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Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion

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Team Digital
Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme das Ergebnis.

    Tipps

    Die Subtraktion einer Zahl ist dasselbe wie eine Addition mit der Gegenzahl.

    Beachte, dass gilt:

    $-(-3)=+3$

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $2,3-(-1,1) = 2,3+1,1=3,4$

    Lösung

    Bei der Addition positiver Zahlen gehst du auf dem Zahlenstrahl um die entsprechenden Schritte nach rechts, bei der Addition negativer Zahlen nach links.

    Bei der Addition von $2,5$ gehst du also um $2,5$ Schritte nach rechts:

    $1,5 + 2,5 = 4$

    Das Ergebnis einer Addition mit $-2,5$ liegt um $2,5$ Schritte weiter links als die Zahl, zu der du $-2,5$ addierst:

    $(-2,5)+(-2,5) = -5$

    Bei der Subtraktion ist es genau umgekehrt: Die Subtraktion einer positiven Zahl führt dich um die entsprechenden Schritte nach links, die Subtraktion einer negativen Zahl nach rechts. Insbesondere ist die Subtraktion einer negativen Zahl dasselbe wie die Addition der positiven Gegenzahl:

    $3,5 -(-2,5) = 3,5 + 2,5 = 6$

    Ganz analog ist auch die Addition einer negativen Zahl dasselbe wie die Subtraktion der positiven Gegenzahl.

    Einen Bruch kannst du in einen Dezimalbruch umwandeln, um die Rechnung auszuführen:

    $-\dfrac{1}{2} + 1,5 = -0,5+1,5=1$

    So erhältst du folgende Zuordnung:

    • $1,5+2,5=4$
    • $- \dfrac{1}{2} + 1,5 = 1$
    • $(-2,5)+(-2,5) = -5$
    • $-5+2,5 = -1,5$
    • $3,5-(-2,5) = 6$
  • Nenne ein Zahlenbeispiel, das die Aussage bestätigt.

    Tipps

    Die Subtraktion von $-1$ liefert dasselbe Ergebnis wie die Addition von $1$.

    Die Gegenzahl hat ein umgekehrtes Vorzeichen.

    Beispiel:

    $5$ ist die Gegenzahl von $-5$.

    Lösung

    Beim Addieren einer positiven Zahl gehst du auf dem Zahlenstrahl nach rechts, beim Subtrahieren nach links. Für negative Zahlen ist es genau umgekehrt: Die Addition einer negativen Zahl führt auf dem Zahlenstrahl nach links, die Subtraktion nach rechts.

    Die Gegenzahl einer Zahl ist die betragsgleiche Zahl mit dem umgekehrten Vorzeichen. Der Betrag jeder Zahl außer $0$ ist positiv, denn der Betrag ist genau der Abstand der Zahl zu $0$. Daher haben eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Abstand zu $0$.

    So findest du folgende Beispiele:

    • Die Addition einer Zahl ergibt dasselbe wie die Subtraktion der Gegenzahl.
    Beispiele:
    $3 + 5 = 3 - ({-}5) = 8$
    $4,3+(-1,1) = 4,3 - 1,1 = 3,2$
    • Die Subtraktion einer negativen Zahl ist dasselbe wie die Addition der positiven Gegenzahl.
    Beispiele:
    $7 - ({-}2) = 7 + 2$
    $-1,5 -(-2,3) = -1,5 + 2,3 = 0,8$
    $~$
    • Die Summe zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl.
    Denn die Addition einer positiven Zahl führt auf dem Zahlenstrahl nach rechts.
    Beispiel:
    $5 + 1 = 6 > 0$
    $~$
    • Die Differenz zweier negativer Zahlen ist nicht notwendigerweise eine negative Zahl. //
    Denn die Subtraktion einer negativen Zahl führt auf dem Zahlenstrahl nach rechts und evtl. über die Null hinaus.
    Beispiele:
    $-2 - ({-}4) = 2 > 0$
    $-2,3-(-3,2) = -2,3+3,2 = 0,9$

  • Erschließe die Rechnungen.

    Tipps

    Du kannst die Differenz $1,4-5,7$ auch als Summe $1,4+(-5,7)$ schreiben.

    Das Ergebnis der Subtraktion $1,4-5,7$ hat ein negatives Vorzeichen, denn:

    $|1,4|<|5,7|$

    Lösung

    Die Summe positiver Zahlen ist positiv, die Summe negativer Zahlen ist negativ. Bei der Addition von Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen hat die Summe dasselbe Vorzeichen wie der betragsgrößte Summand. Um das Vorzeichen einer Differenz zu bestimmen, kannst du die Differenz als Summe schreiben. Dazu musst du nur den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzen.

    So erhältst du folgende Zuordnungen:

    $2,8$:

    • $1,3-(-1,5) = 1,3+1,5=2,8$
    • $4,1-1,3 = 2,8$
    • $(-2,8)-(-5,6) = -2,8-5,6=2,8$
    $-1,6$:
    • $3-4,6 =3+(-4,6)=-1,6$
    • $-2,8+1,2=-1,6$
    • $(-1,8)-(-0,2)=-1,8+0,2=-1,6$
    $4,7$:
    • $2,3+2,4=4,7$
    • $5,3-0,6=4,7$
    • $(-0,8)-(-5,5)=-0,8+5,5=4,7$
    $-0,3$:
    • $3,8-4,1=3,8+(-4,1)=-0,3$
    • $(-1,2)+0,9=-0,3$
    • $0,3-0,6=0,3+(-0,6)=-0,3$

  • Bestimme die Lösungen.

    Tipps

    Du kannst jede Differenz als Summe schreiben, indem du den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzt.

    Die Gegenzahl von $-1,7$ ist $1,7$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $3,2-(-3,3) = - 3,2+3,3=0,1$

    Lösung

    Bei der Addition einer positiven Zahl gehst du auf dem Zahlenstrahl nach rechts, bei der Addition einer negativen Zahl nach links. Bei der Addition und Subtraktion von Kommazahlen musst du immer den Übertrag zwischen den Kommastellen beachten. So ist z. B. $0,6 + 0,5 = 1,1$.

    Die Addition einer negativen Zahl führt dich auf dem Zahlenstrahl nach links, die Subtraktion nach rechts. Außerdem ist immer die Addition einer Zahl dasselbe wie wie Subtraktion der Gegenzahl.

    Die Summe zweier positiver Zahlen ist positiv, die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ. Die Summe einer positiven und einer negativen Zahl hat das Vorzeichen der Zahl, deren Betrag größer ist. Um das Vorzeichen einer Differenz zu bestimmen, kannst du die Differenz als Summe schreiben, indem du den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzt.

    So erhältst du folgende Rechnungen:

    • $1,3 +3,8 =5,1$.
    Das Ergebnis ist die Summe positiver Zahlen und daher positiv.
    • $(-1,1) +(-3,4) =-4,5$.
    Hier ist das Ergebnis die Summe negativer Zahlen und daher negativ. Du kannst die Beträge der Zahlen addieren und dann diese Summe mit einem negativen Vorzeichen versehen.
    • $1,2-(-2,1) =3,3$.
    Die Subtraktion einer negativen Zahl ergibt dasselbe wie die Addition der positiven Gegenzahl: $1,2-(-2,1) = 1,2+2,1 = 3,3$.
    • $1,2-2,1=-0,9$.
    Bei dieser Rechnung ist $\vert {-2,1}\vert \gt \vert 1,2\vert$. Daher ist das Ergebnis negativ.
    • $-2,3-(-2,3)=0$.
    In dem Fall kannst du wieder die Subtraktion der negativen Zahl $-2,3$ durch die Addition der positiven Gegenzahl $2,3$ ersetzen: $-2,3-(-2,3) = -2,3+2,3$. Hier steht nun die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl. Das Ergebnis ist also $0$.
    • $3,4-\frac{3}{2} =1,9$.
    Um die Subtraktion durchzuführen, kannst du zuerst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln: $3,4-\frac{3}{2} = 3,4-1,5$. Dann kannst du die Subtraktion ausführen: $3,4-1,5=1,9$.
  • Benenne die Eigenschaften rationaler Zahlen.

    Tipps

    Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl.

    Haben zwei Zahlen denselben Betrag, so sind sie gleich oder Gegenzahlen voneinander.

    Je weiter eine negative Zahl von $0$ entfernt ist, desto größer ist ihr Betrag.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag.
    Denn der Betrag ist der Abstand zu $0$. Ein Zahl und ihre Gegenzahl haben genau denselben Abstand zu $0$, also genau denselben Betrag.
    • Jede Kommazahl ist eine rationale Zahl.
    Rationale Zahlen sind alle ganzen Zahlen, alle endlichen Dezimalbrüche (oder Kommazahlen) und alle Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können.
    • Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zu $0$.
    Dies ist die Definition des Betrages.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Der Betrag einer negativen Zahl ist negativ.
    Der Betrag ist immer positiv, denn der Betrag ist der Abstand zu $0$.
    • Jede rationale Zahl liegt zwischen zwei natürlichen Zahlen.
    Die Zahl $-2,3$ liegt zwischen den ganzen Zahlen $-2$ und $-3$. Aber $-2,3$ liegt nicht zwischen zwei natürlichen Zahlen, sondern links aller natürlichen Zahlen. Denn keine natürliche Zahl liegt links von $0$.
    • Jede rationale Zahl ist eine Kommazahl.
    Ganze Zahlen gehören auch zur Menge der rationalen Zahlen. $13$ z. B. ist eine ganze Zahl, aber keine Kommazahl. Du kannst zwar $13$ ebenfalls als Dezimalbruch $13,0$ schreiben, trotzdem fasst man ganze Zahlen, also Zahlen ohne Nachkommastellen, nicht als Kommazahlen auf.
  • Bestimme die Lösungen.

    Tipps

    Das Ergebnis der Addition $-1,3+5,1$ ist positiv, da $|-1,3|<|5,1|$.

    Das Kommutativgesetz der Addition, kann dir helfen, Aufgaben zu vereinfachen:

    $a+b=b+a$

    Lösung

    Die Summe einer positiven und einer negativen Zahl ist positiv, wenn der Betrag des positiven Summanden größer ist als der Betrag des negativen Summanden. Ist der Betrag des negativen Summanden größer, ist auch die Summe negativ. Haben beide Summanden denselben Betrag, so ist die Summe $0$.

    Du kannst jede Differenz als Summe schreiben, indem du den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzt. Bei einer Summe mit mehr als zwei Summanden kannst du das Assoziativgesetz verwenden und jeweils zwei Summanden zusammenfassen.

    Beispiel:

    $1,2-2,1-(-1,7) = (1,2-2,1)+1,7 = (-0,9)+1,7 = 0,8$

    Zur Vereinfachung der Rechnungen kannst du auch das Kommutativgesetz der Addition verwenden und die Reihenfolge von Summanden vertauschen. Aber Achtung: Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition, nicht für die Subtraktion!

    So findest du folgende Ergebnisse für die vorgegebenen Rechnungen:

    Grün

    Zuerst kannst du die Rechnung als Summe umschreiben und erhältst:

    $-2,3+1,8+3,2-(-2,3) = -2,3+1,8+3,2+2,3$

    Mit dem Kommutativgesetz der Addition kannst du die Reihenfolge der Summanden vertauschen:

    $-2,3+1,8+3,2+2,3=-2,3+2,3+1,8+3,2$

    Mit dem Assoziativgesetz der Addition kannst du die beiden ersten und die beiden letzten Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} -2,3+2,3+1,8+3,2 &=& (-2,3+2,3)+(1,8+3,2) \\ &=& 0+5 \\ &=& 5 \end{array} $

    Gelb

    In dem Term $1,2 -0,75 + \frac{3}{4} -1$ kannst du zunächst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln:

    $1,2 -0,75 + \frac{3}{4} -1 = 1,2 -0,75 + 0,75 -1$

    Als Nächstes schreibst du die Differenz als Summe:

    $1,2 -0,75 + 0,75 -1 = 1,2+( -0,75) + 0,75 +(-1)$

    Nun kannst du mit dem Assoziativgesetz die beiden mittleren Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} 1,2+( -0,75) + 0,75 +(-1) &=& 1,2+( -0,75+ 0,75) +(-1) \\ &=& 1,2+(-1) \\ &=& 0,2 \end{array} $

    Blau

    Bei dem Term $-1,9+\frac{4}{5} +1,1 - 0,4$ schreibst du wieder zuerst den Bruch als Dezimalbuch um:

    $-1,9+\frac{4}{5} +1,1 - 0,4 = -1,9+0,8 +1,1 - 0,4$

    Jetzt schreibst du die Differenz als Summe:

    $-1,9+0,8 +1,1 - 0,4 = -1,9+0,8 +1,1 +(- 0,4)$

    Mit dem Assoziativgesetz fasst du die beiden ersten Summanden zusammen:

    $ \begin{array}{rcl} -1,9+0,8 +1,1 +(- 0,4) &=& (-1,9+0,8) +1,1 +(- 0,4) \\ &=& (-1,1) + 1,1+(-0,4) \end{array} $

    Nun kannst du wieder die beiden ersten Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} -1,1 + 1,1+(-0,4) &=& (-1,1+1,1) +(-0,4) \\ &=& 0+(-0,4) \\ &=& -0,4 \end{array} $

    Violett

    Du kannst wieder zuerst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln:

    $7,3-1,4+\frac{12}{5}-9,2=7,3-1,4+2,4-9,2$

    Als Nächstes kannst du die Differenz als Summe schreiben und die beiden mittleren Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} 7,3-1,4+2,4-9,2 &=& 7,3+(-1,4)+2,4+(-9,2) \\ &=& 7,3+(-1,4+2,4)+(-9,2) \\ &=& 7,3+1+(-9,2) \end{array} $

    Hier kannst du noch einmal die beiden ersten Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} 7,3+1+(-9,2) &=& (7,3+1)+(-9,2) \\ &=& (8,3)+(-9,2) \\ &=& -0,9 \end{array} $