Schnittwinkel der Diagonalen im Drachenviereck

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler, herzlich willkommen zum Video Geometrie, Teil 37. Das Video heißt "Das Drachenviereck". Der Untertitel lautet "(b) Schnittwinkel der Diagonalen". Ihr könnt euch sicher daran erinnern, dass wir einen schönen, kleinen Drachen bauen wollten. Hier ist er. Und nun braucht er natürlich in der Mitte noch Leisten. Die Leisten müssen schön angeordnet werden, genau in der Mitte. Das ist also von oben nach unten, und das ist die Querleiste, die kommt hier ran und wird dann auch noch so angebracht. Die Ecken werden dann am Ende oben abgetrennt. So sieht es gut aus. So, und nun möchte ich meinen Drachen weiterbauen, die Leisten anbringen, und mich interessiert natürlich die Frage: Stehen die beiden Leisten senkrecht aufeinander? Also die Frage: Ist das ein rechter Winkel? Das ist streng genommen der Schnittwinkel der Diagonalen in unserem Drachenviereck. Also die Frage: Ist das ein rechter Winkel? Damit der Drachen keinen Schaden nimmt, verwende ich eine Beweisskizze, die genau ein Drachenviereck enthält, welches kongruent zu unserem Drachen ist. Dieses rote ist bestens für eine Beweisskizze geeignet. Ich beschrifte zunächst die 4 Ecken des Drachenvierecks A, B, C und D und schreibe die Seiten daran. Gleich lange Seiten werden mit gleichen Buchstaben bezeichnet, also, das habe wir ja im Video 36 gelernt, unten jeweils a und oben jeweils b. Die Diagonalen habe ich eingezeichnet, den Diagonalenschnittpunkt bezeichne ich mit M und den Schnittwinkel, so wie angedeutet, werde ich ε nennen. Behauptung: ε =90° Beweis: Im ersten Teil der Beweisführung vergleiche ich die beiden Dreiecke ABC und ADC. Ich stelle fest, dass die Seiten AB und AD gleich lang sind. Beide haben die Länge a. Weiter stelle ich fest, dass die Seiten BC und DC gleich lang sind, beide haben die Länge b. Und schließlich ist die Seite AC gleich der Seite AC. Unsere beiden Dreiecke stimmen demzufolge in 3 Seiten überein. SSS, das ist ein Kongruenzsatz. Daraus folgt, dass die Dreiecke ABC und ADC kongruent zueinander sind. Aus der Kongruenz dieser beiden Dreiecke folgt, dass die entsprechenden Winkel gleich groß sind. Also ist der Winkel DCA = Winkel BCA. Wir bezeichnen beide Winkel mit γ'. Als Ergebnis dieses Beweisteils trage ich zunächst die beiden Winkel γ' in die Beweisskizze ein. Kommen wir nun zum zweiten Teil des Beweises. Jetzt betrachten wir die beiden Dreiecke DMC und BMC. Zunächst ist offensichtlich: MC ist gleich MC. Als Nächstes ist festzustellen, dass der Winkel MCD =  Winkel MCB, denn das ist ja gerade der Winkel γ'. Und schließlich gibt: CD ist gleich CB, denn beide Seiten sind gleichlang. Sie haben die Länge b. Beide Dreiecke stimmen in Seite, Winkel und Seite überein. Nach dem Kongruenzsatz SWS gilt, dass die Dreiecke DMC und BMC kongruent zueinander sind. Aus der Kongruenz der beiden Dreiecke folgt, dass entsprechende Winkel, die zwischen gleichen Seiten liegen, gleich groß sind. Also Winkel CMD = Winkel CMB. Diesen Winkel bezeichnen wir als ε. Das haben wir ja eigentlich oben schon getan. Die beiden grünen Pfeile weisen nun auf die beiden Winkel ε. Wir erhalten ε + ε = 180°, denn beide zusammen bilden einen gestreckten Winkel. 2 ε = 180°, also letztlich ε = 90°. Damit haben wir den Beweis erfolgreich geführt. Ich trage einen der rechten Winkel, denn alle 4 Schnittwinkel sind rechte Winkel, in die Beweisskizze ein. Die Zeichnung möchte ich noch etwas abspecken und sinnbildlicher gestalten. Also, ich nehme mir ein frisches Drachenviereck und zeichne die beiden Diagonalen ein. Am Ende des Videos möchte ich mit euch zusammen noch einen schönen Merksatz formulieren. Während ihr darüber nachdenkt, trage ich alle 4 rechten Schnittwinkel in die Zeichnung ein. Habt ihr eine Idee für einen Merksatz? Vielleicht so: Die Diagonalen in einem Drachenviereck stehen senkrecht aufeinander. So, das wär's wieder für heute. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.