Kongruenzsatz sws

Kongruenzsatz sws Übung

• Gib den Kongruenzsatz SWS an.

  Tipps

  S steht für „Seite“ und W für „Winkel“.

  Zum Beispiel lautet der Kongruenzsatz WSW:

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer Seite sowie den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.

  Lösung

  Diese beiden Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich). Wie kannst du das bei Dreiecken überprüfen, ohne sie zu zeichnen und „übereinanderzulegen“?.

  Es gibt verschiedene Kongruenzsätze. Diese besagen, bei welchen Angaben von Seiten oder Winkeln du bereits feststellen kannst, ob zwei Dreiecke kongruent sind.

  Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

  Diesen Kongruenzsatz kannst du auch verwenden, um Dreiecke zu konstruieren. Wenn du von einem Dreieck die Länge zweier Seiten kennst sowie den von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel, dann kannst du dieses Dreieck eindeutig konstruieren.

• Benenne die Gleichungen, die du aus dem Kongruenzsatz SWS herleiten kannst.

  Tipps

  Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

  Die beiden Seiten $c$ und $f$ benötigst du für die Formulierung der Gleichungen nicht.

  Schau dir das Bild genau an. Die Seiten, die gleich lang sein sollen, entsprechen in den beiden Dreiecken einander.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz SWS.

  Hier erkennst du den Winkel $90^\circ$. Übrigens: Bei kongruenten Dreiecken muss der eingeschlossene Winkel nicht unbedingt $90^\circ$ betragen. Die beiden anliegenden Seiten sind in dem blauen Dreieck $a$ und $b$ sowie in dem gelben $d$ und $e$.

  Da $b$ und $e$ jeweils die längeren Seiten sind, entsprechen sich diese Seiten. Ebenso entsprechen sich die Seiten $a$ und $d$. Es gelten also die folgenden Gleichungen:

  • $a=d$
  • $b=e$
  • $90^\circ=90^\circ$

• Entscheide, warum das jeweilige gelbe Dreieck nicht kongruent zu dem blauen Dreieck ist.

  Tipps

  Der Kongruenzsatz SWS sagt aus, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gleich groß sind.

  Einander kongruente Dreiecke stimmen in allen entsprechenden Seiten und Winkeln überein.

  In dem blauen Dreieck sind die bekannten Seiten Katheten. Das müssen sie also auch in dem gelben Dreieck sein.

  Lösung

  Wir schauen uns nun von oben nach unten die Möglichkeiten für nicht kongruente Dreiecke an. Natürlich gibt es sehr viele weitere solcher Möglichkeiten. Allerdings stimmen in den hier gewählten Beispielen jeweils einzelne Größen überein, andere jedoch nicht.

  Die beiden Dreiecke oben

  Die Länge der einen Kathete in dem gelben Dreieck ist mit $24\neq 20$, der Länge der entsprechenden Kathete in dem blauen Dreieck. Die Dreiecke sind somit nicht kongruent, auch wenn alle anderen Angaben übereinstimmen.

  Die beiden Dreiecke in der Mitte

  In diesem Beispiel stimmen die beiden gegebenen Seitenlängen überein. Jedoch ist der von diesen Dreiecken eingeschlossene Winkel in dem blauen Dreieck ein rechter Winkel und in dem gelben nicht. Es gilt $90^\circ\neq 85^\circ$. Die beiden Dreiecke können nicht kongruent sein.

  Die beiden Dreiecke unten

  Beide Dreiecke sind rechtwinklig. Jedoch sind bei dem blauen Dreieck die Katheten mit $20$ und $15$ gegeben und bei dem gelben die Hypotenuse mit $20$ und eine der beiden Katheten mit $15$. Anders ausgedrückt bedeutet dies: Der bekannte Winkel wird in dem gelben Dreieck nicht von den bekannten Seiten eingeschlossen. Die beiden Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.

• Prüfe, welche Dreiecke kongruent zueinander sind.

  Tipps

  Beachte: Du benötigst immer zwei Seiten sowie den eingeschlossenen Winkel.

  Sind zwei Seiten gegeben, fehlt noch der eingeschlossene Winkel.

  Ist eine Seite sowie ein Winkel gegeben, fehlt noch die Seite, die mit der gegebenen Seite gemeinsam den Winkel einschließt.

  Lösung

  Hier siehst du ein Dreieck mit angegebenen Seitenlängen und Winkeln.

  In dieser Aufgabe werden dir von einem anderen Dreieck Angaben vorgelegt. Du musst nun die fehlende Angabe so auswählen, dass das abgebildete Dreieck und das im Text beschriebene kongruent sind. Dabei wird die Lösung für das erste Dreieck ausführlich gemacht:

  1. Gegeben sind zwei Seiten mit den Längen $9{,}6$ und $15$. Zwei Seiten mit diesen Längen gibt es auch in dem abgebildeten Dreieck. Der eingeschlossene Winkel ist $48^\circ$. Also ist dies der Winkel, der bei dem zweiten Dreieck noch fehlt, damit Kongruenz gegeben ist.
  2. Gegeben ist eine Seite mit der Länge $11{,}1$ und ein Winkel mit der Größe $40^\circ$. Die fehlende Seite hat dann die Länge $15$.
  3. Der fehlende Winkel hat die Größe $92^\circ$.
  4. Die fehlende Seite hat die Länge $9{,}6$.

• Beschreibe, was es bedeutet, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

  Tipps

  Wenn du durch ein Rechteck die Diagonale ziehst, entstehen zwei Dreiecke. Diese sind beispielsweise kongruent.

  Kongruente Dreiecke stimmen zum Beispiel in den Längen ihrer drei Seiten überein.

  Alle Dreiecke, die kongruent zueinander sind, haben den gleichen Flächeninhalt. Andersherum muss dies nicht gelten.

  Lösung

  Diese beiden Dreiecke sind kongruent oder auch kongruent zueinander. Das bedeutet, sie sind deckungsgleich.

  • Das blaue Dreieck deckt das gelbe Dreieck vollständig ab.
  • Ebenso deckt das gelbe Dreieck das blaue Dreieck vollständig ab.

  Die Dreiecke decken sich also gegenseitig vollständig ab. Daher kommt auch der Name „deckungsgleich“.

• Beschreibe, wie mit Hilfe des Kongruenzsatzes SWS ein Dreieck konstruiert werden kann.

  Tipps

  Orientiere dich an dieser Planskizze und markiere dir darin die bekannten Größen.

  Du beginnst immer mit einer der beiden bekannten Seiten.

  Die Seiten eines Dreiecks verbinden jeweils zwei Eckpunkte des Dreiecks:

  • Die Seite $a$ verbindet die Punkte $B$ und $C$.
  • Die Seite $b$ verbindet die Punkte $A$ und $C$.
  • Die Seite $c$ verbindet die Punkte $A$ und $B$.

  Lösung

  Aus dem Kongruenzsatz SWS folgt, dass ein Dreieck mit der Angabe von zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel eindeutig konstruiert werden kann.

  Hier siehst du, wie du die Konstruktion erstellen kannst:

  1. Zunächst zeichnest du eine der beiden Seiten, zum Beispiel mit dem Geodreieck. Hier siehst du die Seite $c$ mit einer Länge von $25~\text{cm}$, welche die Endpunkte $A$ und $B$ hat.
  2. Der bekannte Winkel $\beta=40^\circ$ hat den Scheitelpunkt $B$. Trage nun den Winkel in diesem Punkt mit einem Geodreieck an. Hierfür legst du das Geodreieck mittig in $B$ an die Seite $c$ an. Du liest nun den Winkel $40^\circ$ ab und machst an der entsprechenden Stelle einen Punkt. Verbinde diesen Punkt mit $B$. So erhältst du den dünn eingezeichneten Schenkel.
  3. Zeichne nun einen Kreis mit dem Mittelpunkt $B$ und dem Radius $a=15~\text{cm}$. Dieser Kreis schneidet den Schenkel aus dem 3. Schritt im Punkt $C$.
  4. Schließlich kannst du alle Seiten des Dreiecks nachzeichnen. Die nun bekannten Seiten beschriftest du mit $a$ (gegenüber von $A$) und mit $b$ (gegenüber von $B$). Zuletzt kannst du die Hilfslinien entfernen. Fertig ist das $\triangle$.