Kongruenzsatz wsw

Kongruenzsatz wsw Übung

• Gib den Kongruenzsatz WSW an.

  Tipps

  Die Abkürzung WSW gibt eine Reihenfolge vor.

  • In gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang. Diese Seiten werden Schenkel genannt. Die verbleibende Seite ist die Basis.
  • In gleichseitigen Dreiecken sind alle drei Seiten gleich lang.

  Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in ihren drei Winkeln übereinstimmen.

  Ähnliche Dreiecke müssen nicht zwingend kongruent sein.

  Lösung

  Der Kongruenzsatz Winkel Seite Winkel (WSW oder wsw) besagt:

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und in der von diesen Winkeln eingeschlossenen Seite übereinstimmen.

  Verwende die in dem hier abgebildeten Dreieck gekennzeichneten Winkel und Seiten. Dann könnten zum Beispiel in zwei Dreiecken die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie die von diesen Winkeln eingeschlossene Seite $c$ übereinstimmen.

  Die Kongruenz bedeutet dann insbesondere auch, dass in den beiden Dreiecken ebenfalls die entsprechenden Winkel $\gamma$ gleich groß und Seiten $a$ und $b$ gleich lang sind.

• Gib an, welche Dreiecke nicht kongruent zu dem abgebildeten sind.

  Tipps

  Beachte, dass kongruent deckungsgleich bedeutet. Das heißt, dass sich die beiden Dreiecke gegenseitig komplett abdecken.

  Es müssen sowohl die Länge der Seite $c$ übereinstimmen (das ist bei allen Dreiecken der Fall) als auch die beiden anliegenden Winkel.

  Bei zwei Dreiecken ist der rechte Winkel größer oder kleiner als der des grünen Dreiecks.

  Bei einem Dreieck ist der linke Winkel größer als der des grünen Dreiecks.

  Lösung

  Kongruent bedeutet deckungsgleich. Somit sind zwei Dreiecke kongruent, wenn sie sich gegenseitig komplett abdecken.

  Das rote Dreieck

  • Die Seite $c$ ist in dem grünen und dem roten Dreieck gleich. Auch die Winkel $\alpha$ und $\beta$ stimmen überein.
  • Dieses Dreieck ist kongruent zu dem grünen Dreieck. Dies besagt der Kongruenzsatz WSW. Du kannst dies auch in dem Bild sehen.

  Das orange Dreieck

  • Hier stimmen die Seite $c$ und der Winkel $\alpha$ mit dem grünen Dreieck überein.
  • Der Winkel bei $\beta$ ist allerdings kleiner als der des grünen Dreiecks.
  • Somit ist das orange Dreieck nicht kongruent zu dem grünen.

  Das blaue Dreieck

  • In diesem Dreieck stimmen die Seite $c$ und der Winkel $\beta$ mit dem grünen Dreieck überein.
  • Der Winkel bei $\alpha$ ist größer als der des grünen Dreiecks.
  • Das blaue Dreieck ist ebenfalls nicht kongruent zu dem grünen Dreieck.

  Das violette Dreieck

  • Die Seite $c$ und auch der Winkel $\alpha$ stimmen mit dem grünen Dreieck überein.
  • Der Winkel bei $\beta$ ist hier größer als der des grünen Dreiecks.
  • Das violette Dreieck ist nicht kongruent zu dem grünen Dreieck.

• Ermittle die fehlenden Größen so, dass die Dreiecke kongruent sind.

  Tipps

  Berechne zunächst den noch nicht bekannten Winkel $\alpha$ des oben abgebildeten Dreiecks. Verwende hierfür den Winkelsummensatz. Dieser besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

  Beachte: Um den Kongruenzsatz WSW anwenden zu können, musst du zwei Winkel sowie die von den beiden Winkeln eingeschlossene Seite kennen.

  Damit die Dreiecke kongruent sind, müssen sie in diesen Größen übereinstimmen.

  Der fehlende Winkel in dem abgebildeten Dreieck beträgt $40^\circ$.

  Lösung

  Wenn in einem Dreieck zwei Winkel bereits gegeben sind, kannst du den fehlenden Winkel wie folgt berechnen:

  • Du addierst die beiden bekannten Winkel.
  • Dann subtrahierst du die Summe der beiden bekannten Winkel von $180^\circ$.

  Warum ist das so? Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt. Diese Gleichung kannst du dann nach dem unbekannten Winkel umstellen.

  So erhältst du hier $\alpha=180^\circ-(70^\circ+70^\circ)=180^\circ-140^\circ=40^\circ$.

  Nun kennst du in dem Dreieck alle Größen:

  • $\alpha=40^\circ$ sowie $\beta=\gamma=70^\circ$,
  • $b=c=12$ sowie $a=8,2$.

  Dreieck 1

  Bekannt sind zwei Winkel $70^\circ$ sowie $40^\circ$. Diese schließen in dem obigen Dreieck die Seite $b$ oder $c$ ein. Also muss die fehlende Seite die Länge $12$ haben.

  Dreieck 2

  Dieses Mal sind die beiden gleich großen Winkel $70^\circ$ bekannt. Diese schließen die Seite $a=8,2$ ein. Das bedeutet, dass die fehlende Seite die Länge $8,2$ haben muss.

  Dreieck 3

  Eine Seite hat die Länge $12$ und einer der Winkel beträgt $70^\circ$. Dann fehlt noch der andere Winkel, welcher an einer Seite mit der Länge $12$ anliegt. Dies ist hier der Winkel $\alpha=40^\circ$.

  Dreieck 4

  Wenn umgekehrt eine Seite die Länge $12$ hat und einer der Winkel $40^\circ$ beträgt, muss der fehlende Winkel entweder $\gamma=70^\circ$ oder $\beta=70^\circ$ sein.

• Beschreibe, wie du ein Dreieck mit Hilfe des Kongruenzsatzes WSW konstruieren kannst.

  Tipps

  • $a$, $b$ und $c$ sind die Seiten des Dreiecks.
  • $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ sind die Winkel des Dreiecks.

  Du solltest beim Zeichnen immer mit einer Seite beginnen.

  Der verwendete Kongruenzsatz WSW bedeutet, dass zwei Winkel sowie die von diesen Winkeln eingeschlossene Seite bekannt sind.

  Lösung

  Die komplette Konstruktion siehst du hier. Dabei wird allerdings nicht jeder Schritt, wie zum Beispiel das Konstruieren einer Seite, in aller Ausführlichkeit gezeigt.

  Schritt 1

  Du konstruierst erst einmal die bekannte Seite, diese ist hier $c=15~\text{cm}$. An dieser Seite liegen die beiden bekannten Winkel an.

  Schritt 2

  Trage mit dem Geodreieck links an dieser Seite den Winkel $\alpha=40^\circ$ ab. Du erhältst so einen Strahl.

  Schritt 3

  Trage den anderen Winkel, $\alpha=30^\circ$, an der rechten Seite der Seite ab. Du erhältst einen weiteren Strahl.

  Die beiden Strahlen schneiden sich in einem Punkt. Dies ist der fehlende Eckpunkt des Dreiecks.

  Schritt 4

  Zuletzt kannst du noch die Seiten des Dreiecks deutlich nachzeichnen und die Hilfslinien entfernen.

  Fertig ist das Dreieck.

  Du siehst, der Kongruenzsatz WSW gibt nicht nur an, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Du kannst mit diesem Kongruenzsatz auch ein Dreieck eindeutig konstruieren. Übrigens: Das gilt auch bei den anderen Kongruenzsätzen.

• Beschreibe, was Kongruenz bedeutet.

  Tipps

  Jedes Dreieck hat drei Ecken und drei Seiten.

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz WSW.

  Konstruiere doch einmal zwei Dreiecke nach diesem Kongruenzsatz und schneide diese Dreiecke aus. Was fällt dir auf?

  Die beiden rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten $a_1=2~\text{cm}$ und $b_1=2~\text{cm}$ bzw. $a_2=4~\text{cm}$ und $b_2=1~\text{cm}$ haben denselben Flächeninhalt.

  Lösung

  In der Geometrie werden zwei Dreiecke kongruent genannt, wenn sie durch Verschiebung, Spiegelung und/oder Drehung ineinander überführt werden können.

  Das hört sich jetzt ein wenig technisch an. Wenn du zwei Dreiecke auf Kongruenz untersuchen möchtest, könntest du diese Dreiecke auch ausschneiden. Wenn du die Dreiecke dann aufeinander legst, müssen sie sich gegenseitig komplett abdecken.

  Es genügt also nicht, wenn das größere Dreieck das kleinere abdeckt.

  Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.

  Das bedeutet auch, dass zwei kongruente Dreiecke immer flächengleich sind. Umgekehrt muss das nicht gelten.

  Zusatz: Die beiden rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten $a_1=2~\text{cm}$ und $b_1=2~\text{cm}$ bzw. $a_2=4~\text{cm}$ und $b_2=1~\text{cm}$ haben denselben Flächeninhalt, sind aber nicht kongruent.

• Leite die fehlenden Größen durch Konstruktion des Dreiecks her.

  Tipps

  Den Winkel $\gamma$ kannst du mit dem Winkelsummensatz berechnen.

  Es gilt $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  Bei der Konstruktion gehst du wie folgt vor:

  1. Zeichne die Seite $c$.
  2. Trage links an dieser Seite den Winkel $\alpha=40^\circ$ ab. So erhältst du einen Strahl.
  3. Trage rechts an dieser Seite den Winkel $\beta=30^\circ$ ab. So erhältst du einen weiteren Strahl. Die beiden Strahlen schneiden sich in dem fehlenden Eckpunkt des Dreiecks.

  Die Seitenlängen kannst du nachmessen. Es kann dabei zu Ungenauigkeiten kommen. Entscheide dich für die Angabe, die näherungsweise mit deinem Ergebnis übereinstimmt.

  Beachte, dass $\alpha$ größer ist als $\beta$. Daraus folgt auch $a>b$.

  Lösung

  Den fehlenden Winkel kannst du nach erfolgter Konstruktion zwar auch messen, du kannst ihn aber auch berechnen.

  Verwende hierfür den Winkelsummensatz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Stelle diese Gleichung nach $\gamma$ um und setze die bekannten Größen für $\alpha$ und $\beta$ ein.

  $\begin{array}{rclll} \gamma&=&180^\circ-(40^\circ+30^\circ)\\ &=&180^\circ-70^\circ\\ &=&110^\circ \end{array}$.

  Die Seitenlängen kannst du messen. Es gilt:

  • $a\approx 10,3~ \text{cm}$
  • $b\approx 8~\text{cm}$.