Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz

Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz Übung

• Beschreibe die Oberfläche eines Quaders.

  Tipps

  Kongruente Flächen stehen sich in einem Quader gegenüber.

  Überlege dir, was für Eigenschaften kongruente Fläche besitzen. Kannst du die Eigenschaften auf Flächen des Quaders übertragen?

  Lösung

  Kongruent bedeutet deckungsgleich. Zwei Flächen sind dann kongruent zueinander, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen ineinander überführt werden können. Die Flächeninhalte kongruenter Flächen sind gleich.

  In einem Quader stehen sich kongruente Flächen jeweils gegenüber. So sind rechte und linke Fläche, Vorder- und Hinterfläche sowie Grund- und Deckfläche jeweils kongruent zueinander.

• Beschreibe die einzelnen Schritte, die zur Herleitung der Oberflächenformel eines Quaders führen.

  Tipps

  Versuche dich an das Körpernetz zu erinnern. Aus welchen Flächen besteht ein Quader?

  Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks?

  Achte darauf, dass die einzelnen Flächen des Quaders unterschiedliche Kanten besitzen. Orientiere dich dabei an der Skizze.

  Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, werden die einzelnen Terme addiert, das heißt, es wir mit „plus“ gerechnet.

  Lösung

  Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe der Flächeninhalte aller einzelnen Flächenstücke des Quaders und wird oft mit „O“ bezeichnet. Da es sich um einen Flächeninhalt handelt, kennzeichnen wir es hier mit „A“.

  Die einzelnen Flächen eines Quaders sind rechteckig und heißen rechte und linke Fläche, Vorder- und Hinterfläche sowie Grund- und Deckfläche.

  Rechte und linke Fläche, Vorder- und Hinterseite sowie Grund- und Deckfläche sind jeweils kongruent und haben daher jeweils den gleichen Flächeninhalt.

  Der Flächeninhalt der rechten sowie der linken Fläche wird durch Breite mal Höhe des Rechtecks berechnet. Also $A=b \cdot c$.

  Der Flächeninhalt der Vorder- sowie der Hinterfläche wird durch Länge mal Höhe des Rechtecks berechnet. Also $A=a \cdot c$.

  Der Flächeninhalt der Grund- sowie der Deckfläche wird durch Länge mal Breite des Rechtecks berechnet. Also $A=a \cdot b$.

  Der Flächeninhalt der Oberfläche O ergibt sich, wenn man alle Terme addiert:

  $A=b \cdot c+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot c+a \cdot b+a \cdot b$.

  Die gleichen Summanden kann man zusammenfassen und man erhält:

  $A=2~b \cdot c+2~a \cdot c+2~a \cdot b$.

  Man kann nun die Malpunkte weglassen und stellt die Formel um:

  $A=2ab+2ac+2bc$.

  Um die Formel noch ein bisschen schöner zu machen, kann man das Distributivgesetz anwenden und die 2 ausklammern:

  $A=2(ab+ac+bc)$.

  Somit hat man eine schöne Formel für die Oberfläche eines Quaders hergeleitet.

• Berechne die Oberfläche einer Papierschachtel.

  Tipps

  Überlege, was für ein geometrischer Körper Lenas Schachtel ist?

  Die Formel für die Oberfläche eines Quaders setzt sich aus der Summe der Flächen zusammen, aus denen das Körpernetz eines Quaders besteht.

  Die jeweils gegenüberliegenden Flächen sind kongruent und haben den gleichen Flächeninhalt.

  Lösung

  Lenas Schachtel ist ein Quader. Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, benutzt man die Formel für die Oberfläche eines Quaders. Diese lautet: $A=2ab+2ac+2bc $. Wenn man das Distributivgesetz anwendet, lässt sie sich auch so formulieren: $A=2(ab+ac+bc)$. Die Formel setzt sich aus der Summe der einzelnen Flächen des Körpernetzes eines Quaders zusammen.

  Lenas Schachtel soll die Kantenlänge $a=5~cm$, die Kantenbreite $b=4~cm$ und die Kantenhöhe $c=3~cm$ haben.

  Durch Einsetzen der Werte in die Formel erhält man die Oberfläche der Schachtel:

  $\begin{align} A &=2 \cdot 5~cm \cdot 4~cm+2 \cdot 5~cm \cdot 3~cm+2 \cdot 4~cm \cdot 3~cm \\ &=40~cm^2 + 30~cm^2 + 24~cm^2 \\ &=94~cm^2 \end{align}$

  Die Oberfläche beträgt $94~cm^2$.

  Lena benötigt also $94~cm^2$ Papier für die Schachtel.

• Berechne die Oberfläche der Holzkiste.

  Tipps

  Überlege, wie die Oberflächenformel eines Würfels lautet. Die Oberflächenformel für einen Quader lautet: $A=2(ab+ac+bc)$.

  In einem Würfel sind alle Kanten gleich groß. Somit ist $a=b=c$.

  Die Einheit der Oberfläche wird immer in Quadrat angegeben.

  Lösung

  Um zu berechnen, wie viel Farbe Tim benötigt, muss er die Oberfläche der Kiste bestimmen.

  Die Holzkiste ist ein Würfel, da alle Kanten gleich lang sind und damit eine Sonderform eines Quaders. Die Oberflächenformel eines Würfels lautet $A=6a^2$.

  Die Kantenlänge der Holzkiste ist $a = 0,8~m$. Also ist die Oberfläche der Kiste:

  $\begin{align} A =6a^2= 6 \cdot (0,8~m)^2 =6 \cdot 0,64~m^2 =3,84~m^2 \end{align}$

  Die Oberfläche der Holzkiste mit der Kantenlänge $a = 0,8~m$ beträgt $3,84~m^2$.

• Nenne vorteilhafte Bezeichnungen für Länge, Breite und Höhe eines Quaders.

  Tipps

  Überlege dir, welche Bezeichnungen du bereits von einem Rechteck kennst.

  Wir benutzen nicht einfach die Anfangsbuchstaben

  Lösung

  Wir benutzen a,b und c für Länge, Breite und Höhe, da man so einfacher beliebige Kanten und ihre Längen bezeichnen kann.

  Dabei wählen wir für die Länge a statt l und für die Höhe c statt h. Die Breite bezeichnen wir weiterhin mit b.

• Berechne die Oberfläche des Gittergeheges.

  Tipps

  Um zu bestimmen, wie viel Gitter Emil benötigt, muss er die Oberfläche des Geheges berechnen. Beachte, dass die Grundfläche nicht mit Gitter ausgelegt werden muss.

  Die Oberflächenformel eines Quaders lautet $A=2(ab+ac+bc)$.

  Um die benötigte Gitterfläche auszurechnen, kann man die Oberfläche des Geheges mit den angegebenen Kantenlängen ausrechnen und anschließend die Grundfläche von dem Ergebnis abziehen.

  Lösung

  Das Gitter soll die rechte und linke Fläche, die Vorder- und Hinterfläche und die Deckfläche des Geheges umspannen. Die Grundfläche bleibt frei.

  Um nun auszurechnen, wie viel Gitter Emil benötigt, kann man die Oberfläche des Geheges mit den Kantenlängen $a = 1,50~m$, $b = 1~m$ und $c = 0,50~m$ bestimmen und anschließend die Grundfläche von dem Ergebnis abziehen:

  $\begin{align} O &= 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c\\ &= 2 \cdot 1,50~m \cdot 1~m+2 \cdot 1,5~m \cdot 0,50~m+2 \cdot 1~m \cdot 0,5~m \\ &=3~m^2 + 1,5~m^2 + 1~m^2 \\ &=5,5~m^2 \\ \end{align}$

  Die Oberfläche des Geheges beträgt $5,5~m^2$.

  Die benötigte Gitterfläche können wir mit einem A bezeichnen. Wir erhalten sie, wenn wir die Grundfläche G des Geheges von der Oberfläche O des Geheges abziehen:

  $\begin{align} A &=O-G =O-a\cdot b =5,5~m^2-(1,5~m \cdot 1~m) =5,5~m^2-1,5~m^2 =4~m^2 \end{align}$

  Emil benötigt für sein Gehege $4~m^2$ Gitter, um es vorne, hinten, auf beiden Seiten und oben abzudecken.