Negative Zahlen (Übungsvideo 1)

Negative Zahlen (Übungsvideo 1) Übung

• Benenne die Zahlen auf der Zahlengerade.

  Tipps

  Links von der Null stehen die negativen Zahlen und rechts von der Null die positiven Zahlen.

  Wenn du Schwierigkeiten hast, die Brüche zu markieren, forme sie zu Dezimalzahlen um.

  Lösung

  Damit wir Zahlen auf der Zahlengerade markieren können, müssen wir uns noch einmal mit den Eigenschaften der Zahlengerade auseinandersetzen.

  Eine Zahlengerade hat kein Anfang und kein Ende. Links von der Null stehen die negativen Zahlen und rechts von der Null die positiven Zahlen.

  Kommen wir nun zum Markieren:

  -3,4 liegt zwischen -3 und -4 und zwar fast mittig zwischen den beiden Zahlen, aber ein Stückchen weiter an der -3. Wenn man die Zahl ganz genau einzeichnen wollen würde, müsste man mit Lineal arbeiten. Wenn der Abstand von der Null zur Eins, von der Eins zur Zwei, usw. immer genau einen Zentimeter beträgt, müssten wir die -3,4 bei genau 3,4 Zentimeter links von der Null markieren.

  Die zweite Zahl, die wir markieren können, ist der Bruch $-\frac{7}{4}$. Wenn wir den Bruch als Dezimalzahl schreiben wollen, haben wir -1,75. Diese Zahl können wir genau mittig zwischen der -1,5 und -2 markieren.

  $\frac{1}{2}$ ist 0,5. 0,5 liegt mittig zwischen 0 und 1.

  $\frac{7}{4}$ ist die Gegenzahl von $-\frac{7}{4}$. Wir wissen, dass die Gegenzahl den gleichen Abstand zur Null der ursprünglichen Zahl besitzt. Somit lässt sich die Zahl einzeichnen.

  In die letzte offene Lücke gehört schließlich die 3,4. Diese ist wieder eine Gegenzahl zur -3,4. Wir können die Zahl 0,1 Längeneinheiten links von der 3,5 einzeichnen, da 3,4 kleiner als 3,5 ist.

• Bestimme die Koordinaten der angegebenen Punkte im Koordinatensystem.

  Tipps

  Die Lage eines Punktes im Koordinatensystem kann eindeutig durch die x- und y-Koordinate beschrieben werden.

  Um einen Punkt in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, gehen wir zunächst den Wert der x-Koordinate entlang der x-Achse und danach den Wert der y-Koordinate parallel zur y-Achse.

  Beispiel: Um den Punkt $(1|-5)$ in das Koordinatensystem einzuzeichnen bzw. zu markieren, müssen wir eine Längeneinheit auf der x-Achse nach rechts gehen und dann 5 Längeneinheiten parallel zur y-Achse nach unten gehen.

  Lösung

  Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengerade, die senkrecht zueinander stehen und sich am jeweiligen Nullpunkt schneiden. Die Lage eines Punktes im Koordinatensystem kann eindeutig durch die x- und y-Koordinate beschrieben werden. Wir schauen uns nun die Punkte nacheinander an:

  • Um den Punkt $A (3|-4)$ in das Koordinatensystem einzuzeichnen bzw. zu markieren, müssen wir drei Längeneinheiten auf der x-Achse nach rechts gehen und dann vier Längeneinheiten parallel zur y-Achse nach unten gehen.

  • Der Punkt $B (-2|5)$ liegt zwei Einheiten auf der x-Achse links von der Null und dann fünf Einheiten parallel zur y-Achse nach oben.

  • Um den Punkt $P (1|-3)$ in das Koordinatensystem einzuzeichnen, gehen wir eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten.

  • $Q (-4|2)$ liegt vier Einheiten links von der Null entlang der x-Achse und zwei Einheiten parallel zur y-Achse nach oben.

  • Der Punkt $R (-3|-4)$ hat sowohl eine negative x- als auch eine negative y-Koordinate. Das bedeutet, dass wir drei Einheiten nach links vom Ursprung und vier Einheiten nach unten gehen müssen.

  Merke: Die y-Achse verläuft senkrecht von oben nach unten. Die x-Achse verläuft waagerecht von links nach rechts.

• Ermittle die Zahlen auf der Zahlengerade.

  Tipps

  Zwei graue gestrichelte Linien sind jeweils eine Einheit voneinander entfernt. Das Raster im Hintergrund gibt dir eine zusätzliche Hilfe.

  Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengerade, desto kleiner ist die Zahl, je weiter rechts, desto größer.

  Echte Brüche haben in ihrer Dezimalzahldarstellung eine 5 als Nachkommastelle.

  Lösung

  In dieser Aufgabe müssen wir markierte Zahlen auf einer Zahlengerade angeben.

  Wir sehen einen Ausschnitt einer Zahlengerade von -6 bis 6. Zwei graue gestrichelte Linien sind jeweils eine Einheit voneinander entfernt. Das Raster im Hintergrund gibt dir eine zusätzliche Hilfe.

  Folgende Zahlen sind markiert: (von links nach rechts)

  -6; -3,5; -0,5; 0; 4

  Auf einer Zahlengeraden können beliebige Punkte markiert werden. Wir können Brüche, Dezimalzahlen oder auch ganze Zahlen markieren.

  Links von der Null befinden sich die negativen Zahlen, also die Zahlen, die kleiner als Null sind. Je weiter links sich eine Zahl befindet, desto kleiner ist sie.

  Rechts von der Null liegen die positiven Zahlen, also die Zahlen, die größer als Null sind. Je weiter rechts sich eine Zahl auf der Zahlengerade befindet, desto größer ist die Zahl.

• Bestimme die Koordinaten der Punkte im Koordinatensystem.

  Tipps

  Um die Koordinaten eines Punktes zu bestimmen, müssen wir uns überlegen, wie viele Einheiten wir jeweils vom Ursprung aus entlang der x- und der y-Achse gehen müssen, um den Punkt zu erreichen.

  Ein Beispiel: Der Punkt T hat die Koordinaten $T(100|5)$. Das bedeutet: Wir müssen vom Ursprung aus 100 Einheiten nach rechts auf der x-Achse und fünf Einheiten parallel zur y-Achse nach oben.

  Lösung

  Das Koordinatensystem geht von -7 bis 7 auf der x-Achse und von -7 bis 7 auf der y-Achse. In dem Koordinatensystem sind vier Punkte gegeben: P,Q,R und U.

  Jeder dieser Punkte ist durch eine x- und eine y-Koordinate genau beschrieben.

  Punkt P hat die Koordinaten $P (5|4)$. Das bedeutet vom Ursprung aus fünf Einheiten nach rechts auf der x-Achse und vier Einheiten parallel zur y-Achse nach oben.

  Die Lage des Punktes Q lässt sich durch $Q (-3|2)$ beschreiben. Um zum Punkt Q zu gelangen, können wir vom Ursprung drei Einheiten nach links und zwei Einheiten nach oben gehen.

  $R (-4|-4)$ hat sowohl eine negative x-, als auch eine negative y-Koordinate. Um zu Punkt R vom Ursprung aus zu gelangen, müssen wir jeweils vier Einheiten nach links und nach unten gehen.

  Der letzte Punkt liegt im Ursprung und hat dementsprechend die Koordinaten $U (0|0)$.

• Beschreibe die Eigenschaften von Zahlengerade und Koordinatensystem.

  Tipps

  Als kleiner Hinweis zu den Eigenschaften einer Zahlengerade, hilft dir bestimmt eine Skizze.

  Und auch bei den Eigenschaften eines Koordinatensystems wird dir vielleicht eine Skizze helfen.

  Lösung

  Die Zahlengerade ist eine Gerade und unendlich lang. Sie besitzt keinen Anfang und kein Ende.

  Die negativen Zahlen besitzen ein negatives Vorzeichen und befinden sich links von der Null. Die positiven Zahlen befinden sich rechts von der Null.

  Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden, die senkrecht aufeinander stehen und sich am jeweiligen Nullpunkt schneiden. Man nennt diesen Punkt den Ursprung. Die Zahlengerade, die von links nach rechts verläuft, nennt man x-Achse. Die Zahlengerade, die von unten nach oben verläuft, heißt y-Achse.

  Jeder Punkt ist eindeutig durch eine x- und eine y-Koordinate beschrieben.

  Wenn wir zum Beispiel den Punkt $T (-2|6)$ in ein Koordinatensystem einzeichnen wollen, müssen wir zwei Einheiten nach links auf der x-Achse und sechs Einheiten nach oben parallel zur y-Achse gehen.

• Ermittle die Anzahl der Einheiten, die zwei Punkte im Koordinatensystem voneinander trennen.

  Tipps

  Schaue dir zunächst die Einheiten an, die du entlang der x-Achse gehen musst. Wie viele sind das?

  Schaue dir nun die Einheiten an, die die beiden Punkte parallel zur y-Achse voneinander entfernt sind.

  Am Schluss musst du die Einheiten addieren.

  Lösung

  Zunächst schauen wir uns den vertikalen Weg an, also den Weg, den wir entlang der y-Achse zurücklegen müssen.

  Die y-Koordinate des Punktes P ist 3 und die des Punktes Q ist -2. Um von der y-Koordinate des Punktes P zur y-Koordinate des Punktes Q zu gelangen, gehen wir also zunächst drei Einheiten nach unten und dann weitere zwei Einheiten abermals nach unten parallel zur y-Achse. Insgesamt also fünf Einheiten nach unten.

  Nun richten wir unser Augenmerk auf die horizontalen Schritte, die wir parallel zur x-Achse schreiten.

  Die x-Koordinate vom Punkt P ist 4 und die x-Koordinate von Punkt Q ist gleich -6. Um von der x-Koordinate des Punktes P zur x-Koordinate des Punktes Q zu gelangen, gehen wir also zunächst vier Einheiten nach links und dann weitere sechs Einheiten nach links entlang der x-Achse. Insgesamt also zehn Einheiten nach links.

  Die Frage war nach der Anzahl an Einheiten, die wir insgesamt zurücklegen müssen, wenn wir von Punkt P zu Punkt Q gelangen möchten. Die korrekte Antwort wäre fünf Einheiten nach unten plus 10 Einheiten nach links, also 15 Einheiten insgesamt.