Parallelverschiebung von Figuren – Gemischte Variante

Parallelverschiebung von Figuren – Gemischte Variante Übung

• Ergänze, wie die Parallelverschiebung von Figuren funktioniert.

  Tipps

  Wohin soll eine Figur verschoben werden?

  Es muss eine Richtung der Verschiebung vorgegeben sein.

  Wie weit soll eine Figur verschoben werden?

  Beim Verschieben eines Dreiecks reicht es, die Eckpunkte zu verschieben und diese dann miteinander zu verbinden.

  Lösung

  Wenn zum Beispiel ein Dreieck parallel verschoben werden soll, genügt es, die Eckpunkte parallel zu verschieben. Indem man nun die neu entstandenen Bildpunkte sinnvoll miteinander verbindet, erhältst du so ein neues Dreieck, das Bilddreieck.

  Um zu wissen, wohin und wie weit verschoben werden soll, benötigt man einen Verschiebungspfeil, also

  • dessen Richtung und
  • dessen Länge.

  Eine Parallelverschiebung kann

  • mit dem Geodreieck oder
  • mit dem Zirkel und Lineal

  durchgeführt werden.

• Beschreibe, wie ein Dreieck parallel verschoben wird.

  Tipps

  Hier ist die Parallelverschiebung von $A$ zu sehen.

  Lege senkrecht an den Verschiebungspfeil ein Geodreieck an.

  Lege an das Geodreieck ein Lineal an und verschiebe das Geodreieck in den Punkt $A$.

  Nun kannst du den parallelen Strahl zeichnen.

  Messe mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeil.

  Lösung

  Zur Parallelverschiebung eines Dreiecks wird jeder der drei Eckpunkte parallel verschoben.

  • Man legt ein Geodreieck senkrecht an den Verschiebungspfeil an und an das Geodreieck ein Lineal.
  • Nun wird das Geodreieck in den Punkte $A$ verschoben und ein Strahl gezeichnet, der parallel zu dem Verschiebungspfeil liegt.
  • Mit einem Zirkel wird die Länge des Verschiebungspfeil gemessen und diese Länge auf dem Strahl abgetragen.
  • Man erhält so den Bildpunkt $A'$.
  • Genauso können die Bildpunkte $B'$ von $B$ und $C'$ von $C$ gezeichnet werden.
  • Die Bildpunkte werden zu dem Bilddreieck verbunden.

• Begründe, ob eine Parallelverschiebung vorliegt oder nicht.

  Tipps

  Bei der Parallelverschiebung einer Figur wird jeder Punkt parallel verschoben.

  Die Anordnung der Punkte bleibt gleich.

  Bei der Parallelverschiebung sind

  • die Länge und
  • die Richtung

  des Verschiebungspfeils wichtig.

  Die durch Parallelverschiebung entstandene Bildfigur ist kongruent zu der Ausgangsfigur. Kongruent bedeutet deckungsgleich.

  Wenn du beide Figuren ausschneidest, so kannst du sie übereinanderlegen und die eine Figur deckt die andere ab und umgekehrt.

  Lösung

  Beim ersten Bild liegt eine Parallelverschiebung vor.

  • Bei einer Parallelverschiebung wird eine Figur in der Richtung des Verschiebungspfeils um dessen Länge verschoben. Dies ist bei dem zweiten Bild nicht der Fall. Das Bilddreieck müsste durch Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung entstanden sein. Es liegt also keine Parallelverschiebung gemäß dem Verschiebungspfeil vor.
  • Bei einer Parallelverschiebung einer Figur wird jeder einzelne Eckpunkt parallel verschoben. Die Anordnung der Punkte bleibt gleich. Dies ist im dritten Bild nicht der Fall. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.
  • Die Figur und die Bildfigur sind bei einer Parallelverschiebung kongruent, das heißt deckungsgleich. Im vierten Bild sind das Ausgangsdreieck und das Bilddreieck nicht deckungsgleich. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.

• Beschreibe die Parallelverschiebung eines Kreises.

  Tipps

  Wenn der Kreis parallel verschoben wird, entsteht ein deckungsgleicher Bildkreis.

  Das bedeutet insbesondere, dass die Radien der beiden Kreise identisch sind.

  Ein Kreis ist gegeben durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius.

  Lösung

  Es genügt, den Mittelpunkt des Kreises parallel zu verschieben, da ein Kreis durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius festgelegt ist.

  Der Ausgangskreis und der Bildkreis sind deckungsgleich. Somit stimmen die Radien überein.

  Um den Bildpunkt $M'$ des Mittelpunktes kann dann mit dem gegebenen Radius der Bildkreis gezeichnet werden.

  Wie wird der Bildpunkt konstruiert?

  • Man trägt einen zum Verschiebungspfeil parallelen Strahl von dem Mittelpunkt $M$ des Kreises ausgehend ab.
  • Mit dem Zirkel kann die Länge des Verschiebungspfeils bestimmt werden und
  • auf dem Strahl abgetragen werden.
  • Der so erhaltene Schnittpunkt ist der Bildpunkt $M'$.

• Gib an, wie die Parallelverschiebung eines regelmäßigen Sechsecks vereinfacht werden kann.

  Tipps

  Parallelverschiebung bedeutet etwas salopp formuliert: Du nimmst eine Figur, schneidest diese aus und verschiebst sie in eine bestimmte Richtung.

  Die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks liegen auf einem Kreis.

  • Dieser Kreis hat als Mittelpunkt den Mittelpunkt des Sechsecks.
  • Der Radius dieses Kreises ist der Abstand des Mittelpunktes zu einem beliebigen Eckpunkt.

  Dieser Kreis wird durch die Eckpunkte in sechs gleich große Kreisstücke geteilt.

  Lösung

  Parallelverschiebungen von Figuren können durchgeführt werden, indem die Eckpunkte parallel verschoben werden. Das heißt, bei der Verschiebung eines regelmäßigen Sechsecks müssten die sechs Eckpunkte parallel verschoben werden.

  Geht das auch einfacher?

  Ja! Es werden zwei benachbarte Punkte parallel verschoben. Mit diesen beiden Punkten kann mit Hilfe eines Zirkels der Mittelpunkt des Sechsecks konstruiert werden.

  Alle Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks liegen auf einem Kreis um diesen Mittelpunkt. Dieser Kreis hat als Radius den Abstand eines beliebigen Eckpunktes zu dem Mittelpunkt.

  Von einem der bereits gezeichneten Bildpunkte aus können alle übrigen Eckpunkte des Bildsechsecks konstruiert werden:

  • Mit dem Zirkel wird im oder gegen den Uhrzeigersinn immer wieder der Abstand der beiden bereits bekannten Bildpunkte abgetragen.
  • So erhält man den nächsten Punkt, von welchem aus der nächste Punkt ebenso bestimmt wird.
  • Dies führt man so lange durch, bis alle Eckpunkte des Bildsechsecks bestimmt sind.
  • Die Eckpunkte werden miteinander verbunden. So erhält man das Bildsechseck, welches kongruent, also deckungsgleich, zu dem Ausgangsdreieck ist. Das bedeutet, dass zum Beispiel der Abstand benachbarter Punkte zueinander immer gleich groß ist.

• Entscheide, wodurch eine Parallelverschiebung gegeben ist.

  Tipps

  Stelle dich mal in die Sonne und schaue dir den Schatten an, den du wirfst.

  Wie sieht dieser Schatten aus, insbesondere wenn die Sonne schon sehr tief steht?

  Bei einer Parallelverschiebung bleibt die Anordnung von Punkten erhalten.

  Was passiert, wenn das Auto am Ende der zurückgelegten Strecke dreht?

  Bei einer Parallelverschiebung wird

  • in die gleiche Richtung und
  • um die gleiche Länge

  des Verschiebungspfeils verschoben.

  Lösung

  • Wenn ein Auto sich auf einer geraden Strecke bewegt und dann stehen beibt, so ist dies die Situation einer Parallelverschiebung. Anders wäre dies, wenn das Auto sich am Ende der Strecke drehen würde.
  • Der Schatten, den eine Person wirft, sieht je nach Stand der Sonne mehr oder weniger länger aus als die Person, die Ausgangsfigur. Also sind Bild und Ausgangsfigur nicht kongruent und deckungsgleich.
  • Wenn Clara das Mathebuch nur entlang einer Linie verschieben würde, wäre dies eine Parallelverschiebung. Da sie das Buch umdreht, ändert sich die Anordnung der Eckpunkte des Buches. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.
  • Emils maßstabgetreue Modellierung der Schule kann keine Parallelverschiebung sein. Dafür müsste die Modell-Schule so groß sein wie in der Realität. So klein ist eine Schule aber nicht. Das Bild der Schule und die Schule selbst sind also nicht deckungsgleich.
  • Die gesamte Gruppe geht zwar in die gleiche Richtung, jedoch gehen einige ein wenig weiter. Im Falle einer Parallelverschiebung werden alle Punkte immer um die gleiche Länge - die des Verschiebungspfeils - verschoben. Es liegt also keine Parallelverschiebung vor.