Periodische Vorgänge modellieren – Übung

Grundlagen zum Thema Periodische Vorgänge modellieren – Übung
In diesem Video erhältst Du die Möglichkeit, das Modellieren periodischer Prozesse zu üben. Du konstruierst selbständig den Graphen der Funktion und stellst die Funktionsgleichung sowie die Formeln der Parameterbestimmung auf. Du erhält natürlich auch die Möglichkeit, deine Ergebnisse mit mir zu vergleichen.
Periodische Vorgänge modellieren – Übung Übung
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Gib an, wie die Parameter bei einer Modellierung periodischer Vorgänge berechnet werden können.
TippsDie Amplitude ist die Hälfte der Differenz der Funktionswerte der Extremwerte.
Die trigonometrische Funktion $\sin$ ist $2\pi$-periodisch.
$x_e$ ist die Stelle, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum seinen Wert annimmt.
LösungPeriodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:
$f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.
Wofür stehen die Parameter?
- $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2$.
- $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}p$, wobei $p$ die Periodenlänge des Vorganges ist.
- $d$ berechnet man mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=b\cdot x_e$ mit $f(x_e)=e$.
- $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{y_{max}+y_{min}}2$.
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Bestimme den Zeitraum, in welchem Gauß in See stechen kann.
TippsSetze einzelne Werte in der Funktionsgleichung ein. Wenn $1,5~m$ Meter überschritten sind, kann Gauß starten.
Du kannst auch eine Wertetabelle für den Wasserstand zwischen $7:00$ Uhr und $19$ Uhr an. Setze dazu die $x$-Werte von $7$ bis $19$ in die Funktionsgleichung ein.
Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für Bogenmaß eingestellt ist.
Hier kannst du ein paar Werte und ihre Funktionswerte ablesen.
- $f(9) \approx 1,58$
- $f(8,5) \approx 1,18$
- $f(18) \approx 0,89$
- $f(17) \approx 1,6$
LösungDie Funktionsgleichung, durch welche der Wasserstand berechnet werden kann, ist gegeben durch
$f(x)=1,95\cdot \sin(0,52x-5,2)+2,55$.
Der Wasserstand um $7:00$ beträgt $0,6~m$.
Nun können einzelne Funktionswerte, alle Angaben in Metern, berechnet werden:
- $f(8)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 8-5,2)+2,55\approx 0,87$
- $f(8,5)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 9-5,2)+2,55\approx 1,18$
- $f(9)=1,95\cdot \sin(0,52\cdot 9-5,2)+2,55\approx 1,58$.
Da die Sinusfunktion symmetrisch ist folgt, dass Gauß spätestens um $19-(9-7)=19-2=17:00$ Uhr wieder zurück sein muss. Um $17:30$ Uhr ist der Wasserstand wieder bei ungefähr $1,18~m$.
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Entscheide, ob es sich um einen periodischen Vorgang handelt.
TippsEin periodischer Vorgang liegt vor, wenn Vorkommnisse
- sich ständig auf die gleiche Art und Weise
- in gleichen Abständen wiederholen.
Der maximale und minimale Abstand kann abgelesen werden.
Die Periode ist die Dauer von einem Maximalwert zum nächsten.
LösungEs handelt sich bei diesem Vorgang um einen periodischen Vorgang.
Der Satellit bewegt sich auf einer Bahn, auf welcher er sich in maximalem, $6$, und minimalem Abstand, $4$, zum Zentrum befindet.
- Dieser Vorgang wiederholt sich immer wieder
- in gleicher Weise.
$f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$
werden
- der maximale Abstand: $y_{max}=6$,
- der minimale Abstand: $y_{min}=4$ sowie
- die Periodendauer $p=\frac72=3,5$ benötigt.
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Leite die Gleichung der Funktion her, die den Abstand des Satelliten zum Zentrum auf der Ellipsenbahn beschreibt.
TippsWir gehen näherungsweise davon aus, dass die Stelle, an dem das arithmetische Mittel (5) vor dem Maximum angenommen wird exakt bei einem Viertel der Periodenlänge liegt, d.h $x_e=3,5:4$.
Es gelten:
- $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
- $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
- $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
- $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$
LösungWir gehen näherungsweise davon aus, dass die Stelle, an dem das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird exakt bei einem Viertel der Periodenlänge liegt, d.h $x_e=3,5:4$.
Um die Gleichung der Funktion
$f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$
herzuleiten, müssen die Parameter berechnet werden:
- $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2=\frac{6-4}2=1$.
- $b=\frac{2\pi}{3,5}=\frac{2\pi}{3,5}\approx 1,8$.
- $d=\frac{3,5}4\cdot b=1,575$ mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel (5) vor dem Maximum angenommen wird.
- $e=\frac{x_{max}+y_{min}}2=\frac{6+4}2=5$.
$f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5$.
-
Stelle die Funktionsgleichung auf, durch die die Wasserhöhe bei den Gezeiten beschrieben werden.
TippsEs gelten:
- $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
- $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
- $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
- $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$
Du kannst die Werte aus der Aufgabe auch in die verschiedenen Funktionsgleichungen einsetzen. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für das Bogenmaß und nicht auf DEG für das Gradmaß eingestellt ist.
LösungPeriodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:
$f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.
Wofür stehen die Parameter?
- $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{4,5-0,6}2=1,95$.
- $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}{12}\approx 0,52$.
- $d$ berechnen wir mit der Stelle, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=b\cdot \frac{13+7}2=b\cdot 10=5,2$.
- $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{4,5+0,6}2=2,55$.
$f(x)=1,95\cdot \sin(0,52x-5,2)+2,55$.
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Ermittle die Stellen, an welchen der Satellit den Abstand $5,5$ [LE] zum Zentrum hat.
TippsIn jedem der vier Quadranten liegt ein Punkt mit dem Abstand $5,5$ [LE] zum Zentrum. Wir betrachten nur den ersten und vierten Quadranten.
Löse die Gleichung $f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5=5,5$. Es gilt $\sin^{-1}\left(0,5\right)=\frac{\pi}{6}$.
Beachte die Symmetrie-Eigenschaften und die Periodizität der Sinusfunktion.
LösungEs muss die Gleichung
$f(x)= \sin(1,8x-1,575)+5=5,5$
gelöst werden:
$\begin{align*} \sin(1,8x-1,575)+5&=5,5&|&-5\\ \sin(1,8x-1,575)+5&=0,5&|&\sin^{-1}\\ 1,8x-1,575&=\frac{\pi}6 \\ x&\approx 1,165888209 \approx 1,17 \end{align*}$
Es fehlt eine weitere Lösung in dem vorgegebenen Intervall $x\in[0;3,5]$ in Tagen. Das Maximum liegt bei $3,5:2=1,75$ Tagen. Demnach beträgt der Abstand ebenfalls $5,5$ [LE], wenn du die Differenz zwischen der ersten Stelle und der Stelle des Maximums auf das Maximum addierst, das bedeutet $1,75+(1,75-1,17)=1,75+2,33$. Demnach ist unsere zweite Stelle bei $x\approx 2,33$ Tagen gefunden.

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@Thanuja Sriranjan : Hallo,
nein, so ist das a definiert. Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge.
Liebe Grüße und viel Erfolg beim Lernen!
rechnet man b nicht mit ymax -ymin durch 2 aus
@Elena Roevenich:
b ist gerundet 5,2. d ist hier etwas kompliziert aufgeschrieben. Du kannst d so berechnen:
d = b · (xmax+xmin)/2
xmax ist der x-Wert des Maximums und xmin der x-Wert des Minimums.
Min ( 7 | 0,6 ) und Max (13 | 4,5 )
Also rechnen wir:
d = 0,52 · (13 + 7 ) /2 = 0,52 * (20)/(2) = 0,52 · 10 = 5,2
Bitte merke dir also die Formel d = b · (xmax+xmin)/2 !
Alternativ kannst du die allgemeine Sinusfunktion auch so definieren:
f(x) = a · sin [ b · (x-d) ] + e
Das findest du zum Beispiel in dem folgenden Video:
http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/einfluss-des-parameters-d-auf-die-sinusfunktion-1
Dann gilt die Formel d = (xmax+xmin)/2 ohne die Multiplikation mit b.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Wende dich gerne heute von 17 - 19 Uhr an den Hausaufgaben-Chat. Hier werden dir unsere Mathe-Experten bei deinen letzten Fragen helfen.
Frag ich mich auch?... Wie kann man d berechnen? Morgen ist die Arbeit und ich hab keine Ahnung, weil Du Martina das nicht erklärt hast!
Tolles Video, ging mir aber beim Parameter d zu schnell. Das ich den Wert aus der Grafik lesen kann ist mir klar. Wie kann ich aber d berechnen?