Rationale Zahlen vergleichen und ordnen

Rationale Zahlen vergleichen und ordnen Übung

• Beschreibe, wie du zwei rationale Zahlen vergleichen kannst.

  Tipps

  Du kannst dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl einzeichnen. Die Zahl, die weiter links steht, ist die kleinere Zahl.

  Der Betrag einer positiven Zahl ist die Zahl selbst.

  Den Betrag einer negativen Zahl siehst du hier an einem Beispiel:

  $|{-5}|=5$.

  Du lässt also sozusagen das Vorzeichen weg.

  Lösung

  Um Zahlen miteinander zu vergleichen, kannst du sie auf einem Zahlenstrahl einzeichnen. Die Zahl, die weiter links steht, ist die kleinere der beiden Zahlen.

  Wenn du ohne Zahlenstrahl arbeiten willst, kannst du drei Fälle unterscheiden.

  1. Fall: Beide Zahlen haben ein positives Vorzeichen.

  Dann ist die Zahl mit dem größeren Betrag die größere der beiden Zahlen. Dies kannst du dir an dem Beispiel der beiden Zahlen $8$ und $11$ anschauen:

  • $|8|=8$
  • $|11|=11$
  • Somit ist $8\lt 11$.

  2. Fall: Die beiden Zahlen haben verschiedene Vorzeichen.

  Eine negative Zahl ist immer kleiner als eine positive. Schau dir dies an dem Beispiel der beiden Zahlen $5,3$ und $-1,2$ an:

  • $-1,2\lt 5,3$

  3. Fall: Beide Zahlen haben ein negatives Vorzeichen.

  Dann ist die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere der beiden Zahlen. Hier siehst du die Lösung für die Zahlen $-11,8$ und $-14$:

  • $|{-11,8}|=11,8$
  • $|{-14}|=14$
  • Da $11,8\lt 14$ ist, gilt $-14\lt -11,8$.

• Bestimme die Ordnung der rationalen Zahlen.

  Tipps

  Negative Zahlen sind kleiner als positive Zahlen.

  Vergleiche zwei negative Zahlen miteinander: Die Zahl mit dem größeren Betrag ist die kleinere.

  Bspw. ist $-14\lt -13$, da $14 \gt 13$ ist.

  Schreibe den Bruch als Dezimalzahl:

  $\frac12=0,5$.

  Lösung

  Du sollst diesen durcheinander geworfenen Haufen Zahlen sortieren.

  Schau dir erst einmal die negativen Zahlen an: $-4$; $-3,8$; $-4$ und $-7,5$.

  Merke dir: Sind zwei Zahlen negativ, dann ist die mit dem größeren Betrag die kleinere.

  • Die mit dem größten Betrag ist die Zahl $-7,5$. Es gilt $|{-7,5}|=7,5$.
  • Dann kommt $-6,5$, dann $-4$ und zuletzt $-3,8$.

  Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl. Also hast du bereits die ersten vier Sortierelemente gefunden.

  Nun kommen noch die positiven Zahlen.

  Merke dir: Sind zwei Zahlen positiv, dann ist die mit dem größeren Betrag die größere.

  Es ist hilfreich, den Bruch $\frac12$ zuerst in eine Dezimalzahl umzuwandeln:

  $\frac12=0,5$.

  Es geht los mit $0,5$, dann kommt $4,5$ und zuletzt $5,8$.

  Fertig! Du kannst die Zahlen nun komplett sortiert aufschreiben und das entsprechende Relationszeichen nutzen:

  $-7,5\lt -6\lt -4\lt -3,8\lt\frac12\lt 4,5\lt 5,8$.

• Entscheide, welches Relationszeichen fehlt.

  Tipps

  Schau dir immer zuerst die Vorzeichen der beiden Zahlen an.

  Haben die Zahlen verschiedene Vorzeichen (wie zum Beispiel $4$ und $-5$), dann ist die negative Zahl die kleinere.

  Es gilt $-5\lt 4$.

  • Ist eine Zahl kleiner als die andere, verwendest du das Zeichen $\lt$ für „kleiner als“.
  • Ist eine Zahl größer als die andere, verwendest du das Zeichen $\gt$ für „größer als“.

  Beachte bei negativen Zahlen: Die Zahl mit dem größeren Betrag ist die kleinere der beiden Zahlen.

  Du musst gegebenenfalls die Zahlen in der gleichen Darstellungsform aufschreiben.

  Lösung

  Beim Vergleichen von zwei Zahlen schaust du dir immer erst einmal die Vorzeichen an:

  1. Wenn die Zahlen verschiedene Vorzeichen haben, dann ist die negative Zahl die kleinere der beiden Zahlen. Es ist also $-1,2\lt\frac32$. Du musst die Zahlen hierfür nicht in die gleiche Darstellungsform bringen.
  2. Wenn beide Zahlen negativ sind, ist die mit dem größeren Betrag die kleinere von den beiden. Es gelten die Gleichungen $|{-2,4}|=2,4$ und $|{-4,2}|=4,2$. Da $2,4\lt 4,2$ ist, gilt $-2,4\gt -4,2$.
  3. Bei zwei positiven Zahlen ist die mit dem größeren Betrag die größere. In diesem Beispiel ist eine Zahl als Bruch gegeben. Schreibe diese Zahl als Dezimalzahl. Es gilt $\frac65=1,2$. Nun kannst du die Zahlen vergleichen und erhältst $\frac65\lt 1,3$.
  4. Hier siehst du noch ein Beispiel mit zwei negativen Zahlen. Eine von diesen Zahlen ist ein Bruch. Für diesen gilt $-\frac{17}5=-3,4$. Vergleiche die Beträge der Zahlen. Die mit dem größeren Betrag ist die kleinere der beiden Zahlen. Du erhältst $-3,2\gt -\frac{17}5$.

• Untersuche, welche der drei rationalen Zahlen in der Mitte der Relation steht.

  Tipps

  Sind zwei der drei Zahlen negativ (positiv), dann ist die mittlere Zahl negativ (positiv).

  Schau dir die Zahlen $1,5$, $-1,6$ und $-4,8$ an. Zwei der Zahlen sind negativ, was dazu führt, dass $1,5$ die größte Zahl ist. Die Zahl in der Mitte muss also negativ sein.

  Da $-4,8 \lt -1,6$ gilt, ist die mittlere Zahl $-1,6$. Insgesamt sieht die Relation so aus:

  $-4,8\lt -1,6\lt 1,5$.

  Lösung

  Im Folgenden kannst du jeweils die drei Zahlen zunächst sortieren. Dann kannst du die mittlere Zahl erkennen:

  1. $3,4\lt\color{green}{7}\lt 13,2$
  2. Da eine Bruchzahl vorliegt, ist es hilfreich, diese zunächst als Dezimalzahl zu schreiben. Es gilt $\frac52=2,5$. Nun kannst du sortieren. Es gilt die Relation $-4,5\lt\color{green}{-2,4}\lt\frac52$.
  3. Schreibe wieder zunächst den Bruch als Dezimalzahl. Es gilt $-\frac74=-1,75$. Nun kannst du die Zahlen vergleichen und sortieren. Du erhältst $-5,7\lt\color{green}{-\frac74}\lt -1,2$.
  4. $-\frac78=-0,875$ und $\frac92=4,5$: So erhältst du $-\frac78\lt\color{green}{3,2}\lt\frac92$.

  Hinweis: Bei Aufgabe 2 siehst du, dass zwei der Zahlen negativ sind. Deshalb muss die mittlere Zahl ebenfalls negativ sein. Du hättest den Bruch an dieser Stelle also nicht umwandeln müssen, um die mittlere Zahl zu bestimmen.

• Zeige auf, was bei dem Vergleich von einem Bruch und einer Dezimalzahl zu beachten ist.

  Tipps

  Ein Relationszeichen ist beispielsweise $\lt$. Es wird zwischen zwei Zahlen geschrieben und sagt aus, welche der beiden Zahlen größer sind. Schau dir ein Beispiel an:

  $1$ ist kleiner als $4$. Es gilt $1\lt 4$.

  Du kannst dir das Vergleichen von Zahlen so vorstellen wie das Vergleichen von Gewichtsangaben:

  Wenn diese Angaben in verschiedenen Maßeinheiten vorliegen, ist es hilfreich, wenn du erst einmal alle Angaben in der gleichen Maßeinheit aufschreibst.

  Welche Zahl ist größer? $1,4$ oder $\frac85$?

  Es ist $1,4=\frac 75$. Da nun beide Brüche den gleichen Nenner haben, kannst du die Zähler vergleichen. Es gilt $7\lt 8$.

  Deshalb gilt $\frac75\lt\frac85$.

  Du kannst auch den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. $\frac85$ ist in Dezimalschreibweise $1,6$.

  So siehst du ebenfalls, dass $1,4\lt 1,6$ gilt.

  Lösung

  Beachte: Wenn du rationale Zahlen vergleichen oder sortieren willst, sollten diese Zahlen in der gleichen Darstellungsform vorliegen.

  Entweder schreibst du alle Zahlen als Brüche auf oder als Dezimalzahlen.

  Beim Vergleichen von Brüchen müssen diese gleichnamig sein, also den gleichen Nenner haben:

  • $4,8=\frac{48}{10}$
  • $\frac12=\frac5{10}$

  Nun kannst du die Brüche vergleichen. Es gilt $\frac5{10}\lt\frac{48}{10}$. Bei gleichnamigen Brüchen musst du nur die Zähler vergleichen.

  Hier siehst du noch den Vergleich, wenn du beide Zahlen als Dezimalzahlen schreibst:

  • $\frac12=0,5$
  • Somit gilt die Ordnung $\frac12\lt 4,5$.

• Ermittle die Ordnung der rationalen Zahlen.

  Tipps

  Sortiere erst einmal die negativen Zahlen.

  Schreibe alle Zahlen als Dezimalzahlen.

  Bei negativen Zahlen ist jene die kleinere, welche den größeren Betrag hat.

  Lösung

  Achte darauf, erst einmal alle Zahlen in einer Darstellungsform aufzuschreiben:

  • $\frac{33}{10}=3,3$
  • $\frac{17}5=3,4$
  • $-\frac{15}2=-7,5$
  • $-\frac{21}5=-4,2$

  Sortiere zunächst die negativen Zahlen: Die Zahl mit dem größten Betrag ist die kleinste. Es gilt:

  $-\frac{15}2\lt -6,8\lt -\frac{21}5\lt -3,4$.

  Du bist mit den negativen Zahlen fertig. Nun musst du noch die Positiven sortieren:

  $2,7\lt\frac{33}{10}\lt\frac{17}5\lt 4,1$.

  Da eine negative Zahl immer kleiner ist als eine positive, kannst du die geordneten Zahlen schließlich hintereinanderschreiben:

  $-\frac{15}2\lt -6,8\lt -\frac{21}5\lt -3,4\lt 2,7\lt\frac{33}{10}\lt\frac{17}5\lt 4,1$.