Teilbarkeit – Einführung (2)

Teilbarkeit – Einführung (2) Übung

• Nenne Eigenschaften von Teilbarkeitsregeln und der Quersumme.

  Tipps

  Teilbarkeitsregeln sagen etwas über die Teilbarkeit von Zahlen aus.

  Was ergibt $1+0+8+3$?

  Ein Strich vor und hinter einer Zahl steht für den Absolutbetrag. Es gilt zum Beispiel $|-1254|= 1254$.

  Lösung

  Teilbarkeitsregeln geben Bedingungen für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen an. Sie helfen beim Ermitteln von Teilern großer Zahlen. Bei Zahlen des kleinen $1 \text{x} 1$ kann man noch relativ leicht herausbekommen, ob eine Zahl eine andere teilt. Fragt man sich zum Beispiel, ob $7$ die Zahl $49$ teilt, so kann man diese Frage mit ja beantworten, denn: $49 = 7 \cdot 7$. Es gilt also, dass $49$ ein Vielfaches von $7$ ist, oder umgekehrt: $7 | 49$, $7$ teilt $49$.

  Die Frage, ob $3$ die Zahl $1083$ teilt, ist schon schwerer zu beantworten. Das kleine $1x1$ gibt hier keine Antwort. Hier helfen Teilbarkeitsregeln weiter. Eine solche Teilbarkeitsregel wäre zum Beispiel: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

  Die Kurzschreibweise für die Quersumme ist ein Strich über der Zahl. Zum Beispiel steht $\overline{1083}$ für die Quersumme von $1083$. Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl. Es gilt: Die Quersumme von $1083$ ist $1+0+8+3 = 12$.

  Die Teilbarkeitsregeln sind auch hilfreich beim Kürzen von Brüchen. Beim Kürzen muss man Nenner und Zähler durch die gleiche Zahl teilen. Sind Zähler wie Nenner sehr groß, kann man mit den Teilbarkeitsregeln solche gemeinsamen Teiler finden.

• Berechne die Quersumme von $364$, $4893$ und $1053101$.

  Tipps

  Aus welchen Ziffern bestehen die Zahlen jeweils?

  Addiere die Ziffern der Zahlen, um die Quersumme zu erhalten.

  Die Größe einer Zahl sagt nicht immer etwas über die Größe der Quersumme aus. Die Zahl $1002013$ hat die Quersumme $7$, $29$ dagegen hat die Quersumme $11$.

  Lösung

  • $\overline{364}~=~3+6+4~=~13$
  • $\overline{4893}~=~4+8+9+3~=~24$
  • $\overline{1053101}~=~1+0+5+3+1+0+1~=~11$

  Bei einigen Teilbarkeitsregeln kommt die Quersumme vor. Eine dieser Regeln besagt zum Beispiel:

  „Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.“

  So kann man zum Beispiel schnell herausfinden, dass $4893$ durch $3$ teilbar ist, weil $\overline{4893} = 24$ durch $3$ teilbar ist.

  Die Quersumme ist also eine sehr einfache Methode, um natürliche Zahlen auf Teilbarkeit zu prüfen. Um zu prüfen, ob $4893$ durch $3$ teilbar ist, reicht es, die Ziffern dieser Zahl zu addieren. Das Ergebnis $24$ kann man sehr leicht im Kopf durch $3$ teilen. Um $4893$ durch $3$ zu teilen, müsste man schriftlich dividieren, was deutlich länger dauert.

• Entscheide, welche Brüche du ohne Teilbarkeitsregeln kürzen kannst.

  Tipps

  Stelle dir bei jedem Bruch die Frage: Kannst du Zähler und Nenner als Produkt aus dem kleinen Einmaleins darstellen?

  Zum Beispiel gehören bei $\large{\frac{30}{54}}$ beide Zahlen zum kleinen Einmaleins: $5 \cdot 6 = 30$ und $9 \cdot 6 = 54$. Du kannst also mit $6$ kürzen.

  Sind Zähler oder Nenner größer als $100$, gehört diese Zahl nicht zum kleinen Einmaleins, weil $10 \cdot 10 = 100$ die größte Zahl des kleinen Einmaleins ist.

  Lösung

  Sind der Nenner und der Zähler eines Bruches Zahlen des kleinen Einmaleins, kann man den Bruch ohne Anwendung von Teilbarkeitsregeln kürzen. Man überlegt, welches Produkt jeweils den Nenner und den Zähler ergibt und kann dann jeweils die gleichen Faktoren herausstreichen. Das geht bei folgenden Brüchen:

  • $\frac{18}{63} = \frac{2 \cdot 9}{7 \cdot 9}= \frac{2}{7}$
  • $\frac{48}{54}= \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 9}= \frac{8}{9}$
  • $\frac{21}{35}= \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7}= \frac{3}{5}$
  • $\frac{64}{8}= \frac{8 \cdot 8}{1 \cdot 8}= \frac{8}{1} = 8$

  Bei den anderen drei Brüchen geht das nicht, da dort Zähler und / oder Nenner nicht zum kleinen Einmaleins gehören. Man kann aber Teilbarkeitsregeln anwenden. Eine Teilbarkeitsregel besagt zum Beispiel: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Daraus kann man dann schließen, dass $108$ durch $4$ teilbar ist, weil die letzten beiden Ziffern, also $08$, durch $4$ teilbar sind. Teilt man dann $108$ testweise durch $4$, ergibt sich: $108 : 4 = 27$. Umgekehrt gilt also $4 \cdot 27 = 108$. Somit kann man $\frac{108}{27}$ kürzen:

  • $\frac{108}{27}= \frac{4 \cdot 27}{1 \cdot 27}= \frac{4}{1} = 4$.

  Hier wurde also eine Teilbarkeitsregel angewendet, um den Bruch zu kürzen.

  Es gibt noch einige weitere Teilbarkeitsregeln. Wählt man die Richtigen aus, kann man auch die beiden anderen Brüche kürzen:

  • $\frac{719}{2157}= \frac{1 \cdot 719}{3 \cdot 719}= \frac{1}{3}$,
  • $\frac{495}{198}= \frac{5 \cdot 99}{2 \cdot 99}= \frac{5}{2}$.

• Bestimme die Quersummen.

  Tipps

  Die Quersumme einer Zahl ist die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht.

  $364$ besteht aus den Ziffern $3$, $6$ und $4$. Die Quersumme ist die Summer dieser Ziffern:

  $\overline{364} = 3+6+4 = 13$.

  Lösung

  Zur Erinnerung: Der Strich über einer Zahl bedeutet, dass die Quersumme gesucht ist. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht. Für die gegebenen Zahlen ergeben sich folgende Quersummen in aufsteigender Reihenfolge:

  • $\overline{203} = 2+0+3=5$
  • $\overline{20130101}=2+0+1+3+0+1+0+1=8$
  • $\overline{65}=6+5=11$
  • $\overline{14920}=1+4+9+2+0=16$:
  • $\overline{99}=9+9=18$
  • $\overline{6187}=6+1+8+7=22$
  • $\overline{85645}=8+5+6+4+5=28$

  Wie man sieht, hängt die Größe einer Zahl nicht mit der Größe der Quersumme zusammen. Die Zahl $20130101$ zum Beispiel ist sehr viel größer als die Zahl $99$. In der ersten Zahl kommen aber dreimal die Ziffer $0$ und sonst nur die Ziffern $1$, $2$ und $3$ vor. Deswegen ist die Quersumme niedriger als bei $99$. Hier wird zweimal die Ziffer $9$ addiert.

• Nenne die Ziffern, aus denen die Zahlen $40817$ und $25$ bestehen.

  Tipps

  Ziffern sind die einstelligen Zahlen $0,1,2,3,4,5,6,7,8$ und $9$.

  Die erste Ziffer in $40817$ ist $4$. Wie lauten die anderen Ziffern der Zahl?

  Bei der Aufzählung der Ziffern kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Allerdings wird das Aufzählen dadurch leichter nachvollziehbar.

  Lösung

  Die Zahl $25$ besteht aus den Ziffern $2$ und $5$.

  $40817$ besteht aus den Ziffern $4$, $0$, $8$, $1$ und $7$.

  Die Quersumme einer Zahl ist nun die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht: $\overline{25} = 2+5 = 7$ und $\overline{40817} = 4+0+8+1+7 = 20$.

  Dabei ist wichtig, dass doppelte Ziffern auch doppelt in die Summe einbezogen werden: In der Zahl $848$ kommen die Ziffern $8$ und $4$ vor. Da die $8$ aber zweimal vorkommt, wird sie bei der Quersumme auch zweimal addiert: $\overline{848} = 8 + 4 +8$.

• Untersuche, an welcher Haustür Nina klingeln muss.

  Tipps

  Eine Teilbarkeitsregel besagt: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.

  Die gesuchte Hausnummer hat an zweiter Stelle also eine $0$ oder eine $5$.

  Kann die zweistellige Hausnummer die Quersumme $11$ haben, wenn sie auf $0$ endet?

  Wenn die zweite Ziffer also eine $5$ ist, was sollte dann an erster Stelle stehen, damit die Quersumme $11$ herauskommt?

  Lösung

  Mia gibt Nina drei Informationen über ihre Hausnummer:

  • Sie ist zweistellig, also zwischen $1$ und $99$.
  • Die Quersumme ist $11$.
  • Sie ist durch $5$ teilbar.

  Man könnte einfach alle Zahlen von $1$ bis $99$ auf diese drei Eigenschaften testen. Da dies sehr lange dauern kann, sollte man lieber versuchen, die Aufgabe systematisch zu lösen.

  Man kann sich überlegen, wann eine Zahl durch $5$ teilbar ist. Dazu kann man sich zum Beispiel die Fünferreihe des kleinen Einmaleins anschauen:

  $1 \cdot 5 = 5,\qquad 2 \cdot 5 = 10,\qquad 3 \cdot 5 = 15,\qquad 4 \cdot 5 = 20,\qquad 5 \cdot 5 = 25,~ ...$

  Es kann einem auffallen, dass die Ergebnisse immer mit der Ziffer $0$ oder $5$ enden. Tatsächlich ist dies eine Teilbarkeitsregel: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Die gesuchte Zahl muss an zweiter Stelle also eine $5$ oder $0$ haben.

  Weiter kann man sich überlegen, dass die $0$ als zweite Ziffer nicht in Frage kommt. Die gesuchte Hausnummer ist zweistellig. Es gibt also neben der zweiten Stelle nur eine weitere Ziffer, die in der Quersumme mit einbezogen wird. Die erste Ziffer kann höchstens eine $9$ sein. Wäre die zweite Ziffer eine $0$, wäre also als Quersumme maximal $9$ möglich. Mia sagte aber, dass die Quersumme $11$ ist. Somit muss die zweite Ziffer eine $5$ sein.

  Damit ist die Aufgabe fast gelöst. Wenn die Quersumme $11$ ist und weiter bekannt ist, dass die zweite Ziffer eine $5$ ist, dann kommt als erste Ziffer nur $6$ in Frage, denn: $\overline{65} = 6+5 = 11$. Bei jeder anderen Zahl an erster Stelle wäre die Quersumme nicht $11$.

  Damit lautet die Lösung der Aufgabe:

  Nina muss bei dem Haus mit der Nummer 65 klingeln.