Eigenschaften bezüglich der Parallelität ihrer Seiten zuordnen:

    • Das Trapez hat eine besondere Eigenschaft, nämlich genau ein Paar parallele Seiten.
    • Das Drachenviereck kann keine Parallelen vorzeigen.
    • Beim Parallelogramm sind zwei gegenüberliegende Seiten jeweils gleich lang und parallel.
    • Das symmetrische Trapez hat ein Paar parallele und ein Paar gleich lange Seiten.
    • Die Raute hat zwei Paar parallele Seiten. Zudem sind alle Seiten gleich lang.
    • Beim Rechteck sind alle Winkel rechtwinklig. Gegenüberliegende Seiten sind jeweils parallel und gleich lang.
    • Das Quadrat hat ebenfalls nur rechte Winkel und zwei Paar parallele Seiten. Zudem sind beim Quadrat alle Seiten gleich lang.
  • Entscheide, welche Vierecke die jeweiligen Kombinationen mindestens ergeben.

    Tipps

    Fasse alle Eigenschaften zusammen und überlege, welches Viereck diese Eigenschaften hat. Manchmal können mehrere Vierecke zutreffen, wähle dann das Viereck mit den wenigsten Besonderheiten.

    Wäre zum Beispiel ein Viereck mit vier rechten Winkeln gesucht, so käme das Quadrat und Rechteck in Frage. Aber das Quadrat hat zusätzlich noch vier gleich lange Seiten, also hat das Rechteck weniger Besonderheiten.

    Lösung

    Wir suchen hier eigentlich jeweils den nächsten oberen Nachbar im Haus der Vierecke. Wir erhalten:

    • Vereint man die Eigenschaften eines Parallelogramms und symmetrischen Trapezes, so erhält man mindestens das Rechteck.
    Das Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten und das symmetrische Trapez ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten seiner beiden parallelen Seiten. Das allgemeinste Viereck, das beide Eigenschaften besitzt, ist das Rechteck.

    • Die Eigenschaften eines Parallelogramms und Drachenvierecks ergeben zusammen mindestens eine Raute.
    Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch bezüglich einer seiner Winkelhalbierenden. Ein Parallelogramm, das zusätzlich diese Eigenschaft besitzt, ist eine Raute.

    • Die Raute mit vier gleich langen Seiten und das Rechteck mit vier rechten Winkeln liefern zusammen das Quadrat.
    • Ein symmetrisches Trapez, das zusätzlich gleich große gegenüberliegende Winkeln hat, ist mindestens ein Parallelogramm.
  • Arbeite die Eigenschaften der Vierecke bezüglich ihrer Diagonalen heraus.

    Tipps

    Die Diagonalen eines Vierecks erhältst du, indem du die gegenüberliegenden Ecken jeweils miteinander verbindest.

    Lösung

    Du kannst die Eigenschaften der Vierecke bezüglich ihrer Diagonalen sehr übersichtlich in einer Tabelle zusammenfassen. Du erhältst dann folgende Tabelle:

    $\begin{array}{l|c|c|c} & \text{gleich lang} & \text{beide halbieren} & \text{genau eine} \\ & & \text{sich} & \text{wird halbiert} \\ \hline \text{Quadrat} & \checkmark & \checkmark & \\ \hline \text{Rechteck} & \checkmark & \checkmark & \\ \hline \text{Raute} && \checkmark & \\ \hline \text{symmetrisches Trapez} & \checkmark && \\ \hline \text{Parallelogramm} && \checkmark & \\ \hline \text{Drachenviereck} &&& \checkmark \\ \hline \text{Trapez} &&& \\ \hline \text{allgemeines Viereck} &&& \\ \end{array}$

    Demnach sind folgende Aussagen korrekt:

    • „Das symmetrische Trapez hat zwei gleich lange Diagonalen.“
    • „Das Parallelogramm hat zwei Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren.“
    • „Das Rechteck hat zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren.“
    Diese Aussagen hingegen sind falsch:

    • „Die Raute hat zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren.“ Die Raute hat die Besonderheit vier gleich lange Seiten zu besitzen. Aus dieser Eigenschaft resultiert nicht, dass die Diagonalen gleich lang sind.
    • „Beim Drachenviereck wird genau eine der gleich langen Diagonalen halbiert.“ Tatsächlich wird bei einem Drachenviereck genau eine Diagonale halbiert, da das es nämlich achsensymmetrisch zu der jeweils anderen Diagonalen ist. Allerdings sind die beiden Diagonalen nicht gleich lang.
  • Erschließe die Symmetrie- und Winkeleigenschaften der Vierecke.

    Tipps

    Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten. Seine Diagonalen sind ebenfalls gleich lang und halbieren sich gegenseitig.

    Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind je parallel zueinander.

    Lösung

    Wir betrachten nun alle Eigenschaften der Vierecke Quadrat, Raute und symmetrisches Trapez.

    Quadrat

    Das Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Demnach sind:

    • ... gegenüberliegende Winkel gleich groß.
    • ... benachbarte Winkel gleich groß
    • ... alle Winkel gleich groß.
    Daraus folgt, dass ebenso die beiden Diagonalen gleich lang sind und sich in einem rechten Winkel genau mittig schneiden. Die Diagonalen stehen also senkrecht aufeinander. Zudem besitzt das Quadrat genau vier Symmetrieachsen, nämlich die beiden Diagonalen und die beiden Mittelsenkrechten der Seiten. Zudem ist das Quadrat punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen.

    Raute

    Die Raute besitzt vier gleich lange Seiten. Demnach sind:

    • ... gegenüberliegende Winkel gleich groß.
    Auch hier schneiden sich die beiden Diagonalen in einem rechten Winkel genau mittig, also stehen sie senkrecht aufeinander. Die Raute besitzt zwei Symmetrieachsen, nämlich die beiden Diagonalen. Zudem ist auch die Raute punktsymmetrisch zum Schnittpunkt ihrer Diagonalen.

    symmetrisches Trapez

    Beim symmetrischen Trapez sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel sowie die anderen beiden Seiten gleich lang. Demnach sind:

    • ... benachbarte Winkel gleich groß.
    Daraus folgt, dass das symmetrische Trapez genau eine Symmetrieachse besitzt, nämlich die Mittelsenkrechte der zueinander parallelen Seiten.