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Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz

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Die Autor/-innen
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André Otto
Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Beschreibung Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz

Herzlich Willkommen zum Video mit dem Titel „Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz “. Du kennst bereits die Eigenschaften eines Quaders und weißt wie sein Körpernetz aussieht. Du lernst im diesem Video die Oberfläche von Würfeln und Quadern zu berechnen. Egal, welches Körpernetz man für einen Quader auch zeichnet, es besteht stets aus den gleichen 6 Rechtecken. Der gesamte Flächeninhalt dieser Rechtecke ist die Oberfläche des Quaders. Im Video wird die Berechnung an einem Beispiel gezeigt. Die Formeln für das Quader und den Würfel werden hergeleitet.

Transkript Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz

Hallo und herzlich willkommen! Dieses Video heißt Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz. Ihr wisst schon, welche Eigenschaften ein Quader besitzt und wie sein Netz aufgebaut ist. Nachher könnt ihr die Oberfläche von Quader und Würfel berechnen. Der Film besteht aus 5 Abschnitten: 1. Bezeichnungen für Länge, Breite und Höhe 2. Das Körpernetz eines Quaders 3. Die Oberfläche 4. Formel für die Oberfläche und 5. Der Würfel als spezieller Quader   1. Bezeichnungen für Länge, Breite und Höhe Ein Quader ist gekennzeichnet durch Länge, Breite und Höhe. Man kann nun die Länge mit l bezeichnen, die Breite mit b und die Höhe mit h. Vorteilhafter aber ist es allgemeinere Buchstaben zu verwenden, sowie a, b und c. Wir benutzen a, b und c, da man so einfacher beliebige Kanten und ihre Längen bezeichnen kann. 2. Das Körpernetz eines Quaders Ein Quader wird begrenzt durch die rechte Fläche, die linke Fläche, die Deckfläche, die Vorderfläche, die Hinterfläche und die Grundfläche. Das ist ein mögliches Körpernetz und das ist ein Zweites und hier haben wir ein drittes Körpernetz eines Quaders. Wir stellen somit fest: Jedes Körpernetz eines Quaders besteht aus 6 Rechtecken, und zwar aus der rechten Seite, der linken Seite, der Vorderseite, der Hinterseite, der Grundseite und der Deckseite. 3. Die Oberfläche Es geht hier um den Flächeninhalt. Die Oberfläche wird häufig mit O bezeichnet. Das finde ich nicht gut, da es zu Verwechslungen kommen kann. Ich werde das Symbol für Flächeninhalt A verwenden. Das sind die Rechtecke, deren gesamten Flächeninhalt wir zu berechnen haben. Ich notiere die entsprechenden Seitenlängen für unser Model. Für die rechte Seite 4 cm und 3 cm. Wir berechnen den Flächeninhalt für dieses Rechteck 4×3=12 cm². Die linke Fläche ist zur rechten Fläche kongruent. Auch hier ist der Flächeninhalt 4×3=12 cm². Die Seitenlängen der Grundfläche betragen 7 cm und 4 cm. Für den Flächeninhalt erhalten wir 7×4=28 cm². Die Deckfläche ist zur Grundfläche kongruent. Daher wird hier die gleiche Rechnung durchgeführt. Die Vorderfläche hat Seitenlängen von 7 cm und 3 cm. Für den Flächeninhalt erhalten wir 7×3=21 cm². Die Hinterfläche ist kongruent zur Vorderfläche. Daher ist auch die Rechnung die gleiche. Welche Flächeninhalte für die Begrenzungsflächen des Quaders haben wir erhalten? Wir müssen nun diese Werte addieren. A=12cm²+28cm²+21cm²+12cm²+28cm²+21cm². Wir erhalten 122 cm². Das ist die Oberfläche des Quaders. Diese Rechnerei ist etwas mühsam, daher gehen wir über zum nächsten Punkt. 4. Formel für die Oberfläche Wir werden nun die Seitenlängen durch die entsprechenden Symbole für Länge, Breite und Höhe ersetzen. b ist die Breite, hier rot gekennzeichnet, c ist die Höhe, grün gekennzeichnet und a ist die Länge, sie wird blau gekennzeichnet. Der Flächeninhalt der rechten Fläche wird durch b×c berechnet. Genauso geschieht es mit der linken Fläche. Der Flächeninhalt der Grundfläche wird durch a×b berechnet und den gleichen Flächeninhalt erhalten wir für die Deckfläche. Der Flächeninhalt für die Vorderfläche wird durch a×c berechnet und genauso geschieht es mit der kongruenten Hinterfläche. Der Flächeninhalt A ergibt sich, wenn wir alle 6 Terme miteinander addieren. b×c liegt doppelt vor und wir fassen zusammen. Auch a×b und a×c sind jeweils 2 × vorhanden. A ist somit 2b×c+2a×b+2a×c. Wir lassen die Malpunkte weg und stellen die Summanden um, A=2ab+2ac+2bc. Jetzt kommt etwas vor allem für die fünfte Klasse sehr, sehr Schweres. Wir haben in jedem der Summanden eine 2 zu stehen 2ab+2ac+2bc. Man kann dann die 2 nach vorne schreiben, eine Klammer öffnen und die Ausdrücke in die Klammer schreiben, also 2(ab+ac+bc). Damit haben wir eine schöne Formel für die Oberfläche des Quaders hergeleitet. 5. Der Würfel als spezieller Quader Der Würfel ist ein angenehmer Zeitgenosse. Bei ihm sind nämlich Länge, Breite und Höhe gleich, a=b=c. Nun schreiben wir die Formel für die Oberfläche des Quaders auf. Anstelle von b und c setzen wir nun a ein. Wir fassen die 3 Terme von jeweils 2a×a zusammen und erhalten A=6a×a. Für a×a können wir a² schreiben, das wissen wir. Somit erhalten wir für die Oberfläche des Würfels A=6a². Wir wollen uns nun noch an die Formel für die Oberfläche des Quaders erinnern, A=2ab+2ac+2bc oder ausgeklammert A=2(ab+ac+bc). Ich finde das sind schöne Ergebnisse und wir haben gut gearbeitet. Vielleicht hattet ihr ein wenig Spaß und habt auch etwas gelernt. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

42 Kommentare

42 Kommentare
  1. Danke erklärt alles sehr gut:)

    Von Evelina7815, vor 10 Monaten
  2. Hallo Tankuehn, kannst du genauer sagen, was dir an diesem Video nicht gefallen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 10 Monaten
  3. Schlecht ist net gut😐😕😒

    Von Tankuehn, vor 10 Monaten
  4. Schu schnegge gut und dir 🐌

    Von Tankuehn, vor 10 Monaten
  5. schu schnecke wie gehts

    Von Aganso, vor 10 Monaten
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Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Oberfläche eines Quaders.

    Tipps

    Kongruente Flächen stehen sich in einem Quader gegenüber.

    Überlege dir, was für Eigenschaften kongruente Fläche besitzen. Kannst du die Eigenschaften auf Flächen des Quaders übertragen?

    Lösung

    Kongruent bedeutet deckungsgleich. Zwei Flächen sind dann kongruent zueinander, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen ineinander überführt werden können. Die Flächeninhalte kongruenter Flächen sind gleich.

    In einem Quader stehen sich kongruente Flächen jeweils gegenüber. So sind rechte und linke Fläche, Vorder- und Hinterfläche sowie Grund- und Deckfläche jeweils kongruent zueinander.

  • Beschreibe die einzelnen Schritte, die zur Herleitung der Oberflächenformel eines Quaders führen.

    Tipps

    Versuche dich an das Körpernetz zu erinnern. Aus welchen Flächen besteht ein Quader?

    Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks?

    Achte darauf, dass die einzelnen Flächen des Quaders unterschiedliche Kanten besitzen. Orientiere dich dabei an der Skizze.

    Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, werden die einzelnen Terme addiert, das heißt, es wir mit „plus“ gerechnet.

    Lösung

    Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe der Flächeninhalte aller einzelnen Flächenstücke des Quaders und wird oft mit „O“ bezeichnet. Da es sich um einen Flächeninhalt handelt, kennzeichnen wir es hier mit „A“.

    Die einzelnen Flächen eines Quaders sind rechteckig und heißen rechte und linke Fläche, Vorder- und Hinterfläche sowie Grund- und Deckfläche.

    Rechte und linke Fläche, Vorder- und Hinterseite sowie Grund- und Deckfläche sind jeweils kongruent und haben daher jeweils den gleichen Flächeninhalt.

    Der Flächeninhalt der rechten sowie der linken Fläche wird durch Breite mal Höhe des Rechtecks berechnet. Also $A=b \cdot c$.

    Der Flächeninhalt der Vorder- sowie der Hinterfläche wird durch Länge mal Höhe des Rechtecks berechnet. Also $A=a \cdot c$.

    Der Flächeninhalt der Grund- sowie der Deckfläche wird durch Länge mal Breite des Rechtecks berechnet. Also $A=a \cdot b$.

    Der Flächeninhalt der Oberfläche O ergibt sich, wenn man alle Terme addiert:

    $A=b \cdot c+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot c+a \cdot b+a \cdot b$.

    Die gleichen Summanden kann man zusammenfassen und man erhält:

    $A=2~b \cdot c+2~a \cdot c+2~a \cdot b$.

    Man kann nun die Malpunkte weglassen und stellt die Formel um:

    $A=2ab+2ac+2bc$.

    Um die Formel noch ein bisschen schöner zu machen, kann man das Distributivgesetz anwenden und die 2 ausklammern:

    $A=2(ab+ac+bc)$.

    Somit hat man eine schöne Formel für die Oberfläche eines Quaders hergeleitet.

  • Berechne die Oberfläche einer Papierschachtel.

    Tipps

    Überlege, was für ein geometrischer Körper Lenas Schachtel ist?

    Die Formel für die Oberfläche eines Quaders setzt sich aus der Summe der Flächen zusammen, aus denen das Körpernetz eines Quaders besteht.

    Die jeweils gegenüberliegenden Flächen sind kongruent und haben den gleichen Flächeninhalt.

    Lösung

    Lenas Schachtel ist ein Quader. Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, benutzt man die Formel für die Oberfläche eines Quaders. Diese lautet: $A=2ab+2ac+2bc $. Wenn man das Distributivgesetz anwendet, lässt sie sich auch so formulieren: $A=2(ab+ac+bc)$. Die Formel setzt sich aus der Summe der einzelnen Flächen des Körpernetzes eines Quaders zusammen.

    Lenas Schachtel soll die Kantenlänge $a=5~cm$, die Kantenbreite $b=4~cm$ und die Kantenhöhe $c=3~cm$ haben.

    Durch Einsetzen der Werte in die Formel erhält man die Oberfläche der Schachtel:

    $\begin{align} A &=2 \cdot 5~cm \cdot 4~cm+2 \cdot 5~cm \cdot 3~cm+2 \cdot 4~cm \cdot 3~cm \\ &=40~cm^2 + 30~cm^2 + 24~cm^2 \\ &=94~cm^2 \end{align}$

    Die Oberfläche beträgt $94~cm^2$.

    Lena benötigt also $94~cm^2$ Papier für die Schachtel.

  • Berechne die Oberfläche der Holzkiste.

    Tipps

    Überlege, wie die Oberflächenformel eines Würfels lautet. Die Oberflächenformel für einen Quader lautet: $A=2(ab+ac+bc)$.

    In einem Würfel sind alle Kanten gleich groß. Somit ist $a=b=c$.

    Die Einheit der Oberfläche wird immer in Quadrat angegeben.

    Lösung

    Um zu berechnen, wie viel Farbe Tim benötigt, muss er die Oberfläche der Kiste bestimmen.

    Die Holzkiste ist ein Würfel, da alle Kanten gleich lang sind und damit eine Sonderform eines Quaders. Die Oberflächenformel eines Würfels lautet $A=6a^2$.

    Die Kantenlänge der Holzkiste ist $a = 0,8~m$. Also ist die Oberfläche der Kiste:

    $\begin{align} A =6a^2= 6 \cdot (0,8~m)^2 =6 \cdot 0,64~m^2 =3,84~m^2 \end{align}$

    Die Oberfläche der Holzkiste mit der Kantenlänge $a = 0,8~m$ beträgt $3,84~m^2$.

  • Nenne vorteilhafte Bezeichnungen für Länge, Breite und Höhe eines Quaders.

    Tipps

    Überlege dir, welche Bezeichnungen du bereits von einem Rechteck kennst.

    Wir benutzen nicht einfach die Anfangsbuchstaben

    Lösung

    Wir benutzen a,b und c für Länge, Breite und Höhe, da man so einfacher beliebige Kanten und ihre Längen bezeichnen kann.

    Dabei wählen wir für die Länge a statt l und für die Höhe c statt h. Die Breite bezeichnen wir weiterhin mit b.

  • Berechne die Oberfläche des Gittergeheges.

    Tipps

    Um zu bestimmen, wie viel Gitter Emil benötigt, muss er die Oberfläche des Geheges berechnen. Beachte, dass die Grundfläche nicht mit Gitter ausgelegt werden muss.

    Die Oberflächenformel eines Quaders lautet $A=2(ab+ac+bc)$.

    Um die benötigte Gitterfläche auszurechnen, kann man die Oberfläche des Geheges mit den angegebenen Kantenlängen ausrechnen und anschließend die Grundfläche von dem Ergebnis abziehen.

    Lösung

    Das Gitter soll die rechte und linke Fläche, die Vorder- und Hinterfläche und die Deckfläche des Geheges umspannen. Die Grundfläche bleibt frei.

    Um nun auszurechnen, wie viel Gitter Emil benötigt, kann man die Oberfläche des Geheges mit den Kantenlängen $a = 1,50~m$, $b = 1~m$ und $c = 0,50~m$ bestimmen und anschließend die Grundfläche von dem Ergebnis abziehen:

    $\begin{align} O &= 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c\\ &= 2 \cdot 1,50~m \cdot 1~m+2 \cdot 1,5~m \cdot 0,50~m+2 \cdot 1~m \cdot 0,5~m \\ &=3~m^2 + 1,5~m^2 + 1~m^2 \\ &=5,5~m^2 \\ \end{align}$

    Die Oberfläche des Geheges beträgt $5,5~m^2$.

    Die benötigte Gitterfläche können wir mit einem A bezeichnen. Wir erhalten sie, wenn wir die Grundfläche G des Geheges von der Oberfläche O des Geheges abziehen:

    $\begin{align} A &=O-G =O-a\cdot b =5,5~m^2-(1,5~m \cdot 1~m) =5,5~m^2-1,5~m^2 =4~m^2 \end{align}$

    Emil benötigt für sein Gehege $4~m^2$ Gitter, um es vorne, hinten, auf beiden Seiten und oben abzudecken.

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