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Quadrate und Rechtecke konstruieren

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Team Digital
Quadrate und Rechtecke konstruieren
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadrate und Rechtecke konstruieren

Inhalt

Quadrate und Rechtecke konstruieren – Mathematik

Heute lernst du anhand von Beispielen, wie man Quadrate und Rechtecke konstruieren kann. Dazu benötigen wir einen Zirkel, ein Lineal und ein Blatt Papier.

Was ist ein Quadrat? – Definition

Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck mit vier Eckpunkten, vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.

Wir wollen uns nun anschauen, wie man Quadrate konstruieren kann:

Ein Quadrat konstruieren mit Zirkel und Lineal

Wir wollen als Beispiel ein Quadrat mit $5~\text{cm}$ Seitenlänge konstruieren. Dazu gehen wir wie folgt vor:

  1. Wir zeichnen eine Gerade, auf der die Grundseite des Quadrats liegt. Wir zeichnen also eine Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$ im Abstand von $5~\text{cm}$ ein.
  2. Wir konstruieren im Punkt $A$ eine zu der Grundseite senkrechte Gerade: Dazu stechen wir den Zirkel im Punkt $A$ ein und ziehen links und rechts zwei Kreisbogen um den Punkte $A$. Dadurch entstehen zwei Schnittpunkte mit der Geraden, die wir als Hilfspunkte verwenden. Wir vergrößern die Zirkelspanne und ziehen nacheinander einen Kreisbogen um jeden der beiden Hilfspunkte. Diese neuen Kreisbogen schneiden sich in zwei Punkten. Wir verbinden diese beiden Punkte und erhalten damit eine zu der ersten Geraden senkrechte Gerade, die durch den Punkt $A$ verläuft.
  3. Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $5~\text{cm}$ ein und ziehen einen Kreisbogen um den Punkt $A$. Der Schnittpunkt dieses Kreisbogens mit der zuletzt gezeichneten Geraden ist der Punkt $D$ des Quadrats.
  4. Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $5~\text{cm}$ ein und ziehen jeweils einen Kreisbogen um den Punkt $B$ und um den Punkt $D$. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreisbogen ist der vierte Eckpunkt $C$.
  5. Wir verbinden den Punkt $C$ mit $D$ und mit $B$.

Damit konnten wir das Viereck eindeutig konstruieren.

Erklärung Viereck konstruieren mit Winkeln

Was ist ein Rechteck? – Definition

Auch ein Rechteck hat vier Eckpunkte. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Das Rechteck hat außerdem vier rechte Winkeln.

Aber wie kann man ein Rechteck konstruieren? Das schauen wir uns im Folgenden an:

Ein Rechteck konstruieren mit Zirkel und Lineal

Wir wollen als Beispiel ein Rechteck mit den Seitenlängen $20~\text{cm}$ und $10~\text{cm}$ konstruieren. Dazu gehen wir wie folgt vor:

  1. Wir zeichnen eine Grundseite, auf der die Punkte $A$ und $B$ einen Abstand von $20~\text{cm}$ haben.
  2. Wir konstruieren im Punkt $A$ eine senkrechte Gerade mithilfe des Zirkels.
  3. Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $10~\text{cm}$ ein und ziehen einen Kreisbogen um den Punkt $A$. Der entstehende Schnittpunkt mit der senkrechten Geraden ist der Punkt $D$.
  4. Wir konstruieren im Punkt $B$ eine senkrechte Gerade mithilfe des Zirkels.
  5. Wir stellen den Zirkel auf die Seitenlänge $10~\text{cm}$ ein und ziehen einen Kreisbogen um den Punkt $B$. Der entstehende Schnittpunkt ist der Punkt $D$.
  6. Wir verbinden den Punkt $C$ mit dem Punkt $D$.

Vierecke konstruieren Übungen Rechteck

In diesem Video zum Thema Vierecke konstruieren in Mathe

… betrachten wir Quadrate und Rechtecke. Wir schauen uns an, wie man diese Vierecke mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Das Konstruieren der Vierecke wird mit Beispielen einfach erklärt. Wenn du weitere Aufgaben und Übungen zum Thema Vierecke konstruieren suchst, wirst du auf dieser Seite fündig. Hier gibt es außerdem ein Arbeitsblatt zum Konstruieren von Vierecken.

Transkript Quadrate und Rechtecke konstruieren

Willkommen in der Ausgrabungsstätte Fossilienstadt! Hier wurden schon viele Fossilien von Dinosauriern gefunden. Zum Beispiel von Theropoden, Sauropoden, und anderen Bewohnern der Kreidezeit. Die Paläontologin Sara hat Hinweise auf einen neuen Fundort bekommen, den sie untersuchen will. Dazu muss eine einfache, viereckige Fläche abgesteckt werden. Also müssen wir wissen, wie man „Quadrate und Rechtecke konstruieren“ kann. Wir beginnen mit der Konstruktion eines Quadrates, denn das geht am einfachsten. Zur Erinnerung: Ein Quadrat hat vier Eckpunkte, vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Sara möchte ein Quadrat abstecken, das fünf Meter lang und fünf Meter breit ist. Auf der Karte muss sie aber mit Zentimetern arbeiten. Sie beginnt mit der Grundseite und zeichnet dort die Punkte A und B in einem Abstand von fünf Zentimetern ein. Für die nächste Seite muss sie im Punkt A nun eine senkrechte Gerade konstruieren. Dazu zieht sie links und rechts zwei Kreisbogen um den Punkt A. Dadurch entstehen zwei Hilfspunkte. Nun vergrößert Sara ihre Zirkelspanne und zieht um den ersten Hilfspunkt einen weiteren Kreisbogen. Das gleiche macht sie auf der anderen Seite mit dem anderen Hilfspunkt. Die beiden Kreisbogen schneiden sich in zwei Punkten. Einmal über und einmal unter dem Punkt A. Sara verbindet die beiden Punkte und erhält eine Gerade, die genau durch den Punkt A geht. Mit einem Geodreieck kann Sara nun überprüfen, ob diese Gerade wirklich senkrecht zur Grundlinie verläuft. Perfekt! Da bei einem Quadrat alle Seiten gleich lang sind, überträgt sie die Seitenlänge in die Zirkelspanne und zieht einen Kreisbogen um den Punkt A. Der entstehende Schnittpunkt ist der Eckpunkt D. Der vierte Eckpunkt C liegt senkrecht über dem Eckpunkt B. Hier könnte Sara auch im Punkt B eine Senkrechte konstruieren. Aber sie kennt einen Trick. Sie übernimmt die Seitenlänge in die Zirkelspanne, und zieht einen Kreisbogen um Punkt B und Punkt D. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbogen ist nun FÜNF Zentimeter von Punkt B und fünf Zentimeter von Punkt D entfernt. Deshalb ist das der letzte Eckpunkt von unserem Quadrat. Nun muss sie nur noch die Eckpunkte verbinden und fertig ist das Quadrat ABCD. Sara macht sich nun mit Hammer, Meißel, Bürste und Schaufel an die Arbeit. Aber was ist das? Sara ist hier wirklich auf ein Fossil gestoßen! Welcher Dinosaurier verbirgt sich wohl dahinter? Um das herauszufinden, muss sie das Ausgrabungsgebiet vergrößern. Wenn das eventuell ein Brachiosaurus ist, dann muss das Ausgrabungsgebiet zwanzig Meter lang und zehn Meter breit sein. Sara will jetzt also ein Rechteck konstruieren. Ein Rechteck hat wie das Quadrat auch vier Eckpunkte und vier rechte Winkel, aber kann zwei unterschiedlich lange Seiten a und b haben. In unserem Fall ist die lange Seite auf der Karte zwanzig Zentimeter und die kurze Seite zehn Zentimeter lang. Sie zeichnet wieder eine Grundseite auf der die Punkte A und B einen Abstand von zwanzig Zentimetern haben. Dann errichtet sie eine Senkrechte durch den Punkt A. Nun kann sie die Länge von zehn Zentimetern abtragen und den Punkt D markieren. Für den Zirkeltrick zum Punkt C ist Saras Zirkel leider zu klein. Deshalb muss sie auch hier eine Senkrechte im Punkt B errichten. Dazu zieht sie um den Punkt B zwei Kreisbogen rechts und links. Die Zirkelspanne wieder vergrößern, vom ersten Hilfspunkt einen Kreisbogen ziehen, vom zweiten ebenso, die Schnittpunkte miteinander verbinden und schon haben wir eine Senkrechte durch Punkt B konstruiert. Nun muss Sara wieder die Länge abtragen und den Punkt C markieren. Am Ende verbindet sie die Eckpunkte und fertig ist das Rechteck ABCD. Während Sara ihre Ausgrabungen fortsetzt, fassen wir die Konstruktion von Quadrat und Rechteck zusammen. Bei der Konstruktion von Quadraten und Rechtecken zeichnen wir zuerst die Grundseite und markieren die Punkte A und B. Dann errichten wir im Punkt A eine Senkrechte. Auf dieser Senkrechten können wir nun die entsprechende Seitenlänge abtragen und den Punkt D markieren. Wir errichten auch im Eckpunkt B eine Senkrechte, tragen die entsprechende Seitenlänge ab und markieren anschließend den Eckpunkt C. Nun müssen wir nur noch die Eckpunkte miteinander verbinden. Für Konstruktionsprofis gibts es aber auch einen Trick. Bei einem Quadrat ziehen wir um Punkt B und Punkt D einen Kreisbogen mit der Seitenlänge a. Der Schnittpunkt ist dann der Punkt C. Beim Rechteck müssen wir aufpassen. Da die Seiten unterschiedlich lang sind, müssen wir entsprechend beide Seitenlängen als Zirkelspannen verwenden. Und wie weit ist Sara mit ihrer paläontologischen Ausgrabung gekommen? Oh, das ist ja ein unerwarteter Fund. Aber auch ein Bewohner der Kreidezeit.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Ich finde das Video super 👍

    Von Tiger, vor 4 Monaten
  2. Nette Geschichte

    Von Fanø liebe, vor 5 Monaten

Quadrate und Rechtecke konstruieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadrate und Rechtecke konstruieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$.

    Tipps

    Du beginnst die Konstruktion immer mit einer Seite des Quadrats.

    Anschließend musst du die Lage der weiteren Eckpunkte nacheinander konstruieren.

    Lösung

    Ein Quadrat hat vier Eckpunkte, vier gleichlange Seiten und vier rechte Winkel.

    Um ein Quadrat mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$ zu konstruieren, können wir folgendermaßen vorgehen:

    1. Wir zeichnen eine Seite der Länge $5~\text{cm}$ mit den Eckpunkten $A$ und $B$.
    2. Wir errichten eine Senkrechte im Punkt $A$.
    3. Wir markieren den Eckpunkt $D$ im Abstand von $5~\text{cm}$ zu $A$ auf der Senkrechten.
    4. Wir ermitteln die Lage des letzten Eckpunkts $C$ als Schnittpunkt zweier Kreise um $B$ und $D$ mit der Seitenlänge als Radius.
    5. Wir verbinden die Eckpunkte zu einem Quadrat.
  • Beschreibe das Vorgehen zur Konstruktion der Senkrechten in einem Punkt.

    Tipps

    Du benötigst für die Konstruktion zwei Hilfspunkte.

    Probiere aus, was passiert, wenn du die Zirkelspanne für den zweiten Konstruktionsschritt nicht veränderst, vergrößerst oder verkleinerst.

    Lösung

    Um die Senkrechte in einem Punkt zu konstruieren, brauchen wir zunächst zwei Hilfspunkte. Diese erhalten wir, wenn wir einen Kreisbogen mit beliebigem Radius um den Punkt ziehen, als Schnittpunkte mit der Grundseite.

    Nun ziehen wir um jeden dieser Hilfspunkte erneut einen Kreisbogen. Dabei müssen wir die Zirkelspanne vergrößern, damit sich die beiden Kreise in zwei Punkten schneiden. Lassen wir die Zirkelspanne unverändert, dann berühren sich beide Kreisbogen in unserem ursprünglichen Punkt. Wenn wir die Zirkelspanne verringern, dann schneiden sich die Kreisbogen nicht.

    Zuletzt ziehen wir eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen. Diese Gerade ist unsere gesuchte Senkrechte. Sie geht durch unseren Punkt und steht senkrecht zur Grundseite.

  • Beschreibe das Vorgehen zur Konstruktion des Rechtecks.

    Tipps

    Alle Punkte auf einem Kreis haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand ist der Radius des Kreises.

    Überlege dir, welchen Abstand die verschiedenen Eckpunkte des Rechtecks voneinander haben.

    Lösung

    Um ein Rechteck mit den Seitenlängen $7~\text{cm}$ und $18~\text{cm}$ zu konstruieren gehen wir folgendermaßen vor:

    • Wir zeichnen die Grundseite $AB$ mit der Länge $18~\text{cm}$.
    • Wir errichten die Senkrechte im Punkt $A$.
    • Wir ziehen einen Kreisbogen um $A$ mit Radius $7~\text{cm}$. Der Eckpunkt $D$ liegt auf diesem Kreisbogen, da er von $A$ den Abstand $7~\text{cm}$ hat. So können wir den Punkt $D$ auf der Senkrechten markieren.
    • Der Eckpunkt $C$ ist $7~\text{cm}$ von $B$ und $18~\text{cm}$ von $D$ entfernt. Wir können ihn daher als Schnittpunkt von einem Kreisbogen um $D$ mit Radius $18~\text{cm}$ und einem Kreisbogen um $B$ mit Radius $7~\text{cm}$ konstruieren.
    • Zuletzt verbinden wir alle vier Eckpunkte zu einem Rechteck.
  • Entscheide, aus welchen Angaben du das Quadrat oder Rechteck eindeutig konstruieren kannst.

    Tipps

    Mache dir eine Skizze und überlege, wie du die Punkte nach und nach konstruieren kannst.

    Nutze die gegeben Längen als Abstände zwischen den Eckpunkten.

    Lösung

    Wir wissen, wie wir Quadrate und Rechtecke konstruieren:

    • Wir zeichnen die Grundseite mit der gegebenen Länge.
    • Wir errichten die Senkrechten in beiden Eckpunkten auf der Grundseite.
    • Wir markieren die fehlenden Eckpunkte, indem wir die Längen der Seiten mit dem Zirkel abtragen.
    • Wir verbinden die Eckpunkte.

    So können wir ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 3~\text{cm}$ konstruieren.

    Ein Quadrat mit zwei verschieden langen Seiten $a = 3~\text{cm}$ und $b = 1~\text{cm}$ existiert nicht, daher können wir es auch nicht konstruieren.

    Eine Diagonale verbindet in einem Viereck zwei gegenüberliegende Ecken. In Rechtecken und Quadraten haben die beiden Diagonalen $\text{AC}$ und $\text{BD}$ dieselbe Länge $d$.

    Daher können wir ein Rechteck mit der Seitenlänge $a = 6~\text{cm}$ und einer Diagonalen mit Länge $d =10~\text{cm}$ konstruieren.
    Dazu beginnen wir wie gewohnt mit der Grundseite $a = 6~\text{cm}$ und errichten die Senkrechte in $\text{A}$ und $\text{B}$. Die Eckpunkte $\text{C}$ und $\text{D}$ erhalten wir dann folgendermaßen:

    • $\text{C}$ liegt auf der Senkrechten in $\text{B}$ und hat von $\text{A}$ den Abstand $d = 10~\text{cm}$. Das heißt wir können $\text{C}$ dort markieren, wo ein Kreisbogen um $\text{A}$ mit Radius $10~\text{cm}$ die Senkrechte in $\text{B}$ schneidet.
    • Ebenso markieren wir $\text{D}$ dort, wo ein Kreisbogen um $\text{B}$ mit Radius $10~\text{cm}$ die Senkrechte in $\text{A}$ schneidet.

    Ein Quadrat mit der Diagonalen $d = 5~\text{cm}$ können wir ebenfalls konstruieren.
    Hier beginnen wir, indem wir die Diagonale $\text{AC}$ mit der Länge $d = 5~\text{cm}$ zeichnen. Nun errichten wir die Senkrechte in der Mitte der Diagonalen. In einem Quadrat sind die Diagonalen gleichlang und schneiden sich in einem rechten Winkel. Daher liegen die anderen beiden Eckpunkte $\text{B}$ und $\text{D}$ an den Schnittpunkten dieser Senkechten mit einem Kreisbogen um den Mittelpunkt der Diagonalen mit Radius $\dfrac{d}{2} =\dfrac{5~\text{cm}}{2} = 2,5~\text{cm}$.

    Mit der Angabe der Diagonalen $d = 8~\text{cm}$ alleine können wie ein Rechteck nicht eindeutig konstruieren.
    Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, wie lang $a$ und $b$ sein können. Du kannst verschiedene Rechtecke mit $d = 8~\text{cm}$ zum Beispiel konstruieren, indem du zunächst einen Kreisbogen mit Radius $8~\text{cm}$ zeichnest. Wenn du in diesem Kreisbogen zwei beliebige Diagonalen durch den Mittelpunkt einzeichnest, so ergeben die Schnittpunkte dieser Diagonalen mit dem Kreisbogen immer die Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$ eines Rechtecks mit $d = 8~\text{cm}$.

  • Gib wichtige Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken an.

    Tipps

    Überlege, welche Eigenschaften für die jeweilige Figur erfüllt sein müssen.

    Lösung

    Sowohl Quadrate als auch Rechtecke haben vier Eckpunkte und vier rechte Winkel. Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleichlang, ein Rechteck kann hingegen zwei unterschiedliche Seitenlängen haben.

    Demnach stimmen die folgenden Aussagen:

    • Jedes Quadrat hat vier gleichlange Seiten.
    • Ein Rechteck hat vier Ecken und vier rechte Winkel.
    • Bei einem Rechteck haben zwei Seiten, die einander gegenüber liegen, jeweils die gleiche Länge. – Ein Rechteck kann zwei unterschiedlich lange Seiten haben. Dabei sind Seiten, die einander gegenüber liegen, stets gleichlang.
    • Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck. – Bei einem Quadrat müssen alle Seiten dieselbe Länge haben. Bei einem Rechteck sind zwar zwei unterschiedliche Seitenlängen möglich, die Seiten können aber auch alle gleichlang sein.

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Jedes Rechteck hat drei gleichlange Seiten. – Es gibt Rechtecke, in denen alle Seiten gleichlang sind. Allgemein kann ein Rechteck aber zwei unterschiedliche Seitenlängen haben. Dabei haben stets zwei Seiten, die einander gegenüber liegen, dieselbe Länge.
    • Ein Quadrat hat vier Ecken und beliebig große Winkel. – Ein Quadrat muss vier rechte Winkel haben.
    • Jedes Rechteck ist auch ein Quadrat. – Ein Rechteck mit zwei unterschiedliche Seitenlängen ist kein Quadrat, da bei einem Quadrat alle vier Seiten gleichlang sein müssen.
  • Bestimme, welche Konstruktionsschritte zu welchem Rechteck passen.

    Tipps

    Die Kreisradien bei der Konstruktion entsprechen den Seitenlängen des Rechtecks.

    Überlege, welche Abstände die verschiedenen Eckpunkte voneinander haben.

    Lösung

    Wir nutzen bei der Konstruktion von Rechtecken Kreise, damit die Eckpunkte die richtigen Abstände zueinander haben.

    Aus den Konstruktionsschritten können wir die folgenden Rückschlüsse auf das Rechteck ziehen:

    $C$ auf Kreis mit Radius $3~\text{cm}$ um $B$
    Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $3~\text{cm}$.

    $D$ auf Kreis mit Radius $9~\text{cm}$ um $C$
    Die Seiten $CD$ und $AB$ haben die Längen $9~\text{cm}$.

    $C$ auf Kreis mit Radius $9~\text{cm}$ um $B$
    Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $9~\text{cm}$.

    $A$ auf Kreis mit Radius $9~\text{cm}$ um $D$
    Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $9~\text{cm}$.

    $C$ auf Kreis mit Radius $2~\text{cm}$ um $D$
    Die Seiten $CD$ und $AB$ haben die Längen $2~\text{cm}$.

    $D$ auf Kreis mit Radius $2~\text{cm}$ um $A$
    Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $2~\text{cm}$.

    $C$ auf Kreis mit Radius $2~\text{cm}$ um $B$
    Die Seiten $BC$ und $DA$ haben die Länge $2~\text{cm}$.

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