Rationale Zahlen anordnen (Übungsvideo)

Rationale Zahlen anordnen (Übungsvideo) Übung

• Bestimme alle ganzen Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllen.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl ist der Abstand der Zahl zu 0.

  Der Betrag einer Zahl ist immer positiv, das heißt, er ist größer oder gleich 0.

  Der Betrag einer negativen Zahl ist eine positive Zahl.

  Zum Beispiel: |-6|=6.

  Zahl und Gegenzahl haben den gleichen Betrag.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um ganze Zahlen.

  1. Der Betrag der Zahl ist kleiner als 3. Dies sind zum einen die natürlichen Zahlen 0, 1 oder 2. Auch die Gegenzahlen von 1 und 2, also -1 und -2, erfüllen diese Bedingung.
  2. Der Betrag der Zahl ist größer als 4,6 und kleiner als 7,2. Bei den natürlichen Zahlen erfüllen dies die 5, 6 und 7. Zu jeder dieser Zahlen erfüllt auch die Gegenzahlen diese Bedingung. Also kommen noch -5, -6 und -7 hinzu.
  3. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur 0. Der Betrag ist immer positiv, das heißt größer oder gleich 0. Wenn der Betrag kleiner oder gleich 0 sein soll, muss er gleich 0 sein. Es gibt nur eine Zahl, die den Abstand gleich 0 von der 0 hat. Dies ist die 0 selbst.

• Gib die richtige Reihenfolge der folgenden Zahlen an.

  Tipps

  Mache dir die Reihenfolge an einer Zahlengeraden klar.

  Es ist $6<8$. Bei den Gegenzahlen dreht sich aber das Vorzeichen um, sodass $-6>-8$ gilt.

  Lösung

  Die richtige Reihenfolge der Zahlen kannst du dir auch auf einer Zahlengeraden klarmachen:

  $-8,8<-8<-5,1<-5<-1,4<0,2<13,5<27,4$.

  Wenn dir das Ordnen von negativen Zahlen vielleicht etwas schwerer fällt, denk daran, dass durch das Vorzeichen die Reihenfolge geändert wird. So ist zum Bespiel wir aus $12<16$ die Ungleichung $-12>-16$. Du siehst, dass sich das Relationszeichen (> oder <) umdreht.

• Ordne die Zahlen der Größe nach.

  Tipps

  Du kannst die Zahlen auf einer Zahlengeraden abtragen. Dann kannst du die Reihenfolge besser erkennen.

  Du musst mit den positiven Zahlen beginnen, wenn du mit der größten Zahl beginnen sollst.

  Ein Beispiel: Sortiere die Zahlen 1; -3; 12 der Größe nach und beginne mit der größten Zahl.

  Das ergibt $12>1>-3$.

  Lösung

  Du kannst dir die Reihenfolge an einer Zahlengeraden klarmachen. Beachte, dass die Zahlen so geordnet werden sollen, dass die größte Zahl zuerst steht. Du musst mit der größten Zahl beginnen und dann immer kleiner werden:

  Die Reihenfolge ist $3,45>3,2>1,8>0,5>-0,7>-1,2>-3,4$.

• Bestimme alle Zahlen, deren Betrag zwischen 12,2 und 15,7 liegen.

  Tipps

  Berechne jeweils das Ergebnis und überprüfe, ob die das Ergebnis die vorgegebene Bedingung erfüllt.

  Der Betrag einer negativen Zahl ist positiv.

  Lösung

  Zahlen, deren Betrag zwischen 12,2 und 15,7 liegen, sind

  • entweder $z≥0$, für die gilt $12,2<z<15,7$,
  • oder $z<0$, für die gilt $-15,7<z<-12,2$.

  Du musst zuerst die Beträge ausrechnen und dann untersuchen, ob das Ergebnis eine der obigen Bedingung erfüllt.

  • $|8-12|+9=|-4|+9=4+9=13$. 13 ist eine positive Zahl und sie liegt zwischen 12,2 und 15,7.
  • $15 \cdot 3-56=-11$. -11 ist eine negative Zahl. Sie ist größer als -12,2, also erfüllt sie die Bedingung nicht.
  • $27:3+|-4|=9+4=13$. Es gilt $12,2<13<15,7$ und die Bedingung ist erfüllt.
  • $|22-28-9|:3+7=|-15|:3+7=15:3+7=5+7=12$. 12 ist eine positive Zahl. Sie ist kleiner als 12,2. Also erfüllt sie die Bedingung nicht.

• Benenne vier negativen Zahlen, die größer als $-1,8$ sind.

  Tipps

  Die Zahl muss

  • zum einen negativ sein und
  • zum anderen größer als $-1,8$.

  Trage die Zahlen auf einer Zahlengeraden ein.

  Lösung

  Die Zahl muss negativ sein. Deswegen kann $2,5$ nicht stimmen. Die Zahl muss größer als $-1,8$ sein. Deshalb kann $-5$ nicht stimmen.

  Alle übrigen Zahlen erfüllen die Voraussetzung, dass sie negativ und größer als $-1,8$ sind. Die Zahlen $-1,7$, $-1,2$, $-1$ und $-0,4$ liegen alle zwischen $-1,8$ und $0$.

  Du kannst dir dies auch an einer Zahlengeraden klarmachen.

• Entscheide, welche Zahl größer und welche kleiner ist.

  Tipps

  Berechne zunächst jeweis die Ergebnisse.

  Beachte, dass der Betrag einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.

  Lösung

  Wir rechnen zunächst jeweils die Ergebnisse aus und vergleichen im Anschluss:

  1. Es ist $|3-7,5|=|-4,5|=4,5$. Auf der rechten Seite steht $|-12+3|=|-9|=9$. Es gilt $4,5<9$, also $|3-7,5|<|-12+3|$.
  2. Wir berechnen $|2-47|:3=|-45|:3=45:3=15$ und $|-23+4,8|=|-18,2|=18,2$. Insgesamt gilt $13,7<15<18,2$ und damit $13,7<|2-47|:3<|-23+4,8|$.
  3. Es ist $|13-27,5|=|-14,5|=14,5$ und $|12-4,5:3-2|=|12-1,5-2|=|8,5|=8,5$. Es gilt $14,5>8,7>8,5$, somit ist $|13-27,5|>8,7>|12-4,5:3-2|$.
  4. Wir berechnen $|-3+4|=|1|=1$ und $|-3|+|4|=3+4=7$. Dies führt zu $1<7$, also gilt hier $|-3+4|<|-3|+|4|$.