Proportionale Zuordnungen (Übungsvideo)

Proportionale Zuordnungen (Übungsvideo) Übung

• Stelle die richtigen Quotientengleichungen auf.

  Tipps

  Die Wertepaare sind quotientengleich. Das bedeutet, dass für die beiden Wertepaare das Ergebnis des Quotienten immer gleich ist.

  Bestimme den Proportionalitätsfaktor k für beide Wertepaare. Setze anschließend beide Quotienten gleich, um die erste Quotientengleichung zu erhalten.

  Lösung

  Der Proportionalitätsfaktor k ist der für alle Wertepaare konstante Quotient $\frac{y}{x}$. In dieser Aufgabe gilt mit den Wertepaaren $(A~|~B)$ und $(C~|~D)$:

  $k = \frac{B}{A}$ und $k = \frac{D}{C}$. Die beiden Quotienten haben also den gleichen Wert und können gleichgesetzt werden. Dies liefert die erste Quotientengleichung:

  • $\frac{B}{A} = \frac{D}{C}$.

  Durch Umformen dieser Gleichung erhält man die anderen Formen der Quotientengleichung:

  • $\frac{A}{C} = \frac{B}{D}$ erhält man durch Multiplikation mit A und Division durch D.
  • $\frac{C}{D} = \frac{A}{B}$ kommt heraus, wenn man bei der ursprünglichen Gleichung auf beiden Seiten den Kehrwert bildet.
  • $\frac{D}{B} = \frac{C}{A}$ erhält man aus der zweiten Gleichung durch Bildung des Kehrwertes auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

  Mithilfe dieser vier Gleichungen ist es stets möglich, in einem Schritt den Wert der Größe A, B, C oder D zu berechnen, wenn dieser unbekannt ist.

• Berechne, wie lang der Kupferdraht ist.

  Tipps

  Bringe als erstes alle bekannten Informationen in eine übersichtliche Form.

  Wähle anschließend eine geeignete Quotientengleichung aus.

  Berechne x durch das Umstellen der Gleichung.

  Lösung

  Bei der Lösung von Sachaufgaben zu proportionalen Zuordnung kannst du das folgende Schema anwenden:

  • Darstellung der auftretenden Größen in Tabellenform
  • Auswahl einer geeigneten Quotientengleichung
  • Berechnen der unbekannten Größe
  • Antwortsatz formulieren

  Auch bei dieser Aufgabe führt dieses Schema uns zur richtigen Lösung:

  Als erstes stellen wir eine Wertetabelle zu der proportionalen Zuordnung Drahtlänge in m $\rightarrow$ Gewicht in kg auf:

  $\begin{array}{l|c|c} Drahtlänge~in~m & x & 50\\ \hline Gewicht~in~kg & 0,45 & 3,6\\ \end{array}$

  Eine passende Quotientengleichung wählen wir, indem wir die gesuchte Größe x an erster Stelle (links oben) notieren.

  $\frac{x}{0,45} = \frac{50}{3,6}$

  Durch die Umstellen der Gleichung nach x erhalten wir die Lösung:

  x = $\frac{50 \cdot 0,45}{3,6}$ = 6,25.

  Antwortsatz: Ein Draht von dem Gewicht 0,45 kg hat die Länge von 6,25 m.

• Stelle einen Zusammenhang zwischen proportionalen Zuordnungen und „je mehr, desto mehr“ her.

  Tipps

  Bei einer proportionalen Zuordnung x $\rightarrow$ y gilt die Gleichung $y = k \cdot x$.

  Bei dieser Zuordnung Menge $\rightarrow$ Preis gilt je mehr, desto mehr. Ist sie proportional?

  Handelt es sich bei der gegebenen Zuordnung Anzahl Freunde $\rightarrow$ Kaugummis um eine „je mehr, desto mehr“-Zuordnung?

  Lösung

  Jede proportionale Zuordnung ist eine „je mehr, desto mehr“-Zuordnung. Bei einer proportionalen Zuordnung x $\rightarrow$ y gilt die Geradengleichung $y = k \cdot x$, wobei k der Proportionalitätsfaktor ist. Dieser ist stets positiv. Der einem bestimmten Wert x zugeordnete Wert y ist also das k-fache von x. Einem höheren Wert für x wird also ein höherer Wert für y zugeordnet. Daraus folgt: je mehr, desto mehr.

  Gilt bei einer Zuordnung je mehr, desto weniger, so kann es sich nicht um eine proportionale Zuordnung handeln.

  Auch ist nicht jede „je mehr, desto mehr“-Zuordnung ist eine proportionale Zuordnung. Betrachte zum Beispiel die Zuordnung Menge $\rightarrow$ Preis mit folgender Wertetabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Menge} & 1 & 5 & 10 \\ \hline \text{Preis in Euro} & 3 & 10 & 18 \\ \hline \text{Quotient} \frac{\text{Preis in Euro}}{\text{Menge}} & 3 & 2 & 1,8 \\ \end{array}$

  Es handelt sich hier um eine „je mehr, desto mehr“-Zuordnung, da gilt: jJe größer die Menge, desto höher der Preis. Die letzte Zeile zeigt jedoch, dass die Wertepaare nicht quotientengleich sind. Die Zuordnung ist also nicht proportional.

  Bei der Zuordnung Anzahl Freunde $\rightarrow$ Kaugummis gilt: je mehr, desto weniger. Je höher die Anzahl Freunde, unter denen Theo seine Kaugummis verteilt, desto weniger bekommt jeder Einzelne. Es handelt sich also nicht um eine proportionale Zuordnung.

• Ermittle, wie weit der Wanderer insgesamt gelaufen ist.

  Tipps

  Um welche Form der Zuordnung handelt es sich hier? Welche Größe wird welcher zugeordnet?

  Wie lange ist der Wanderer insgesamt unterwegs?

  Erstelle eine Wertetabelle und entscheide dich dann für eine Quotientengleichung.

  Lösung

  In einer bestimmten Zeit legt der Wanderer einen bestimmten Weg zurück. Es handelt sich hier also um die Zuordnung Zeit in h $\rightarrow$ Weg in km. Man könnte auch die umgekehrte Zuordnung Weg in km $\rightarrow$ Zeit in h betrachten. Beides führt zum richtigen Ergebnis. In dieser Lösung wird erstere Zuordnung gewählt.

  Betrachtet wird also die Zuordnung Zeit in h $\rightarrow$ Weg in km. Bei konstanter Geschwindigkeit gilt der Zusammenhang:

  $\text{Weg} = \text{Geschwindigkeit} \cdot \text{Zeit}$.

  Diese Gleichung hat die Form y = k $\cdot$ x, wobei der Proportionalitätsfaktor k die Geschwindigkeit des Wanderers ist. Anhand der Form der Gleichung wird klar: Es handelt sich hier um eine proportionale Zuordnung.

  Gesucht ist der Weg, den der Wanderer insgesamt zurücklegt. Er ist insgesamt 2,5 + 1,5, also 4 Stunden unterwegs. Es ist also der Weg gesucht, den der Wanderer in 4 Stunden zurücklegt.

  Aus dieser Information und der Aufgabenstellung kann folgende Wertetabelle erstellt werden:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Zeit in h} & 2,5 & 4 \\ \hline \text{Weg in km} & 15 & x\\ \end{array}$

  Die Quotientengleichung in der passenden Formel lautet dann:

  $\frac{x}{15}$ = $\frac{4}{2,5}$. Diese kann durch Multiplikation mit 15 nach x umgestellt werden:

  x = $\frac{15 \cdot 4}{2,5}$ = $\frac{60}{2,5}$ = 24.

  Somit lautet die richtige Antwort: Der Wanderer legt insgesamt eine Strecke von 24 km zurück.

• Entscheide, welche Zuordnungen proportional sind.

  Tipps

  Jede proportionale Zuordnung ist eine „je mehr, desto mehr“-Zuordnung.

  Nicht jede „je mehr, desto mehr“-Zuordnung ist proportional.

  Kauft Greta doppelt so viele Zeitungen, muss sie auch doppelt soviel dafür bezahlen.

  Lösung

  Jede proportionale Zuordnung ist eine „je mehr - desto mehr“-Zuordnung, aber nicht jede „je mehr - desto mehr“-Zuordnung ist proportional.

  • Geschwindigkeit $\rightarrow$ Zeit: Es handelt sich nicht um eine proportionale Zuordnung, denn:

  Je höher die Geschwindigkeit, desto geringer ist die Fahrzeit. Es handelt sich also nicht um eine „je mehr - desto mehr“-Zuordnung. Damit kann es sich auch nicht um eine proportionale Zuordnung handeln.

  • Anzahl Schüler $\rightarrow$ Fahrzeit Bus und Fahrzeit Bus $\rightarrow$ Anzahl Schüler: Es handelt sich bei beidem nicht um eine proportionale Zuordnung, denn:

  Die Fahrzeit des Busses ist unabhängig von der Anzahl der Schüler und andersrum. Egal, wie viele Schüler mitfahren, die Fahrzeit ist stets dieselbe. Damit gilt nicht „je mehr - desto mehr“ und folglich liegt keine proportionale Zuordnung vor.

  • Anzahl Zeitschriftenausgaben $\rightarrow$ Preis: Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung, denn:

  Je mehr Ausgaben Greta kauft, desto mehr muss sie dafür bezahlen. Kostet zum Beispiel eine Ausgabe $0,50~€$, so ergibt sich folgende Tabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Anzahl Ausgaben} & 1 & 2 & 5 & 10 & 15\\ \hline \text{Preis in €} & 0,5 & 1 & 2,5 & 5 & 7,5\\ \hline \text{Quotient } \frac{\text{Preis in €}}{\text{Anzahl Ausgaben}} & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5\\ \end{array}$

  Alle Wertepaare sind quotientengleich. Daraus folgt, dass die Zuordnung proportional ist.

• Untersuche, welche Gleichung zur Lösung der Aufgaben verwendet wird.

  Tipps

  Erstelle zu jeder Sachaufgabe zunächst eine Wertetabelle. Sie sollte die gesuchte Größe x enthalten. Das könnte zum Beispiel so aussehen:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Weg} & 1 & 3\\ \hline \text{Zeit} & x & 18\\ \end{array}$

  Suche dann die passende Quotientengleichung heraus. Achte darauf, dass die Größe x links oben steht.

  Stelle die Gleichung dann nach x um.

  Lösung

  Die Lösung der Sachaufgaben erfolgt je in vier Schritten:

  • Aufstellen einer Wertetabelle
  • Auswahl einer Quotientengleichung
  • Berechnung der gesuchten Größe
  • Formulierung des Antwortsatzes

  So ergeben sich für die 4 Sachaufgaben folgende Lösungen:

  • „Wenn Kalle 20 Schritte macht, geht er 10 m. Wieviele Schritte hat er gemacht, wenn er 5 m weit geht?“:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Schritte} & x & 20\\ \hline \text{Weg in m} & 5 & 10\\ \end{array}$

  Die passende Quotientengleichung lautet dann:

  $\frac{x}{20} = \frac{5}{10}$. Diese kann nach x umgestellt werden:

  $x = \frac{20 \cdot 5}{10}$.

  Antwort: Er hat $\frac{20 \cdot 5}{10}$, also 10 Schritte gemacht, um $5~m$ zu gehen.

  • „20 Brötchen kosten 5 €. Wieviel kosten 10 Brötchen?“:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Anzahl Brötchen} & 10 & 20\\ \hline \text{Kosten} & x & 5\\ \end{array}$

  Die passende Quotientengleichung lautet dann:

  $\frac{x}{10} = \frac{5}{20}$. Diese kann nach x umgestellt werden:

  $x = \frac{10 \cdot 5}{20}$.

  Antwort: 10 Brötchen kosten $\frac{10 \cdot 5}{20}$, also $2,5~€$.

  • „An 4 Tagen kommt es an der Nordsee 8 mal zu Ebbe und Flut. Wie viele Tage dauert es, bis es 2 mal zu Ebbe und Flut kommt?“:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Anzahl Tage} & x & 4\\ \hline \text{Anzahl Ebbe & Flut} & 2 & 8\\ \end{array}$

  Die passende Quotientengleichung lautet dann:

  $\frac{x}{2} = \frac{4}{8}$. Diese kann nach x umgestellt werden:

  $x = \frac{2 \cdot 4}{8}$.

  Antwort: Es dauert $\frac{2 \cdot 4}{8}$, also 1 Tag, bis zweimal Ebbe und Flut kommen.

  • „Aus einem Gartenschlauch fließen in 2 Sekunden 4 Liter Wasser. Wie viel Liter fließen in 8 Sekunden?“:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Zeit in s} & 2 & 8\\ \hline \text{Wassermenge in l} & 4 & x\\ \end{array}$

  Die passende Quotientengleichung lautet dann:

  $\frac{x}{4} = \frac{8}{2}$. Diese kann nach x umgestellt werden:

  $x = \frac{4 \cdot 8}{2}$.

  Antwort: In $8~s$ fließen aus dem Gartenschlauch $\frac{4 \cdot 8}{2}$, also $16~l$ Wasser.