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Rationale Zahlen – Klammerregeln

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Team Digital
Rationale Zahlen – Klammerregeln
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Rationale Zahlen – Klammerregeln

Rationale Zahlen – Klammerregeln – Mathe

Heute lernst du, wie man das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz auf die rationalen Zahlen anwenden kann. Anschließend lernst du die Klammerregeln bei rationalen Zahlen kennen. Zuerst schauen wir uns aber nun an, was rationale Zahlen sind.

Was sind rationale Zahlen – Definition

Rationale Zahlen sind positive und negative Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. An der Zahlengerade gibt es den negativen Bereich, die Null und den positiven Bereich.
Auch die ganzen Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. Wir können an der Zahlengerade Brüche zwischen den ganzen Zahlen eintragen.

rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Der Betrag

Der Betrag einer rationalen Zahl ist ihr Abstand zur Null.

Beispiel: $|-3,5| = |3,5| = 3,5$

Aber wie rechnet man mit rationalen Zahlen in Klammern? Schauen wir uns auch dies gemeinsam an:

Das Assoziativgesetz der Addition für rationale Zahlen

Beim mehrfachen Addieren von rationalen Zahlen kann man Klammern beliebig setzen und weglassen.

Beispiel zum Assoziativgesetz der Addition

Im Folgenden schauen wir uns ein Beispiel zum Assoziativgesetz der Addition an:

$(6,5+3,3)+2,4 = 6,5+(3,3+2,4) = 6,5+3,3+2,4$

Egal ob wir erst die Klammer berechnen oder von links nach rechts addieren, wir erhalten in jedem Fall das Ergebnis $12,2$.

Anwendung des Assoziativgesetzes auf die Subtraktion

Da man jede Subtraktion auch als Addition schreiben kann, können wir das Assoziativgesetz auch auf die Subtraktion anwenden:

$6,5-(3,3+2,4) = 6,5 + (-3,3) + (-2,4)$

Klammergesetze

Allgemein gelten bei der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen folgende Klammerregeln:

Plusklammer a+(b+c) = a+b+c
a+(b-c) = a+b-c
Minusklammer a-(b+c) = a-b-c
a-(b-c) = a-b+c

Steht vor der Klammer ein Plus, so können wir die Klammer einfach auflösen. Steht vor der Klammer ein Minus, so müssen wir beim Auflösen der Klammer auf die Vorzeichen achten: Aus einem Minus in der Klammer wird dann ein Plus und aus einem Plus ein Minus.

Das Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz gilt auch für die Multiplikation. Auch hier können wir beim Rechnen mit rationalen Zahlen Klammern beliebig setzen oder weglassen.

Beispiel zum Assoziativgesetz der Multiplikation

Nun schauen wir uns ein Beispiel zum Assoziativgesetz der Multiplikation an:

$(1,5 \cdot 1,5) \cdot 1,2 =1,5 \cdot (1,5 \cdot 1,2) = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,2$

Bei allen drei Rechenausdrücken ist das Ergebnis $2,7$.

Wenn wir eine Division in eine Multiplikation umwandeln, können wir das Assoziativgesetz ebenso auf die Division anwenden.

Das Distributivgesetz für rationale Zahlen

Das Distributivgesetz lautet:

  • $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c$
  • $a \cdot (b-c) = a \cdot b - a\cdot c$

Beispiel zum Distributivgesetz für rationale Zahlen

Ein Beispiel für das Distributivgesetz sieht wie folgt aus:

$-2 \cdot (3,5+5,2)$

Hier steht in der Klammer eine Addition und außerhalb der Klammer eine Multiplikation. Berechnen wir zuerst die Klammer, so erhalten wir:

$-2 \cdot (3,5+5,2) = -2 \cdot 8,7 = -17,4$

Das Distributivgesetz besagt, dass wir auch zuerst die Zahlen in der Klammer jeweils mit dem Faktor multiplizieren und erst anschließend addieren können:

$-2 \cdot (3,5+5,2) = (-2) \cdot 3,5 + (-2) \cdot 5,2 = (-7) + (-10,4) = -17,4$

Beim Auflösen von Klammern mit rationalen Zahlen müssen wir darauf achten, die Vorzeichen nicht zu vergessen.

Wir können das Distributivgesetz auch nutzen, um Rechnungen zu vereinfachen:

$5,4 \cdot 7 = (5+0,4)\cdot 7 = 5 \cdot 7 + 0,4 \cdot 7 = 35 + 2,8 = 37,8$

In diesem Video zu Klammerregeln rationaler Zahlen

… betrachten wir das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen mit Klammern. Außerdem betrachten wir Klammergesetze für die Multiplikation und Division. Dabei wenden wir das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz auf rationale Zahlen an verschiedenen Beispielen an.

Wenn du noch weitere Übungen zum Assoziativ- und Distributivgesetz von rationalen Zahlen suchst, so wirst du auf dieser Seite fündig. Hier findest du Aufgaben zum Rechnen mit Klammern mit rationalen Zahlen. Außerdem gibt es hier auch ein Arbeitsblatt zu Klammern bei rationalen Zahlen und zum Distributivgesetz für rationale Zahlen.

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Rationale Zahlen – Klammerregeln

Das ist Peter Paket. Er ist Paketbote und wird jeden Tag vor eine neue Herausforderung gestellt. Wie das eine Mal als er sich auf das Dach verlaufen hat. Doch als er das Paket noch einmal näher betrachtete, ist ihm etwas wichtiges in Klammern aufgefallen. Und auch beim Rechnen mit rationalen Zahlen spielen Klammern eine große Rolle. Wiederholen wir dazu zunächst einmal, was rationale Zahlen überhaupt sind. Rationale Zahlen sind positive und negative Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Auch die ganzen Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. An der Zahlengeraden haben wir also den negativen Bereich, die Null und den positiven Bereich. Wir können Brüche zwischen den ganzen Zahlen eintragen. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur 0. So ist der Betrag von -3,5 gleich dem Betrag von 3,5 und das ist gleich 3,5. Schauen wir uns zunächst das Assoziativgesetz an. Für die Addition besagt es, dass man beim mehrfachen Addieren Klammern beliebig setzen, umsetzen oder auch weglassen kann. So ist in Klammern (6,5 + 3,3) + 2,4 dasselbe wie 6,5 + in Klammern (3,3+ 2,4) oder auch 6,5+3,3+2,4. Berechnen wir die erste Summe und rechnen zuerst die Klammern und addieren dann 2,4, so erhalten wir 12,2. Dasselbe Ergebnis erhalten wir , wenn wir zunächst 3,3+2,4 rechnen und dann 6,5 addieren und ebenso wenn wir von links nach rechts rechnen. Da man jede Subtraktion auch als Addition schreiben kann, können wir das Assoziativgesetz nun auf die Subtraktion anwenden. 6,5 minus in Klammern 3,3+2,4 ist also das gleiche wie 6,5 plus minus 3,3 plus minus 2,4. Allgemein gelten bei der Addition und Subtraktion folgende Klammergesetze: a + in Klammern b + c ist gleich a + b +c. Haben wir innerhalb der Klammer ein Minus, aber vor der Klammer ein +, so können wir die Klammern auch einfach so auflösen. a - in Klammern b + c ist gleich a - b - c. Ist innerhalb der Klammer ein Minus, so wird dies beim Auflösen der Klammern zu einem plus. Wenn sich ein Minus vor der Klammer befindet, müssen wir alle Plus-Zeichen in der Klammer zu einem Minus Zeichen umwandeln und umgekehrt, wenn wir die Klammer auflösen wollen. Das Assoziativgesetz gilt ebenso für die Multiplikation. Auch bei der Multiplikation können wir Klammern beliebig setzen oder weglassen. Rechnen wir alle drei Terme aus so sehen wir, dass sich bei jedem Term am Ende das Ergebnis 2,7 ergibt. Wenn wir eine Division in eine Multiplikation umwandeln, können wir das Assoziativgesetz ebenso für die Division anwenden. Machen wir weiter mit dem Distributivgesetz und schauen uns dazu dieses Beispiel an: Minus 2 mal in Klammern 3,5 + 5,2. Hier hast du also innerhalb der Klammer eine Addition und außerhalb der Klammer eine Multiplikation. Berechnen wir die Klammern zuerst, so erhalten wir Minus 2 mal 8,7 und das sind Minus 17,4. Das Distributivgesetz besagt nun, dass wir zunächst die Zahlen in der Klammer mit dem Faktor Minus 2 multiplizieren können. Wichtig ist, dass wir die Vorzeichen nicht vergessen! Nachdem wir dann die Produkte ausgerechnet haben, addieren wir und erhalten als Endergebnis also ebenfalls Minus 17,4. Andersherum kann man die Rechnung mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf lösen. So können wir 5,4 mal 7 umschreiben zu in Klammern (5 +0,4) mal 7. Wir rechnen dann 5 mal 7 und 0,4 mal 7 und erhalten so das Endergebnis 37,8. Fassen wir zusammen. a + in Klammern b + c ist gleich a + b +c und a plus in Klammern b - c ist gleich a + b - c. a - in Klammern b + c ist gleich a minus b minus c und a - in Klammern b - c ist gleich a - b + c. Das Distributivgesetz besagt folgendes: r. Eine Summe bzw. Differenz wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summanden bzw. Minuenden und Subtrahend einzeln mit diesem Faktor multipliziert... und die Produkte dann addiert bzw. subtrahiert. Andersherum kann man das Rechnen mithilfe des Distributivgesetzes wie im Beispiel vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen. Und Peter hat es mal wieder geschafft sein Paket zuzustellen.

22 Kommentare
22 Kommentare
  1. Hallo Pommes Pingu, Vielen Dank für deinen Hinweis! Wir haben es korrigiert. Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Lukas Peitz, vor 5 Monaten
  2. ich fand das Video sehr gut. sehr gut gestaltet und hilfreich

    Von Jolie, vor 6 Monaten
  3. Hallo, in eurer Erklärung ist ein Fehler. Beim auflösen der Klammer ist das Ergebnis von 5 × 7 ist gleich 35 und nicht 25. Das Gesamtergebnis ist also 37,8. Ansonsten alles perfekt erklärt. Vielen Dank.

    Von Pommes Pingu , vor 6 Monaten
  4. Sehr gutes Video und coole Aufgaben jetzt verstehe ich auch das assoziativgesetz 👍🏼

    Von Luis Bareth, vor 6 Monaten
  5. der sprecher hört sich mal einfach wie mein alter matheleherer an.
    ach und das video war gut gestaltet

    Von Kai, vor etwa einem Jahr
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Rationale Zahlen – Klammerregeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rationale Zahlen – Klammerregeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib das Assoziativ- und Distributivgesetz an.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Addition bzw. reinen Multiplikation nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt.

    Sieh dir folgendes Beispiel an: $~ 2\cdot (3+5)$

    Du kannst diese Aufgabe lösen, indem du entweder zuerst den Ausdruck in der Klammer berechnest und dann von links nach rechts weiter rechnest oder das Distributivgesetz anwendest:

    • $2\cdot 8=16$
    • $2\cdot 3+2\cdot 5=6+10=16$
    Lösung

    Assoziativgesetz der Addition

    Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Addition nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt. Es gilt demnach:

    • $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$
    Minusklammer

    Betrachtest du eine Additions- bzw. Subtraktionsaufgabe, die eine Minusklammer enthält, so gehst du wie folgt vor: Alle Zeichen in der Klammer drehen sich um, die Klammer und das Minuszeichen davor fallen weg. Beachte hierbei, dass vor dem $b$ am Anfang der Klammer eigentlich ein Pluszeichen steht, das wir in der Regel nur aus „Faulheit“ nicht aufschreiben! Es gilt also:

    • $a-(b+c)=a+(-b)+(-c)=a-b-c$
    Assoziativgesetz der Multiplikation

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Multiplikation nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt – also genauso wie für die Addition, nur mit Malpunkten statt Pluszeichen. Es gilt demnach:

    • $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$
    Distributivgesetz

    Das Distributivgesetz besagt, dass man statt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte addieren kann.

    • $a\cdot (b+c)=ab+ac$
  • Vervollständige die Gleichungen mithilfe des Assoziativ- und Distributivgesetzes.

    Tipps

    Hast du in deinem Term eine Minusklammer, so kannst du die Klammer weglassen, indem du alle Pluszeichen innerhalb der Klammer in Minuszeichen und alle Minuszeichen in Pluszeichen umwandelst.

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a\cdot (b+c)=ab+ac$

    Lösung

    Das Assoziativ- und Distributivgesetz können manchmal das Rechnen deutlich vereinfachen. Sie lauten wie folgt:

    Assoziativgesetz der Addition

    • $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$
    Minusklammer

    • $a-(b+c)=a+(-b)+(-c)=a-b-c$
    Assoziativgesetz der Multiplikation

    • $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$
    Distributivgesetz

    • $a\cdot (b+c)=ab+ac$

    Nun wenden wir diese Gesetze auf die hier betrachteten Terme an und erhalten:

    • $(6,5+3,3)+2,4=6,5+(3,3+2,4)$
    • $6,5-(3,3+2,4)=6,5+(-3,3)+(-2,4)$
    • $(1,5\cdot 1,5)\cdot 1,2=1,5\cdot (1,5\cdot 1,2)$
    • $-2\cdot (3,5+5,2)=-2\cdot 3,5+(-2)\cdot 5,2$
  • Ordne den Aufgaben das jeweils angewandte Rechengesetz zu.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Addition nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt. Es gilt demnach:

    • $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$
    Dieses Gesetz gilt auch für die reine Multiplikation:

    • $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$

    Das Distributivgesetz besagt, dass wir, anstatt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte addieren können.

    Lösung

    Lass uns gemeinsam untersuchen, welche Gesetze in welchen Beispielen angewandt wurden.

    1. Beispiel: $\quad 2\cdot (5\cdot 3)=(2\cdot 5)\cdot 3=10\cdot 3=30$

    Nach dem ersten Gleichheitszeichen wird hier das Assoziativgesetz der Multiplikation genutzt: Anstatt zuerst das Produkt $5\cdot 3$ zu bestimmen, wird die Klammer so gesetzt, dass zuerst das Produkt $2\cdot 5$ berechnet wird, welches im nächsten Schritt dann mit dem Faktor $3$ multipliziert wird.

    2. Beispiel: $\quad 2\cdot (5+3)=2\cdot 5+2\cdot 3=10+6=16$

    Hier wird im ersten Schritt das Distributivgesetz angewandt. Dieses besagt, dass wir, anstatt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte addieren können. Genauso wird hier vorgegangen.

    3. Beispiel: $\quad (5-3)\cdot 2=5\cdot 2-3\cdot 2=10-6=4$

    Auch hier wird im ersten Schritt das Distributivgesetz angewandt, selbst wenn in der Klammer eine Differenz steht. Diese kannst du nämlich ebenfalls als Summe $2+(-3)$ schreiben.

    4. Beispiel: $\quad 2+(5+3)=(2+5)+3=7+3=10$

    Nach dem ersten Gleichheitszeichen wird hier das Assoziativgesetz der Addition genutzt: Anstatt zuerst die Summe $5+3$ zu bestimmen, wird die Klammer so gesetzt, dass zuerst die Summe $2+5$ berechnet wird, welche im nächsten Schritt zum Summanden $3$ addiert wird.

    5. Beispiel: $\quad 5\cdot (2+3)=5\cdot 2+5\cdot 3=10 + 15=25$

    Hier wird gleichfalls das Distributivgesetz genutzt.

    6. Beispiel: $\quad (3\cdot 5)\cdot 5=3\cdot (5\cdot 5)=3\cdot 25=75$

    Mit dem Assoziativgesetz der Multiplikation wird hier zuerst $5\cdot 5$ statt $3\cdot 5$ gerechnet.

  • Wende das Distributivgesetz an, um einfacher zu rechnen.

    Tipps

    Zerlege den Faktor, der ein Dezimalbruch ist, in zwei Summanden (oder Minuenden und Subtrahenden), sodass die Multiplikation einfacher wird.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $6\cdot 7,6=6\cdot (7+0,6)=42+3,6=45,6$

    Lösung

    Wir können das Distributivgesetz auch umgekehrt nutzen, um uns das Lösen einer Multiplikationsaufgabe zu erleichtern. Dazu zerlegen wir einen der Faktoren so, dass wir die Aufgabe mit geringerem Rechenaufwand lösen können. Wir erhalten dann folgende Rechnungen:

    1. Beispiel

    • $5,7\cdot 4=(5+0,7)\cdot 4=20+2,8=22,8$
    Hier zerlegen wir den Faktor $5,7$ in die Summanden $5$ und $0,7$.

    2. Beispiel

    • $6,9\cdot 5=(7-0,1)\cdot 5=35-0,5=34,5$
    Diesmal wird der Faktor $6,9$ in den Minuenden $7$ und den Subtrahenden $0,1$ zerlegt.

    3. Beispiel

    • $9\cdot 4,3=9\cdot (4+0,3)=36+2,7=38,7$
    Den Faktor $4,3$ zerlegen wir in die Summanden $4$ und $0,3$.

  • Gib die rationalen Zahlen der markierten Punkte auf der Zahlengeraden an.

    Tipps

    $\frac 12$ liegt genau in der Mitte von $0$ und $1$. Ist diese Mitte markiert?

    Alle Zahlen auf der Zahlengeraden, die links von der Null liegen, sind negativ.

    Lösung

    Eine Zahlengerade dient zur Veranschaulichung von Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Die Zahl $0$ teilt die Zahlengerade in zwei Teile. Auf der rechten Seite der $0$ befinden sich die positiven Zahlen, auf der linken Seite die negativen.

    Der Bereich zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen kann unterschiedlich in gleich große Teile unterteilt werden. Teilen wir diesen Abstand zum Beispiel in drei gleich große Teile, entspricht jedes Teil einem Drittel. Genauso können wir ein Ganzes auch halbieren, sodass jedes Teil genau $\frac 12$ groß ist. Teilen wir das Ganze in $10$ gleich große Teile, zählt jedes Teil $\frac 1{10}=0,1$. Damit erhalten wir die hier abgebildeten Zahlen für die Zahlengerade.

  • Ermittle die Lösungen der jeweiligen Aufgaben.

    Tipps

    Du kannst hier entweder die Rechengesetze Assoziativ- und Distributivgesetz anwenden oder in folgender Reihenfolge vorgehen:

    1. Zuerst die Klammern berechnen, dabei beginnst du bei den inneren Klammern.
    2. Dann die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen durchführen.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{lll} 20-32-(1,8+3\cdot(1,3+3,7))\cdot 1,9 &=& 20-32-(1,8+3\cdot 5)\cdot 1,9 \\ &=& 20-32-(1,8+15)\cdot 1,9 \\ &=& 20-32-16,8\cdot 1,9 \\ &=& 20-32-31,92 \\ &=& -12-31,92 \\ &=& -43,92 \end{array}$

    Lösung

    Wir können hier entweder die Rechengesetze Assoziativ- und Distributivgesetz anwenden oder in folgender Reihenfolge vorgehen:

    1. Zuerst die Klammern berechnen, dabei beginnen wir bei den inneren Klammern.
    2. Dann die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen durchführen.
    Wir werden nun beide Varianten anwenden:

    1. Beispiel

    Zuerst wenden wir die Regel für Minusklammern an. Dann nutzen wir das Distributivgesetz, um uns die Multiplikation $5,4\cdot 9$ zu erleichtern. Wir zerlegen dazu den Faktor $5,4$ in die Summanden $5$ und $0,4$.

    $\begin{array}{lll} 5,4\cdot 9+22,4-(4,5-2,5) &=& 5,4\cdot 9+22,4-4,5+2,5 \\ &=& (5+0,4)\cdot 9+22,4-4,5+2,5 \\ &=& 45+3,6+22,4-4,5+2,5 \\ &=& 69 \end{array}$

    2. Beispiel

    Hier nutzen wir im ersten Schritt das Distributivgesetz. Danach berechnen wir den Klammerausdruck und rechnen anschließend von links nach rechts:

    $\begin{array}{lll} (5-2,2)\cdot 5+(6+33,8) &=& 25-11+(6+33,8) \\ &=& 25-11+39,8 \\ &=& 53,8 \end{array}$

    3. Beispiel

    Im ersten Schritt formulieren wir die Summe in der ersten Klammer so um, dass wir Summanden erhalten, mit denen wir einfacher rechnen können, und wenden dann das Distributivgesetz an. Bevor wir erneut das Distributivgesetz anwenden formulieren wird die Summe wieder geschickt um. Dann heben wir die hintere Minusklammer auf, indem wir alle Plus- und Minuszeichen in der Klammer entsprechend umkehren:

    $\begin{array}{lll} 2\cdot (1,6+3,3)\cdot 3-(1,2-6) &=& 2\cdot (0,9+4)\cdot 3-(1,2-6) \\ &=& (1,8+8)\cdot 3-(1,2-6) \\ &=& (0,8+9)\cdot 3-(1,2-6) \\ &=& 2,4+27-(1,2-6) \\ &=& 2,4+27-1,2+6 \\ &=& 34,2 \end{array}$

    4. Beispiel

    Hier nutzen wir weder Assoziativ- noch Distributivgesetz. Wir berechnen beginnend bei der innersten Klammer zuerst die Klammerausdrücke, dabei beachten wir Punkt- vor Strichrechnung:

    $\begin{array}{lll} 54-(2+3\cdot(3,6+2,4))\cdot 1,2 &=& 54-(2+3\cdot 6)\cdot 1,2 \\ &=& 54-(2+18)\cdot 1,2 \\ &=& 54-20\cdot 1,2 \\ &=& 54-24 \\ &=& 30 \end{array}$