Termumformungen mit mehreren Variablen – Übung

Termumformungen mit mehreren Variablen – Übung Übung

• Vereinfache den angegebenen Term.

  Tipps

  Du kannst bei Termen wie zum Beispiel $\frac{4c^2}{2c}$ kürzen zu 2c.

  Führe die Rechnung $\frac{1}{2}c^2:(c:\frac{1}{c})$ Schritt für Schritt durch.

  Durch einen Bruch wird geteilt, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird.

  Lösung

  Der Term $-5c+\frac{2c}{c}+c-\frac{c^2}{4c}-\frac{1}{2}c^2:(c:\frac{1}{c})$ soll vereinfacht werden:

  • Im ersten Schritt werden die Brüche gekürzt: $-5c+\frac{2c}{c}+c-\frac{c^2}{4c}-\frac{1}{2}c^2:(c:\frac{1}{c})= -5c+2+c-\frac{c}{4}-\frac{1}{2}c^2:(c \cdot c)$.

  • Durch $c^2$ teilen bedeutet mit $\frac{1}{c^2}$ multiplizieren: $-5c+2+c-\frac{c}{4}-\frac{1}{2}c^2:(c \cdot c)=-5c+2+c-\frac{c}{4}-\frac{1}{2}c^2\frac{1}{c^2}$.

  • Nun kann der Faktor $c^2$ gekürzt werden: $-5c+2+c-\frac{c}{4}-\frac{1}{2}c^2\frac{1}{c^2}=-5c+2+c-\frac{c}{4}-\frac{1}{2}$.

  • Jetzt müssen die Terme nur noch sortiert werden, so dass besser erkennbar ist, was zusammengefasst werden kann: $-5c+2+c-\frac{c}{4}-\frac{1}{2}=-5c+c-\frac{c}{4}+2-\frac{1}{2}$.

  • Es ergibt sich also der vereinfachte Term $-5c+c-\frac{c}{4}+2-\frac{1}{2}=-\frac{17}{4}c+\frac{3}{2}$.

• Bestimme das richtige Ergebnis der Vereinfachung.

  Tipps

  Verwende das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren der Klammern: $a(b+c)=ab+ac$.

  Ordne die Terme so, dass du besser erkennen kannst, was zusammengefasst werden kann.

  Es können nur Terme addiert oder subtrahiert werden, die sowohl in den Variablen als auch in den Exponenten übereinstimmen.

  Lösung

  Zu vereinfachen ist der Term $4x(a^2+b^2)+7x-3x(a^2-b^2)$. Wir verwende zunächst das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$, um die beiden Klammern auszumultiplizieren:

  $4x(a^2+b^2)+7x-3x(a^2-b^2)=4xa^2+4xb^2+7x-3xa^2+3xb^2$.

  Beachte dabei, dass $-3x(-b^2)=3xb^2$. Nun kannst du die Terme nach absteigenden Potenzen sortieren. Zunächst notierst du die Terme mit $xa^2$, dann die mit $xb^2$ und zuletzt die mit x:

  $4xa^2+4xb^2+7x-3xa^2+3xb^2=4xa^2-3xa^2+4xb^2+3xb^2+7x$.

  Und jetzt kann zusammengefasst werden:

  $4xa^2-3xa^2+4xb^2+3xb^2+7x=xa^2+7xb^2+7x$.

• Bestimme die Vereinfachung der folgenden Terme.

  Tipps

  Sortiere die Terme so, dass du besser erkennen kannst, was zusammengefasst werden kann.

  Du kannst Terme nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie sowohl in der Variablen als auch im Exponenten übereinstimmen.

  Lösung

  1. Zur Vereinfachung des Termes $x^2+3xy-2y^2+2xy-3x^2+4y^2$ kannst du zunächst die einzelnen Terme so sortieren, dass besser erkennbar ist, was zusammengefasst werden kann:

  $\begin{aligned} x^2+3xy-2y^2+2xy-3x^2+4y^2 &= x^2-3x^2-2y^2+4y^2+3xy+2xy \\ &= -2x^2+2y^2+5xy \end{aligned}$

  Es werden nur die Terme zusammengefasst, welche sowohl in der Variablen als auch im Exponenten übereinstimmen.

  2. Bei $xy-3x^2+3-4xy+2x^2-7$ wird zuerst sortiert und dann addiert oder subtrahiert: $xy-3x^2+3-4xy+2x^2-7=-3x^2+2x^2+xy-4xy+3-7=-x^2-3xy-4.$

  3. Beim Sortieren musst du beachten, dass die höchsten Exponenten am Anfang stehen:

  $\begin{aligned} 13y^2-23x^2+3xy-7xy+22x^2-15y^2 &= -23x^2+22x^2+13y^2-15y^2+3xy-7xy \\ &= -x^2-2y^2-4xy \end{aligned}$

  4. Addieren oder subtrahieren kannst du nur Terme mit gleichen Variablen und Exponenten. Dabei werden die Koeffizienten addiert oder subtrahiert und die Variablen bleiben stehen:

  $\begin{aligned} 12+3xy-4x^2+7x^2-12+3xy &= -4x^2+7x^2+3xy+3xy+12-12\\ &=3x^2+6xy \end{aligned}$

  Auch bei diesem Term kannst du zuerst die Terme sortieren und danach zusammenfassen.

• Erkläre, wie der angegebene Term vereinfacht werden kann.

  Tipps

  Du musst zuerst den Term in der Klammer vereinfachen.

  Im Anschluss löst du die Klammer auf.

  Die Addition oder Subtraktion ist nur bei Termen möglich, die in den Variablen und den Exponenten übereinstimmen.

  Lösung

  Zur Vereinfachung des Termes $x(x^2-y^2-(3y+2x^2))+2x^3-xy^2+6xy$ musst du zunächst den Term in der Klammer behandeln, in dem du nach gleichartigen Termen ordnest und diese dann zusammenfasst:

  $x^2-y^2-(3y+2x^2)=x^2-y^2-3y-2x^2=x^2-2x^2-y^2-3y=-x^2-y^2-3y$.

  Nun kannst du diesen Term mit x multiplizieren und erhältst $-x^3-xy^2-3xy$. Den verbleibenden Term können wir wiederum geeignet ordnen und zusammenfassen:

  $\begin{aligned} x(x^2-y^2-(3y+2x^2))+2x^3-xy^2+6xy&=-x^3-xy^2-3xy+2x^3-xy^2+6xy\\ &=-x^3+2x^3-xy^2-xy^2-3xy+6xy\\ &=x^3-2xy^2+3xy. \end{aligned}$

• Beschreibe die einzelnen Schritte zur Vereinfachung des Termes.

  Tipps

  Bevor du zusammenfassen kannst, sortierst du die Terme entsprechend ihrer Potenzen.

  Terme können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in den Variablen und Exponenenten übereinstimmen.

  Die Koeffizienten werden dann addiert oder subtrahiert und die Variablen bleiben stehen.

  Zum Beispiel $7x^2+4x^2=11x^2$.

  Lösung

  Um den Term zu vereinfachen, kannst du zunächst so sortieren, dass alle Terme mit gemeinsamen Variablen und Exponenten zusammenstehen:

  $7x^2+2+4x+2y^2-4+3x-y^2=7x^2+2y^2-y^2+4x+3x+2-4$.

  Terme mit gemeinsamen Variablen und Exponenten können addiert oder subtrahiert werden. Die Variablen und Exponenten bleiben stehen und die Koeffizienten werden addiert oder subtrahiert.

  $7x^2+2y^2-y^2+4x+3x+2-4=7x^2+y^2+7x-2$.

  Dieser Term kann nicht mehr weiter zusammengefasst werden.

• Ermittle die Vereinfachung des Termes.

  Tipps

  Alle vier Koeffizienten sind ganzzahlig.

  Berechne zunächst die beiden Brüche und kürze sofern möglich.

  Lösung

  Zur Vereinfachung des Terms kannst du folgendermaßen vorgehen:

  • In beiden Zählern werden die Klammern ausmultipliziert: $\frac{(x^2-y)(x-y^2)}{xy}-\frac{x(x-y)+y(y-x)}{x}=\frac{x^3-x^2y^2-xy+y^3}{xy}-\frac{x^2-xy+y^2-xy}{x}$ .

  • Ein Bruch $\frac{a+b}{c}$ lässt sich umformen zu $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$. Zusätzlich wird noch gekürzt: $\frac{x^3-x^2y^2-xy+y^3}{xy}-\frac{x^2-xy+y^2-xy}{x}=\frac{x^2}{y}-xy-1+\frac{y^2}{x}-x+y-\frac{y^2}{x}+y$.

  • Die Terme werden sortiert. Dadurch können die Terme, die zusammengefasst werden, besser erkannt werden: $\frac{x^2}{y}-xy-1+\frac{y^2}{x}-x+y-\frac{y^2}{x}+y=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-\frac{y^2}{x}-xy-x+y+y-1$.

  • Zum Schluss werden alle Terme mit gleichen Variablen und Exponenten zusammengefasst: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-\frac{y^2}{x}-xy-x+y+y-1=\frac{x^2}{y}-xy-x+2y-1$.