Kongruenzsatz sss

Kongruenzsatz sss Übung

• Ergänze die Beschreibung des Kongruenzsatzes SSS.

  Tipps

  Jeder Buchstabe in SSS steht für ein Element eines Dreiecks.

  Wenn zwei Dreiecke in ihren drei Winkeln übereinstimmen, werden sie ähnlich genannt.

  Ähnliche Dreiecke können, müssen allerdings nicht, kongruent sein.

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn man ihre Flächen so übereinander legen kann, dass sie sich überdecken. Dabei muss egal sein, welches Dreieck über dem anderen liegt.

  Lösung

  Woran kannst du erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind?

  Hinweis: Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.

  Um die Frage oben zu beantworten, gibt es die sogenannten Kongruenzsätze. Diese sagen jeweils aus, unter welchen Voraussetzungen jeweils auf die Kongruenz geschlossen werden kann.

  Einer dieser Kongruenzsätze ist der Kongruenzsatz SSS. Die drei S stehen dabei für Seite, Seite, Seite. Zwei Dreiecke sind demnach kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.

  Der Vollständigkeit halber sind hier noch die übrigen drei Kongruenzsätze aufgeführt.

  • Kongruenzsatz SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
  • Kongruenzsatz WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen.
  • Kongruenzsatz SSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

• Gib an, welches der Dreiecke kongruent zu dem gegebenen ist.

  Tipps

  Nutze den Kongruenzsatz SSS.

  Es genügt nicht, wenn nur zwei der drei Seiten übereinstimmen.

  Die Reihenfolge, in welcher die Seiten aufgeschrieben sind, ändert nichts an der Kongruenz.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre Flächen deckungsgleich sind.

  Um dies auch ohne viel Bastelarbeit zu ermitteln, kannst du beispielsweise den Kongruenzsatz SSS benutzen.

  Dieser sagt aus, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Die Reihenfolge, in welcher diese Längen aufgeschrieben sind, ist dabei unerheblich.

  Damit folgt, dass die folgenden Dreiecke kongruent zu dem hier abgebildeten Dreieck $\Delta$ sind:

  • $\Delta_1\cong\Delta$
  • $\Delta_4\cong\Delta$
  • $\Delta_5\cong\Delta$

  In jeder dieser obigen Beziehungen siehst du das Symbol $\cong$ für „kongruent“. Sind zwei Dreiecke nicht kongruent, dann schreibst du $\not\cong$.

  Die beiden verbleibenden Dreiecke sind nicht kongruent zu dem abgebildeten:

  • $\Delta_2\not\cong\Delta$
  • $\Delta_3\not\cong\Delta$

• Bestimme die jeweils fehlende Seitenlänge, so dass die Dreiecke kongruent sind.

  Tipps

  Alle drei Seitenlängen müssen übereinstimmen. Wenn du bereits zwei Seiten kennst, ist die Länge der fehlenden durch das andere Dreieck eindeutig gegeben.

  Wenn zwei Dreiecke kongruent sind und von beiden nur jeweils zwei Seiten bekannt sind, muss auf jeden Fall eine der beiden Seiten übereinstimmen.

  Lösung

  Eine Möglichkeit, die Kongruenz von Dreiecken zu ermitteln, besteht darin, sich die Seitenlängen der jeweiligen Dreiecke anzuschauen. Es gilt:

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

  Kennst du von einem Dreieck drei Seiten und von dem anderen nur zwei, dann kannst du die Länge dieser Seite bestimmen.

  Beispiel 1

  Im Dreieck $\Delta_1$ sind die drei Seiten $12~\text{cm}$, $15~\text{cm}$ und $20~\text{cm}$ bekannt. Im Dreieck $\Delta_4$ sind die Seiten $15~\text{cm}$ sowie $12~\text{cm}$ bekannt. Die fehlende Seite muss also $20~\text{cm}$ lang sein.

  Beispiel 2

  Im Dreieck $\Delta_4$ sind alle drei Seiten bekannt:

  • $16~\text{cm}$
  • $18~\text{cm}$
  • $24~\text{cm}$.

  Da bei dem Dreieck $\Delta_3$ bereits zwei Seiten, nämlich $24~\text{cm}$ und $16~\text{cm}$, mit zwei Seiten von $\Delta_4$ übereinstimmen, muss die fehlende Seite $18~\text{cm}$ lang sein.

  Beispiel 3

  In diesem Beispiel sind von jedem der beiden Dreiecke zwei Seiten bekannt. Die Seite $24~\text{cm}$ stimmt überein.

  Somit fehlt bei dem Dreieck $\Delta_5$ die Seite mit der Länge $18~\text{cm}$ und bei dem Dreieck $\Delta_6$ die Seite mit der Länge $15~\text{cm}$.

• Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks mit den Seitenlängen $a=3~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $c=5~\text{cm}$.

  Tipps

  Schau dir bei den Radien an, welche Seiten entstehen müssen.

  Die Seiten in einem Dreieck werden mit den Kleinbuchstaben $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Sie liegen immer dem jeweiligen Großbuchstaben $A$, $B$ und $C$ gegenüber, die jeweils für einen Eckpunkt stehen.

  Lösung

  Hier kannst du die komplette Konstruktion sehen.

  Die vier Kongruenzsätze treffen nicht nur Aussagen, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Sie zeigen auch an, dass eine eindeutige Konstruktion eines Dreiecks bei entsprechend gegebenen Größen möglich ist.

  Am Beispiel des Kongruenzsatzes SSS bedeutet dies:

  1.Schritt

  Paul zeichnet zunächst eine Seite. In diesem Beispiel zeichnet er $c$ mit der Länge $5~\text{cm}$. Diese Seite hat die Endpunkte $A$ und $B$.

  2. Schritt

  Die Seite $b$ hat die Eckpunkte $A$ und $C$. Deshalb wissen wir, dass die Seite $b$ an $A$ anliegt. Deshalb zeichnet Paul dort einen Kreis mit der Länge $b=4~\text{cm}$.

  Um $B$ zeichnet Paul entsprechend einen Kreis mit dem Radius $a=3~\text{cm}$.

  Die beiden Kreise schneiden sich in dem fehlenden Eckpunkt $C$ des Dreiecks.

  3. Schritt

  Nun verbindet Paul die Punkte $A$ und $C$. Das ist die Seite $b$. Die Länge der Seite ist korrekt, da der Radius oben entsprechend gewählt wurde. Er verbindet auch noch die Punkte $B$ und $C$ zu der Seite $a$.

  4. Schritt

  Nachdem er alle Seiten und Ecken beschriftet hat, radiert er die Kreise weg. Fertig ist das Dreieck $\Delta_{ABC}$.

• Beschreibe, was Kongruenz bedeutet.

  Tipps

  In der Geometrie werden zwei Figuren als kongruent bezeichnet, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können.

  Eine Kongruenzabbildung ist eine (oder mehrere hintereinander ausgeführte) der folgenden Abbildungen:

  • Du verschiebst eine Figur parallel.
  • Du drehst eine Figur.
  • Du spiegelst eine Figur.

  Ein Quadrat und ein Dreieck können nicht kongruent sein. Das gilt selbst dann, wenn das Quadrat so groß ist, dass das Dreieck darunter nicht mehr erkennbar ist.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um den Begriff der Kongruenz. Das zugehörige Adjektiv ist kongruent.

  Dieses Fachwort bedeutet deckungsgleich.

  In der Geometrie werden zwei Figuren als kongruent bezeichnet, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können.

  Hier siehst du eine etwas anschaulichere Erklärung:

  Stell dir zwei ebene Figuren (zum Beispiel Dreiecke) vor. Zur Unterscheidung nennen wir sie Figur 1 und Figur 2. Wenn du nun Figur 1 so verschieben, drehen und/oder spiegeln kannst, dass sie Figur 2 vollständig überdeckt, und du umgekehrt auch Figur 2 so legen kannst, dass sie Figur 1 überdeckt, dann nennt man Figur 1 und Figur 2 kongruent.

  Kommen wir zurück zur mathematischen Definition.

  Kongruenzabbildungen sind:

  • die Parallelverschiebung,
  • die Drehung und
  • die Spiegelung.

  Wenn du mit diesen Mitteln eine Figur in eine andere Figur überführen kannst, dann sind die Figuren kongruent zueinander.

• Ermittle die Seitenlängen der beiden Dreiecke.

  Tipps

  Der Umfang eines Dreiecks ist $u=a+b+c$.

  Ordne der kürzesten Seite von Maries Dreieck die Variable $x$ zu. Drücke die beiden anderen Seiten mit $x$ aus.

  Da die Dreiecke der beiden Mädchen kongruent sind, müssen die Seitenlängen übereinstimmen.

  Insbesondere ist der Umfang von Maries Dreieck ebenfalls $u=55~\text{cm}$.

  Stelle nun eine Gleichung auf und forme diese nach $x$ um.

  Die Gleichung lautet $x+2x+2,5x = 55$.

  Lösung

  Das klingt ja reichlich kompliziert.

  Wir gehen die Informationen nun Schritt für Schritt durch. Wir benutzen dabei die Seitenbezeichnungen $a$, $b$ und $c$.

  Lisas Dreieck hat einen Umfang von $u=55~\text{cm}$. Es gilt also $a+b+c=55~\text{cm}$.

  Maries Dreieck ist kongruent zu Lisas, hat also die gleichen Seitenlängen und auch den gleichen Umfang. Außerdem wissen wir noch folgendes:

  • Es gibt eine kürzeste Seite in Maries Dreieck. Wir nennen diese $x$.
  • Die längste Seite ist dann $2,5x$ lang.
  • Die mittlere Seite ist dann $2x$ lang.

  Aus diesen drei Angaben kommt man für Maries Dreieck auf folgenden Umfang:

  $x+2x+2,5x=55~\text{cm}$.

  Hierbei haben wir benutzt, dass kongruente Dreiecke denselben Umfang besitzen.

  Diese Gleichung formst du nun nach $x$ um:

  $ \begin{array}{crcll} &x+2x+2,5x &= &55~\text{cm} & \vert \text{ zusammenfassen}\\ \Leftrightarrow & 5,5x & = & 55~\text{cm} & \vert :5,5 \\ \Leftrightarrow & x & = & 10~\text{cm} \end{array} $

  Die kürzeste Seite hat also eine Länge von $10~\text{cm}$.

  Schließlich musst du noch die verbleibenden Seitenlängen berechnen:

  • Die mittlere Seite ist $2x=2\cdot 10~\text{cm}=20~\text{cm}$ lang.
  • Die längste Seite ist $2,5x=2,5\cdot 10~\text{cm}=25~\text{cm}$ lang.

  Du kannst noch eine Probe machen:

  $10~\text{cm}+20~\text{cm}+25~\text{cm}=55~\text{cm}$.