Negative Zahlen – Werte an der Zahlengeraden ablesen

Negative Zahlen – Werte an der Zahlengeraden ablesen Übung

• Gib an, welche Aussagen über die Zahlengerade korrekt sind.

  Tipps

  Geht man auf der Zahlengeraden nach rechts, werden die Zahlen größer.

  Eine Strecke besitzt einen Anfangs- und einen Endpunkt.

  Lösung

  Wir erinnern uns, dass eine Zahlengerade wie jede Gerade unendlich lang ist. Sie geht also nicht nur von 0 bis 10. Allerdings können wir aus praktischen Gründen immer nur einen Ausschnitt betrachten.

  Links von der 0 befinden sich die negativen, rechts die positiven Zahlen.

  Die Einheit einer Zahlengeraden gibt den Abstand einer markierten Zahl zur nächsten an. Dieser Abstand kann eine beliebige positive Zahl sein. Häufig wird als Abstand 1 gewählt.

  Zwischen zwei markierten Stellen befinden sich immer noch weitere Zahlen. Selbst wenn auf einer Zahlengerade nur die ganzen Zahlen eingezeichnet sind, liegen dazwischen noch die rationalen Zahlen. Und zwischen zwei rationalen Zahlen befinden sich stets unendlich viele weitere rationale Zahlen.

• Nenne die Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Zeichne die Zahlengerade auf ein Blatt Papier und beschrifte sie von Hand, wenn du den Überblick verlierst.

  Welche Zahl liegt genau zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, beispielsweise zwischen $3$ und $4$?

  Lösung

  Wir beginnen auf der Zahlengeraden bei der $0$. Der Abstand der $0$ und der $1$ beträgt vier Striche. Somit ist die Einheit unseres Zahlenstrahls $\frac14$.

  Weil sich die erste Markierung einen Strich rechts von der $-1$ befindet, können wir $-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$ rechnen..

  Auf dieselbe Weise können wir uns auch an die anderen markierten Striche wagen.

  Dabei liegt der nächste Strich schon im Bereich der positiven Zahlen, weil er rechts von der 0 liegt. Um genau zu sein, sind dies 2 Striche. Der Strich liegt also bei $0 + \frac{1}{4} + \frac14 = \frac24 = \frac12$.

  Der letzte Strich liegt bei $1 \frac{1}{4} = 1,25 = \frac54$.

• Bestimme die Temperaturen zu den jeweiligen Uhrzeiten.

  Tipps

  Wenn du die Übersicht verlierst, erstelle eine Zahlengerade.

  -5 liegt genauso weit von der 0 entfernt wie die 5.

  Lösung

  Dieser Tag hatte wirklich merkwürdige Temperaturen. Zuerst waren es -10°C um 6:30 Uhr.

  Dann war es drei Grad wärmer, also
  -10°C+3°C = -7°C um 8:00 Uhr.

  Mittags war die Temperatur so weit über 0°C wie beim Aufstehen darunter, wir drehen also das Vorzeichen um: 10°C um 12:00 Uhr.

  Beim Fußballspielen waren es dann noch 5°C mehr:
  10°C+5°C = 15°C um 15:00 Uhr.

  Bei Sonnenuntergang, abends um acht, war es schon wieder sehr kalt aber immerhin noch ein Grad wärmer als beim Aufstehen:
  -10°C + 1°C = - 9°C.

• Ordne die Zahlen ihrer Größe nach.

  Tipps

  Suche dir zunächst die kleinste Zahl heraus und verschiebe sie an den Anfang.

  Beachte den Unterschied zwischen echten und unechten Brüchen: Unechte Brüche sind auf jeden Fall größer als 1, können aber auch größer sein als andere natürliche Zahlen.

  Gemischte Brüche sind unechte Brüche und somit größer oder gleich $1$.
  $\large{1 \frac34}$ ist ein solcher gemischter Bruch. Er kann auch ausgedrückt werden durch $\large{\frac74}$.

  Lösung

  Wir suchen uns zunächst die kleinste Zahl heraus. Da wir positive und negative Zahlen vorliegen haben, betrachten wir zunächst die negativen.

  Unter den negativen Zahlen suchen wir die am weitesten links auf dem Zahlenstrahl stehende. Das ist $- 14$. Danach folgt die $- 10\frac{2}{3}$ und dann $- 2\frac{1}{2}$.

  Nun folgt die $0$, denn sie liegt genau zwischen den negativen und positiven Zahlen auf der Zahlengeraden.

  Zuletzt folgen die positiven Zahlen. Hier müssen wir aufpassen, welche der Zahlen $3\frac{1}{3}$ und $\frac{11}{3}$ kleiner und welche größer ist. Dafür ist es hilfreich, eine der beiden in das Format der anderen umzuschreiben. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:

  1) $\frac{11}{3}$ = $\frac{9}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $3\frac{2}{3}$ > $3\frac{1}{3}$.

  2) $3\frac{1}{3}$ = $\frac{9}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{10}{3}$ < $\frac{11}{3}$.

  In der Reihenfolge kommt also zunächst $3\frac{1}{3}$ und dann $\frac{11}{3}$.

• Vervollständige die Sätze über Zahlengeraden.

  Tipps

  Die Zahlen links von der Null auf der Zahlengeraden haben ein Minuszeichen. Vor den Zahlen, welche sich rechts von der Null befinden, kann ein Pluszeichen stehen. Man kann das Pluszeichen aber auch weglassen.

  Die ganzen Zahlen sind sowohl positiv als auch negativ. Für welche Art von Zahl gilt dies ebenfalls?

  Lösung

  Eine Zahlengerade ist wie jede Gerade in der Mathematik unendlich lang, da sie keinen Anfangs- und keinen Endpunkt besitzt.

  Die Null ist die einzige Zahl, die weder positiv noch negativ ist. Die Zahlen, die kleiner als Null sind, nennen wir negative Zahlen. Diejenigen, die größer sind, nennen wir positive Zahlen.

  Die ganzen Zahlen können auch als Brüche angegeben werden. Sie ergeben mit weiteren Brüchen, die zwischen diesen ganzen Zahlen liegen, die Menge der rationalen Zahlen.

• Bestimme, welcher Bruch zu welchem Zahlenstrahl gehört.

  Tipps

  Untersuche, in welchem Abstand die $0$ und die $1$ stehen.

  Der Abstand wird durch die Anzahl der Striche gemessen und entspricht der Einheit des jeweiligen Zahlenstrahls.

  Wenn du den Überblick verlierst, nimm dir ein Blatt Papier und zeichne dir die Zahlengerade auf.

  Die Einheit muss nicht zwangsläufig eine natürliche Zahl sein. Auch rationale Zahlen sind als Einheit möglich.

  Lösung

  Am Zahlenstrahl kann man die Position einer Zahl zeigen.

  Der Bruch, der zum Zahlenstrahl rechts gehört, ist $-\frac{5}{3}$. Das erkennen wir, wenn wir den Nenner ansehen. Dieser ist $3$ und tatsächlich ist die Einheit des Zahlenstrahls auch $\frac{1}{3}$.

  Wir gehen auf dem Zahlenstrahl zwei Einheiten von der $-1$ nach links, also $-1 - \frac13 - \frac13 = -1 - \frac{2}{3} = - 1 \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$.

  Genau so kannst du auch bei denen anderen Zuordnungen vorgehen.