Periodische Vorgänge modellieren – Übung

Periodische Vorgänge modellieren – Übung Übung

• Gib an, wie die Parameter bei einer Modellierung periodischer Vorgänge berechnet werden können.

  Tipps

  Die Amplitude ist die Hälfte der Differenz der Funktionswerte der Extremwerte.

  Die trigonometrische Funktion $\sin$ ist $2\pi$-periodisch.

  $x_e$ ist die Stelle, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum seinen Wert annimmt.

  Lösung

  Periodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.

  Wofür stehen die Parameter?

  • $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2$.
  • $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}p$, wobei $p$ die Periodenlänge des Vorganges ist.
  • $d$ berechnet man mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=b\cdot x_e$ mit $f(x_e)=e$.
  • $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{y_{max}+y_{min}}2$.

• Bestimme den Zeitraum, in welchem Gauß in See stechen kann.

  Tipps

  Setze einzelne Werte in der Funktionsgleichung ein. Wenn $1,5~m$ Meter überschritten sind, kann Gauß starten.

  Du kannst auch eine Wertetabelle für den Wasserstand zwischen $7:00$ Uhr und $19$ Uhr an. Setze dazu die $x$-Werte von $7$ bis $19$ in die Funktionsgleichung ein.

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für Bogenmaß eingestellt ist.

  Hier kannst du ein paar Werte und ihre Funktionswerte ablesen.

  • $f(9) \approx 1,58$
  • $f(8,5) \approx 1,18$
  • $f(18) \approx 0,89$
  • $f(17) \approx 1,6$

  Lösung

  Die Funktionsgleichung, durch welche der Wasserstand berechnet werden kann, ist gegeben durch

  $f(x)=1,95\cdot \sin(0,52x-5,2)+2,55$.

  Der Wasserstand um $7:00$ beträgt $0,6~m$.

  Nun können einzelne Funktionswerte, alle Angaben in Metern, berechnet werden:

  • $f(8)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 8-5,2)+2,55\approx 0,87$
  • $f(8,5)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 9-5,2)+2,55\approx 1,18$
  • $f(9)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 9-5,2)+2,55\approx 1,58$.

  Um $8:30$ Uhr ist der Wasserstand noch zu niedrig. Um $9:00$ Uhr kann Gauß starten.

  Da die Sinusfunktion symmetrisch ist folgt, dass Gauß spätestens um $19-(9-7)=19-2=17:00$ Uhr wieder zurück sein muss. Um $17:30$ Uhr ist der Wasserstand wieder bei ungefähr $1,18~m$.

• Entscheide, ob es sich um einen periodischen Vorgang handelt.

  Tipps

  Ein periodischer Vorgang liegt vor, wenn Vorkommnisse

  • sich ständig auf die gleiche Art und Weise
  • in gleichen Abständen wiederholen.

  Der maximale und minimale Abstand kann abgelesen werden.

  Die Periode ist die Dauer von einem Maximalwert zum nächsten.

  Lösung

  Es handelt sich bei diesem Vorgang um einen periodischen Vorgang.

  Der Satellit bewegt sich auf einer Bahn, auf welcher er sich in maximalem, $6$, und minimalem Abstand, $4$, zum Zentrum befindet.

  • Dieser Vorgang wiederholt sich immer wieder
  • in gleicher Weise.

  Für die Modellierung dieses Vorganges durch

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

  werden

  • der maximale Abstand: $y_{max}=6$,
  • der minimale Abstand: $y_{min}=4$ sowie
  • die Periodendauer $p=\frac72=3,5$ benötigt.

• Leite die Gleichung der Funktion her, die den Abstand des Satelliten zum Zentrum auf der Ellipsenbahn beschreibt.

  Tipps

  Wir gehen näherungsweise davon aus, dass die Stelle, an dem das arithmetische Mittel (5) vor dem Maximum angenommen wird exakt bei einem Viertel der Periodenlänge liegt, d.h $x_e=3,5:4$.

  Es gelten:

  • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
  • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
  • $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
  • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

  Lösung

  Wir gehen näherungsweise davon aus, dass die Stelle, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird exakt bei einem Viertel der Periodenlänge liegt, d.h $x_e=3,5:4$.

  Um die Gleichung der Funktion

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

  herzuleiten, müssen die Parameter berechnet werden:

  1. $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2=\frac{6-4}2=1$.
  2. $b=\frac{2\pi}{3,5}=\frac{2\pi}{3,5}\approx 1,8$.
  3. $d=\frac{3,5}4\cdot b=1,575$ mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel (5) vor dem Maximum angenommen wird.
  4. $e=\frac{x_{max}+y_{min}}2=\frac{6+4}2=5$.

  Die Funktionsgleichung lautet demnach:

  $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5$.

• Stelle die Funktionsgleichung auf, durch die die Wasserhöhe bei den Gezeiten beschrieben werden.

  Tipps

  Es gelten:

  • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
  • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
  • $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
  • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

  Du kannst die Werte aus der Aufgabe auch in die verschiedenen Funktionsgleichungen einsetzen. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für das Bogenmaß und nicht auf DEG für das Gradmaß eingestellt ist.

  Lösung

  Periodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.

  Wofür stehen die Parameter?

  • $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{4,5-0,6}2=1,95$.
  • $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}{12}\approx 0,52$.
  • $d$ berechnen wir mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=b\cdot \frac{13+7}2=b\cdot 10=5,2$.
  • $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{4,5+0,6}2=2,55$.

  Die Funktionsgleichung lautet demnach:

  $f(x)=1,95\cdot \sin(0,52x-5,2)+2,55$.

• Ermittle die Stellen, an welchen der Satellit den Abstand $5,5$ [LE] zum Zentrum hat.

  Tipps

  In jedem der vier Quadranten liegt ein Punkt mit dem Abstand $5,5$ [LE] zum Zentrum. Wir betrachten nur den ersten und vierten Quadranten.

  Löse die Gleichung $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5=5,5$. Es gilt $\sin^{-1}\left(0,5\right)=\frac{\pi}{6}$.

  Beachte die Symmetrie-Eigenschaften und die Periodizität der Sinusfunktion.

  Lösung

  Es muss die Gleichung

  $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5=5,5$

  gelöst werden:

  $\begin{align*} \sin(1,8x-1,575)+5&=5,5&|&-5\\ \sin(1,8x-1,575)+5&=0,5&|&\sin^{-1}\\ 1,8x-1,575&=\frac{\pi}6 \\ x&\approx 1,165888209 \approx 1,17 \end{align*}$

  Es fehlt eine weitere Lösung in dem vorgegebenen Intervall $x\in[0;3,5]$ in Tagen. Das Maximum liegt bei $3,5:2=1,75$ Tagen. Demnach beträgt der Abstand ebenfalls $5,5$ [LE], wenn du die Differenz zwischen der ersten Stelle und der Stelle des Maximums auf das Maximum addierst, das bedeutet $1,75+(1,75-1,17)=1,75+2,33$. Demnach ist unsere zweite Stelle bei $x\approx 2,33$ Tagen gefunden.