Parallelverschiebung von Figuren – Gemischte Variante
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Grundlagen zum Thema Parallelverschiebung von Figuren – Gemischte Variante
In den vorherigen Videos hast du zu den verschiedenen Konstruktionen mit Zirkel, Lineal und Geodreieck schon gelernt, wie man Figuren verschieben kann. Es gibt aber auch gemischte Varianten, von denen ich in diesem Video eine Variante vorstelle. Bei komplexeren Figuren hilft es oft, die Symmetrie von Figuren auszunutzen, um die Verschiebung zu vereinfachen. Verschiebst du eine Figur, entsteht eine deckungsgleiche Figur an einer anderen Stelle. Das heißt, dass die neue Figur die gleichen Kantenlängen und Winkel besitzt. Man spricht in so einem Fall dann von der Kongruenz der beiden Figuren. Viel Spaß beim Schauen des Films!
Transkript Parallelverschiebung von Figuren – Gemischte Variante
Hallo! Herzlich Willkommen zu diesem Geometrievideo. Es heißt: „Figuren parallel verschieben“. Ihr wisst schon, wie man Figuren mit dem Geodreieck und mit dem Zirkel und Lineal verschiebt. Nachher könnt ihr verschiedene Figuren schnell und richtig verschieben. Das Video besteht aus vier Abschnitten: Erstens: Parallel verschieben. Zweitens: Verschieben eines Dreiecks. Drittens: Verschieben eines Vierecks. Und viertens: Verschieben komplexerer Figuren. Erstens: Parallel verschieben. Wir haben ein Dreieck und wollen es parallel verschieben. Wichtig dabei sind die Eckpunkte A, B und C. Durch parallele Verschiebung erhält man ein neues Dreieck. Dieses hat die Bildpunkte A‘, B‘ und C‘. Die Verschiebung findet nach einer bestimmten Verschiebungsvorschrift statt. Aus A entsteht A‘. Aus B entsteht B‘. Und aus C wird C‘. Die Verschiebung wird durch den Verschiebungspfeil erklärt. Er muss sich nicht unbedingt an der Figur befinden. Wichtig sind die Richtung des Verschiebungspfeils und natürlich auch seine Länge. Die Richtung seht ihr. Und die Länge beträgt, ich habe sie ausgemessen, 35cm. Wir notieren: Parallelverschiebung einer Figur ist Parallelverschiebung von Punkten. Und wir erinnern uns: Parallelverschiebung ist auf unterschiedliche Arten möglich. Auf welche? Wir können mit dem Geodreieck verschieben. Und auch die Verschiebung mit Zirkel und Lineal ist möglich. Es gibt aber auch gemischte Varianten der Verschiebung. Ich finde das gut. Mancher vielleicht nicht. Zumindest haben wir damit eine größere Auswahl beim Arbeiten. Beim Verschieben sind uns keine Grenzen gesetzt. Man kann Dreiecke verschieben. Oder auch Vierecke. Und auch kompliziertere Figuren lassen sich parallelverschieben. Zweitens: Verschieben eines Dreiecks. Das ist das Dreieck. Es hat die Eckpunkte A, B und C. Die Verschiebung bestimmt der Verschiebungspfeil. Wir verwenden ein Geodreieck. Man kann auch ein gewöhnliches Dreieck nehmen. Wichtig ist ein rechter Winkel. Als zweites benötigen wir ein Lineal. Das Dreieck wird mit dem rechten Winkel an den Verschiebungspfeil angelegt. Das Lineal wird so angelegt, dass es im rechten Winkel zum Verschiebungspfeil steht. Außerdem ist wichtig, dass es durch den Punkt C geht. So, und jetzt das Lineal ganz festhalten und mit dem Geodreieck nach oben gehen bis zum Punkt C. Wunderbar! Nun wird eine Halbgerade von C nach rechts gezeichnet. Die Halbgerade, auch “Strahl” genannt, bezeichnen wir mit g. Das Gleiche tun wir nun, aber so, dass die entsprechende Halbgerade in Punkt A startet. Schön aufpassen! Die Halbgerade, den Strahl, nennen wir h. Und das Gleiche noch einmal. Und nun startet die neue Halbgerade in B. Die Halbgerade von B heißt k. Der Verschiebungspfeil ist parallel zu g, parallel zu h und parallel zu k. Wir haben die Richtung des Verschiebungspfeils benutzt. Jetzt benötigen wir seine Länge. Wir stellen sie an unserem Zirkel ein und tragen diese Länge von A, B und C nach rechts ab. Wir erhalten die Bildpunkte A‘, B‘ und C‘. Die Bildpunkte werden verbunden. Und fertig ist das verschobene Dreieck. Links ist das Dreieck. Rechts ist das Bilddreieck. Drittens: Verschieben eines Vierecks. Das ist das Viereck. Es hat die Eckpunkte A, B, C und D. Die Verschiebung wird durch den Verschiebungspfeil vorgegeben. Das Verfahren habe ich euch beim Dreieck gezeigt. Wir verschieben zunächst A. Wir erhalten die Halbgerade g. Nun zeichnen wir die Halbgerade von B. Dafür ist es vorteilhaft, den Verschiebungspfeil zu verlängern. Den Rest kennt ihr ja schon. Schaut aufmerksam zu! Die Halbgerade von B bezeichnen wir mit h. Nun ist die Halbgerade von C an der Reihe. Schaut aufmerksam zu! Nun benötigen wir die Länge des Verschiebungspfeils. Wir stellen sie am Zirkel ein. Nun wird sie jeweils von A, B und C auf g, h und k abgetragen. Wir erhalten die Bildpunkte A‘, B‘ und C‘ und verbinden sie. Warum habe ich D nicht verschoben? Na ja, den Abstand C-D links haben wir vorgegeben. Ich stelle ihn am Zirkel ein, steche mit dem Zirkel in C‘ ein und schlage einen Kreisbogen. Das Gleiche tue ich mit A-D. Ich steche in A‘ ein und schlage einen Kreisbogen um A‘. Der Schnittpunkt ist natürlich D‘. Wir verbinden die entsprechenden Punkte. Links ist das Viereck. Rechts ist das Bildviereck. Das Bildviereck ist zum Viereck “verschiebungssymmetrisch”. Man kann auch sagen „kongruent“ oder „deckungsgleich“. Viertens: Verschieben komplexerer Figuren. Erwartet ihr wieder einen Hunde- oder Katzenkopf? Diesmal gibt es sowas: Ein Sechseck. Es hat A, B, C, D, E, F. Sechs Punkte verschieben, da kommt wenig Freude auf. Aber das Sechseck ist kein gewöhnliches. Das Sechseck ist regelmäßig, es ist symmetrisch. Das sollte man ausnutzen! Das ist der Verschiebungspfeil. Lasst uns C verschieben! Wir erhalten g parallel zum Verschiebungspfeil. Wir tragen die Länge der Verschiebung ab und erhalten C‘. Nun schauen wir uns das Sechseck einmal näher an. Wir verbinden entsprechende Eckpunkte. Wir erhalten sechs gleichseitige Dreiecke. Der Mittelpunkt ist M. Bevor wir die Symmetrie ausnutzen, müssen wir noch einen Eckpunkt verschieben. Ich nehme einmal D. Wir erhalten die Halbgerade h parallel zum Verschiebungspfeil. Nun tragen wir die Länge des Verschiebungspfeils von D ab. Wir erhalten den Bildpunkt D‘. Wir verbinden C‘ und D‘. Mit dem Zirkel wird nun M‘ konstruiert. Mit dem eingestellten Radius schlagen wir einen Kreisbogen. Mit der gleichen Einstellung tragen wir nun auf dem Kreisbogen die Bildpunkte ab. Wir verbinden sie. Links ist das Sechseck. Rechts ist das Bildsechseck. Die Verschiebung wird durch den Verschiebungspfeil bestimmt. Das Bildsechseck ist zum Sechseck verschiebungssymmetrisch. Sechseck und Bildsechseck sind kongruent, deckungsgleich. Ich bin stolz auf uns! Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg! Tschüss!
Parallelverschiebung von Figuren – Gemischte Variante Übung
-
Ergänze, wie die Parallelverschiebung von Figuren funktioniert.
TippsWohin soll eine Figur verschoben werden?
Es muss eine Richtung der Verschiebung vorgegeben sein.
Wie weit soll eine Figur verschoben werden?
Beim Verschieben eines Dreiecks reicht es, die Eckpunkte zu verschieben und diese dann miteinander zu verbinden.
LösungWenn zum Beispiel ein Dreieck parallel verschoben werden soll, genügt es, die Eckpunkte parallel zu verschieben. Indem man nun die neu entstandenen Bildpunkte sinnvoll miteinander verbindet, erhältst du so ein neues Dreieck, das Bilddreieck.
Um zu wissen, wohin und wie weit verschoben werden soll, benötigt man einen Verschiebungspfeil, also
- dessen Richtung und
- dessen Länge.
- mit dem Geodreieck oder
- mit dem Zirkel und Lineal
-
Beschreibe, wie ein Dreieck parallel verschoben wird.
TippsHier ist die Parallelverschiebung von $A$ zu sehen.
Lege senkrecht an den Verschiebungspfeil ein Geodreieck an.
Lege an das Geodreieck ein Lineal an und verschiebe das Geodreieck in den Punkt $A$.
Nun kannst du den parallelen Strahl zeichnen.
Messe mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeil.
LösungZur Parallelverschiebung eines Dreiecks wird jeder der drei Eckpunkte parallel verschoben.
- Man legt ein Geodreieck senkrecht an den Verschiebungspfeil an und an das Geodreieck ein Lineal.
- Nun wird das Geodreieck in den Punkte $A$ verschoben und ein Strahl gezeichnet, der parallel zu dem Verschiebungspfeil liegt.
- Mit einem Zirkel wird die Länge des Verschiebungspfeil gemessen und diese Länge auf dem Strahl abgetragen.
- Man erhält so den Bildpunkt $A'$.
- Genauso können die Bildpunkte $B'$ von $B$ und $C'$ von $C$ gezeichnet werden.
- Die Bildpunkte werden zu dem Bilddreieck verbunden.
-
Begründe, ob eine Parallelverschiebung vorliegt oder nicht.
TippsBei der Parallelverschiebung einer Figur wird jeder Punkt parallel verschoben.
Die Anordnung der Punkte bleibt gleich.
Bei der Parallelverschiebung sind
- die Länge und
- die Richtung
Die durch Parallelverschiebung entstandene Bildfigur ist kongruent zu der Ausgangsfigur. Kongruent bedeutet deckungsgleich.
Wenn du beide Figuren ausschneidest, so kannst du sie übereinanderlegen und die eine Figur deckt die andere ab und umgekehrt.
LösungBeim ersten Bild liegt eine Parallelverschiebung vor.
- Bei einer Parallelverschiebung wird eine Figur in der Richtung des Verschiebungspfeils um dessen Länge verschoben. Dies ist bei dem zweiten Bild nicht der Fall. Das Bilddreieck müsste durch Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung entstanden sein. Es liegt also keine Parallelverschiebung gemäß dem Verschiebungspfeil vor.
- Bei einer Parallelverschiebung einer Figur wird jeder einzelne Eckpunkt parallel verschoben. Die Anordnung der Punkte bleibt gleich. Dies ist im dritten Bild nicht der Fall. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.
- Die Figur und die Bildfigur sind bei einer Parallelverschiebung kongruent, das heißt deckungsgleich. Im vierten Bild sind das Ausgangsdreieck und das Bilddreieck nicht deckungsgleich. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.
-
Beschreibe die Parallelverschiebung eines Kreises.
TippsWenn der Kreis parallel verschoben wird, entsteht ein deckungsgleicher Bildkreis.
Das bedeutet insbesondere, dass die Radien der beiden Kreise identisch sind.
Ein Kreis ist gegeben durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius.
LösungEs genügt, den Mittelpunkt des Kreises parallel zu verschieben, da ein Kreis durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius festgelegt ist.
Der Ausgangskreis und der Bildkreis sind deckungsgleich. Somit stimmen die Radien überein.
Um den Bildpunkt $M'$ des Mittelpunktes kann dann mit dem gegebenen Radius der Bildkreis gezeichnet werden.
Wie wird der Bildpunkt konstruiert?
- Man trägt einen zum Verschiebungspfeil parallelen Strahl von dem Mittelpunkt $M$ des Kreises ausgehend ab.
- Mit dem Zirkel kann die Länge des Verschiebungspfeils bestimmt werden und
- auf dem Strahl abgetragen werden.
- Der so erhaltene Schnittpunkt ist der Bildpunkt $M'$.
-
Gib an, wie die Parallelverschiebung eines regelmäßigen Sechsecks vereinfacht werden kann.
TippsParallelverschiebung bedeutet etwas salopp formuliert: Du nimmst eine Figur, schneidest diese aus und verschiebst sie in eine bestimmte Richtung.
Die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks liegen auf einem Kreis.
- Dieser Kreis hat als Mittelpunkt den Mittelpunkt des Sechsecks.
- Der Radius dieses Kreises ist der Abstand des Mittelpunktes zu einem beliebigen Eckpunkt.
Dieser Kreis wird durch die Eckpunkte in sechs gleich große Kreisstücke geteilt.
LösungParallelverschiebungen von Figuren können durchgeführt werden, indem die Eckpunkte parallel verschoben werden. Das heißt, bei der Verschiebung eines regelmäßigen Sechsecks müssten die sechs Eckpunkte parallel verschoben werden.
Geht das auch einfacher?
Ja! Es werden zwei benachbarte Punkte parallel verschoben. Mit diesen beiden Punkten kann mit Hilfe eines Zirkels der Mittelpunkt des Sechsecks konstruiert werden.
Alle Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks liegen auf einem Kreis um diesen Mittelpunkt. Dieser Kreis hat als Radius den Abstand eines beliebigen Eckpunktes zu dem Mittelpunkt.
Von einem der bereits gezeichneten Bildpunkte aus können alle übrigen Eckpunkte des Bildsechsecks konstruiert werden:
- Mit dem Zirkel wird im oder gegen den Uhrzeigersinn immer wieder der Abstand der beiden bereits bekannten Bildpunkte abgetragen.
- So erhält man den nächsten Punkt, von welchem aus der nächste Punkt ebenso bestimmt wird.
- Dies führt man so lange durch, bis alle Eckpunkte des Bildsechsecks bestimmt sind.
- Die Eckpunkte werden miteinander verbunden. So erhält man das Bildsechseck, welches kongruent, also deckungsgleich, zu dem Ausgangsdreieck ist. Das bedeutet, dass zum Beispiel der Abstand benachbarter Punkte zueinander immer gleich groß ist.
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Entscheide, wodurch eine Parallelverschiebung gegeben ist.
TippsStelle dich mal in die Sonne und schaue dir den Schatten an, den du wirfst.
Wie sieht dieser Schatten aus, insbesondere wenn die Sonne schon sehr tief steht?
Bei einer Parallelverschiebung bleibt die Anordnung von Punkten erhalten.
Was passiert, wenn das Auto am Ende der zurückgelegten Strecke dreht?
Bei einer Parallelverschiebung wird
- in die gleiche Richtung und
- um die gleiche Länge
Lösung- Wenn ein Auto sich auf einer geraden Strecke bewegt und dann stehen beibt, so ist dies die Situation einer Parallelverschiebung. Anders wäre dies, wenn das Auto sich am Ende der Strecke drehen würde.
- Der Schatten, den eine Person wirft, sieht je nach Stand der Sonne mehr oder weniger länger aus als die Person, die Ausgangsfigur. Also sind Bild und Ausgangsfigur nicht kongruent und deckungsgleich.
- Wenn Clara das Mathebuch nur entlang einer Linie verschieben würde, wäre dies eine Parallelverschiebung. Da sie das Buch umdreht, ändert sich die Anordnung der Eckpunkte des Buches. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.
- Emils maßstabgetreue Modellierung der Schule kann keine Parallelverschiebung sein. Dafür müsste die Modell-Schule so groß sein wie in der Realität. So klein ist eine Schule aber nicht. Das Bild der Schule und die Schule selbst sind also nicht deckungsgleich.
- Die gesamte Gruppe geht zwar in die gleiche Richtung, jedoch gehen einige ein wenig weiter. Im Falle einer Parallelverschiebung werden alle Punkte immer um die gleiche Länge - die des Verschiebungspfeils - verschoben. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.
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Danke
Ich finde ist gut erklärt aber es gibt auch Verschiebungspfeile die auf der Figur liegen deswegen hab ich im 24 Stunden Chat gefragt schade das, dass nicht erwähnt wurde weil ich das jetzt nicht verstehe:( und wir eine Arbeit schreiben deswegen warte ich so schnell wie möglich auf einer Antwort:(
supiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii :)
@PoppyBlautzik:
da es um eine PARALLELverschiebung geht, müssen alle Verschiebungslinien zueinander parallel sein.
Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!
warum ist es eigentlich parallel