Rationale Zahlen – Übungen

Lösung:

$$0{,}5<1<5<10{,}5$$

Erklärung:

• Alle Zahlen sind positiv ($>0$).
• $0{,}5$ ist die kleinste Zahl. Weil eine $0$ vor dem Komma steht, ist sie kleiner als $1$.
• $10{,}5$ ist die größte Zahl, da sie als einzige zwei Vorkommastellen hat.

Lösung:

$$-8{,}5<-0{,}3<2<7$$

Erklärung:
Hier gibt es negative und positive Zahlen. Die kleinste Zahl ist dann immer die negative Zahl mit dem größten Betrag. Das ist hier $-8{,}5$.

Lösung:

$$-\frac{3}{2}< -1 < 3 < \frac{10}{3}$$

Erklärung:
In dieser Aufgabe sind sowohl negative als auch positive Zahlen enthalten. $-\frac{3}{2}$ ist gleich $-1{,}5$ und daher die kleinste Zahl, gefolgt von $-1$. Danach kommen die positiven Zahlen: $3$ ist kleiner als ${\frac{10}{3}\approx3{,}33}$.

Lösung:

$$-3{,}9< -\frac{15}{4}< -3{,}5<4$$

Erklärung:
Hier sind drei negative und eine positive Zahl gegeben. Bei negativen Zahlen gilt: Je größer der Betrag, desto kleiner die Zahl. $-3{,}9$ ist mit $|{-3{,}9}|=3{,}9$ am weitesten links, danach kommt $-\frac{15}{4}=-3{,}75$, dann $-3{,}5$. Die positive Zahl $4$ steht ganz rechts.

Lösung:

$$-11{,}5<5\frac{1}{2}<10<\vert-11\vert$$

Erklärung:
$\vert -11\vert=11$ ist eine positive Zahl. Die einzige negative Zahl hier ist $-11{,}5$, sie steht als kleinste ganz links. Danach folgen die positiven Zahlen in aufsteigender Reihenfolge: $5\frac{1}{2}=5{,}5$, dann $10$ und zuletzt $11$.

Lösung:

$$-\frac{5}{2}< -2\frac{1}{3}< 2\frac{1}{3}< \frac{5}{2}$$

Erklärung:
Zwei Zahlen sind negativ ($-\frac{5}{2}=-2{,}5$ und $-2\frac{1}{3}=-2{,}333\ldots$) und zwei positiv. Unter den negativen Zahlen ist $-\frac{5}{2}$ mit $-2{,}5$ kleiner als $-2\frac{1}{3}$. Bei den positiven Zahlen ist $2\frac{1}{3}\approx2{,}333$ kleiner als $\frac{5}{2}=2{,}5$.

Lösung:

$$-\frac{3}{5}< -\frac{1}{2}< \frac{2}{5}< \frac{3}{2}$$

Erklärung:
Zuerst ordnen wir nach Vorzeichen: Die negativen Zahlen stehen links, dort ist $-\frac{3}{5}=-0{,}6$ kleiner als $-\frac{1}{2}=-0{,}5$. Die positiven Zahlen stehen rechts, wobei $\frac{2}{5}=0{,}4$ kleiner ist als $\frac{3}{2}=1{,}5$.

Lösung:

$$-\frac{3}{7}< -\frac{2}{7}<0< \frac{3}{7}$$

Erklärung:
Klar ist, dass negative Zahlen links vom Nullpunkt stehen: $-\frac{3}{7}$ ist kleiner als $-\frac{2}{7}$. $0$ ist die nächstgrößere Zahl und $\frac{3}{7}$ ist die größte Zahl in dieser Gruppe.

Lösung:

$$-\frac{11}{4}< -1\frac{1}{4}< \left|-\frac{5}{2}\right|<3{,}75$$

Erklärung:
Zuerst wandeln wir um: $-\frac{11}{4}=-2{,}75$, $-1\frac{1}{4}=-1{,}25$, $\left|-\frac{5}{2}\right|=2{,}5$. Die kleinste Zahl ist $-2{,}75$, dann $-1{,}25$, danach die positiven Werte $2{,}5$ und $3{,}75$.

Lösung:

$$(+3)+(+12)=3+12=\underline{\underline{15}}$$

Erklärung:
Bei der Addition von zwei positiven Zahlen kannst du die Vorzeichen weglassen und so vorgehen wie gewohnt: $3+12=15$.

Lösung:

$$(-31)+(-16)=-31-16=\underline{\underline{-47}}$$

Erklärung:
Zwei negative Zahlen addierst du, indem du ihre Beträge addierst und das Ergebnis negativ machst: $31+16=47$, also $-47$.

Lösung:

$$(+10)-(+111)=10-111=\underline{\underline{-101}}$$

Erklärung:
Bei einem Minus vor einer positiven Zahl subtrahierst du wie gewohnt: $10-111=-101$. Das Ergebnis ist negativ, weil du eine größere Zahl ($111$) von einer kleineren ($10$) abziehst.

Lösung:

$$(+76)-(-17)=76+17=\underline{\underline{93}}$$

Erklärung:
Ein Minus vor einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen um: $-\bigl(-17\bigr)=+17$. Also rechnest du $76+17=93$.

Lösung:

$$(+5)-|\,-9|=5-9=\underline{\underline{-4}}$$

Erklärung:
Der Betrag von $-9$ ist $9$. Dann rechnest du $5-9=-4$.

Lösung:

$$(-11{,}5)-(-13{,}4)=-11{,}5+13{,}4=\underline{\underline{1{,}9}}$$

Erklärung:
Auch hier gilt: Das Minus vor einer negativen Zahl wird zu einem Plus. Dann addierst du oder stellst die Summanden einfach um, wodurch du eine klassische Subtraktion hast: $13{,}4-11{,}5=1{,}9$.

Lösung:

$$\frac{7}{8}-\frac{5}{6} =\frac{21}{24}-\frac{20}{24} =\underline{\underline{\frac{1}{24}}}$$

Erklärung:
Zuerst führst du die Vorzeichen zusammen:

$$+\frac{7}{8}+(-\frac{5}{6})=\frac{7}{8}-\frac{5}{6}$$

Achtung:
Für die Addition und Subtraktion von Brüchen müssen die Nenner gleichnamig sein. Hier ist der kleinste gemeinsame Nenner $24$:
$$\frac{7}{8}=\frac{21}{24},\quad \frac{5}{6}=\frac{20}{24}$$

Wir rechnen also:

$$\frac{21}{24}-\frac{20}{24}=\frac{1}{24}$$

Lösung:

$$-\frac{3}{5}+ \frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{3}{2} =-\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2} =-\frac{1}{5}-1 =\underline{\underline{-\frac{6}{5}}}$$

Erklärung:
1. Minus vor $-\frac{1}{2}$ wird zu $+\frac{1}{2}$.
2. Wir können Summanden nach dem Kommutativgesetz vertauschen. Wir gruppieren die gleichnamigen Brüche: $$-\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=-\frac{1}{5}$$ $$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$$ 3. Zum Schluss addieren wir die Teilergebnisse: $$-\frac{1}{5}-1=-\frac{1}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{6}{5}$$

Lösung:

$$\bigl|\,-1\frac{1}{4}\bigr| + \bigl(-|\,-\frac{5}{2}\,|\bigr) -\bigl(-\frac{11}{4}\bigr)+\bigl|\;3{,}75\;\bigr| =1{,}25 -2{,}5 +2{,}75 +3{,}75 =\underline{\underline{5{,}25}}$$

Erklärung:
1. $|\,-1\frac{1}{4}|=1{,}25$
2. $-|\,-\tfrac{5}{2}|=-2{,}5$
3. $-\left(-\,\tfrac{11}{4}\right)$ wird zu $+\,2{,}75$
4. $|3{,}75|=3{,}75$
5. Rechnung: $1{,}25 -2{,}5 +2{,}75 +3{,}75 =5{,}25$

Lösung:

$$(+3)\cdot(+4)=3\cdot4=\underline{\underline{12}}$$

Erklärung:
Zwei positive Zahlen werden wie gewohnt multipliziert: $3\cdot4=12$, Vorzeichen bleibt positiv.

Lösung:

$$(-5)\cdot(-6)=\underline{\underline{30}}$$

Erklärung:
Zwei negative Zahlen multipliziert ergeben ein positives Produkt: $$5 \cdot 6 = 30$$

Lösung:

$$(+8)\cdot(-7)=\underline{\underline{-56}}$$

Erklärung:
Ein positives und ein negatives Vorzeichen ergeben bei der Multiplikation ein negatives Ergebnis:
$8\cdot7=56$, also $8\cdot(-7)=-56$.

Lösung:

$$(-2{,}5)\cdot4=\underline{\underline{-10}}$$

Erklärung:
Auch hier bleibt das Minus beim Ergebnis erhalten. Wenn wir Dezimalzahlen multiplizieren, können wir uns das Komma erst wegdenken und anschließend beim Ergebnis wieder setzen:
$25\cdot4=100$, also $2{,}5\cdot4=10{,}0$ und $(-2{,}5)\cdot4=-10$

Lösung:

$$\frac{3}{4}\cdot\Bigl(-\frac{8}{5}\Bigr) =-\frac{24}{20} =\underline{\underline{-\frac{6}{5}}}$$

Erklärung:
Das Produkt aus einer positiven und einer negativen Zahl ist negativ.
Brüche multiplizieren wir, indem wir die Zähler und Nenner jeweils miteinander multiplizieren:

• Zähler: $3\cdot8=24$
• Nenner: $4\cdot5=20$

Anschließend können wir den Bruch noch mit $4$ kürzen zu $\tfrac{6}{5}$.

Lösung:

$$-\frac{2}{3} : \frac{1}{2} =-\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{1} =\underline{\underline{-\frac{4}{3}}}$$

Erklärung:
Um durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren wir mit dem Kehrwert: $$\frac{1}{2}\to\frac{2}{1}$$
Auch hier ist das Produkt negativ.

Lösung:

$$\frac{5}{6} : \Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{5}{6}\cdot\Bigl(-\frac{3}{2}\Bigr) =-\frac{15}{12} =\underline{\underline{-\frac{5}{4}}}$$

Erklärung:
Wir multiplizieren erneut mit dem Kehrwert $-\frac{3}{2}$:

• Zähler: $5\cdot3=15$
• Nenner: $6\cdot2=12$

Anschließend kürzen wir mit $3$ zu $\tfrac{5}{4}$.
Das Produkt aus positiver und negativer Zahl ist negativ.

Lösung:

$$(+5)\cdot\left|-\frac{2}{3}\right| =5\cdot\frac{2}{3} =\underline{\underline{\frac{10}{3}}}$$

Erklärung:
Betragstriche beachten! Der Betrag von $-\tfrac{2}{3}$ ist $\tfrac{2}{3}$.
Dann multiplizieren wir die ganze Zahl $5$ in den Zähler des Bruchs: $5 \cdot 2 = 10$.

Lösung:

$$\left| -1\frac{1}{4}\right| : \left|-\frac{3}{5}\right| =\frac{5}{4}:\frac{3}{5} =\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{3} =\underline{\underline{\frac{25}{12}}}$$

Erklärung:
1. $\left|\,-1\dfrac{1}{4}\right|=1\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$
2. $\left|\,-\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5}$
3. Multiplizieren mit Kehrwert: $$\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{3}=\frac{25}{12}$$

Lösung: $$\bigl(3 - 5\bigr) + 8 = -2 + 8 = \underline{\underline{6}}$$

Erklärung:
Zuerst berechnen wir die Klammer: $+3 + (-5) = -2$.
Anschließend addieren wir $-2 + 8 = 6$.

Lösung: $$(-2)-\bigl(4 - 7\bigr) = -2-(-3) = \underline{\underline{1}}$$

Erklärung:
In der Klammer wenden wir $4 + (-7) = -3$ an. Hierbei dürfen wir das Minus vor der Klammer aber nicht vergessen. Dann subtrahieren wir eine negative Zahl, was der Addition entspricht: $-2 - (-3) =-2+3= 1$.

Lösung: $$\bigl(-2{,}5 + 3{,}5\bigr) + (-1) = 1 + (-1) = \underline{\underline{0}}$$

Erklärung:
Zuerst berechnen wir die Klammer: $-2{,}5 + 3{,}5 = 1$. Dann $1 + (-1) = 0$.

Lösung: $$2{,}3-\bigl(1{,}2 - 0{,}8\bigr) = 2{,}3-0{,}4 = \underline{\underline{1{,}9}}$$

Erklärung:
Für die Klammer berechnen wir: $1{,}2 + (-0{,}8) = 0{,}4$. Dann das negative Vorzeichen nicht vergessen: $2{,}3 - 0{,}4 = 1{,}9$.

Lösung: $$3\cdot(0{,}4 + 5) = 3\cdot 0{,}4+3\cdot5 = 1{,}2+15=\underline{\underline{16{,}2}}$$

Erklärung:
Hier wenden wir das Distributivgesetz an, wenn wir statt $3\cdot(0{,}4 + 5)$ einfach $3\cdot0{,}4 + 3\cdot5 = 1{,}2 + 15 = 16{,}2$ rechnen.
Du kannst auch zuerst die Zahlen in der Klammer addieren: $$3 \cdot 5{,}4 = 16{,}2$$

Lösung: $$-2\cdot(3 - 0{,}5) = -2\cdot 2{,}5 = \underline{\underline{-5}}$$

Erklärung:
Wir können auch zuerst die Klammer berechnen: $3 + (-0{,}5) = 2{,}5$.
Dann multiplizieren: $-2 \cdot 2{,}5 = -5$.

Nach dem Distributivgesetz könnte man auch $-2\cdot3 + (-2)\cdot(-0{,}5) = -6 + 1 = -5$ rechnen.

Lösung: $$4\cdot(1{,}5 + 2{,}5) = 4\cdot 4 = \underline{\underline{16}}$$

Erklärung:
Auch hier ist es am einfachsten, die Klammer direkt zu berechnen: $1{,}5 + 2{,}5 = 4$.
Anschließend ist die Rechnung $4\cdot4 = 16$ einfach.
Mit Distributivgesetz lautet die Rechnung: $4\cdot1{,}5 + 4\cdot2{,}5 = 6 + 10 = 16$.

Lösung: $$(-3)\cdot\Bigl(2 + \dfrac{1}{3}\Bigr)=(-3)\cdot2+(-3)\cdot\dfrac{1}{3} =-6+(-1)= \underline{\underline{-7}}$$

Erklärung:
Hier bietet es sich an, das Distributivgesetz anzuwenden, um die Rechnung einfach zu halten.

Lösung: $$\bigl(-\dfrac{1}{2} + 0{,}7\bigr)\cdot 5=\bigl(-0{,}5 + 0{,}7\bigr)\cdot5 = 0{,}2\cdot5 = \underline{\underline{1}}$$

Erklärung:
Hier ist es einfacher, zuerst die Klammer auszurechnen: $-\tfrac{1}{2} = -0{,}5$, also $-0{,}5 + 0{,}7 = 0{,}2$.
Dann ist die Folgerechnung leicht: $0{,}2\cdot5 = 1$.