Grundbegriffe der Geometrie – Einführung

Grundbegriffe der Geometrie – Einführung Übung

• Gib die geometrischen Grundbegriffe an.

  Tipps

  Überlege dir, ob ein Punkt, eine Strecke, ein Strahl und eine Gerade Anfangs- und Endpunkte haben.

  Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt.

  Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.

  Ein Strahl hat nur einen Anfangs- und keinen Endpunkt.

  Ein Punkt ist ein fester Punkt der Zeichenebene.

  Lösung

  Ordne zunächst die Begriffe zu, die dir klar sind, weil sie dir aus dem Alltag bekannt sind.

  Sicherlich ist dir klar, dass von einer Glühbirne Lichtstrahlen ausgehen, wenn du das Licht einschaltest. Dann kannst du schon einmal Lichtstahl mit Strahl verknüpfen. Wie du schon weißt, hat so ein Lichtstrahl zwar einen Anfangs- aber keinen Endpunkt. Die gleichen Eigenschaften hat auch der Strahl als mathematisches Objekt. Für die anderen Begrifflichkeiten kann man ähnliche Zusammenhänge herstellen:

  • Wenn du mit deinem Füller einen Tintenklecks in dein Heft machst, entsteht ein Punkt. Er ist ein fester Punkt in der Zahlenebene und hat keine Ausdehnung.

  • Wenn du im Stadion mit deinen Mitschülern ein Wettrennen machst, läufst du vom Start bis zum Ziel eine Strecke. Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt und ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.

  • Ein Läufer biegt auf die Zielgerade ein. Eine Gerade ist wird durch zwei Punkte eindeutig definiert, ist unbegrenzt und hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.

• Nenne die Eigenschaften der geometrischen Objekte.

  Tipps

  Überlege dir, was die Eigenschaften von einem Punkt, einem Strahl, einer Strecke und einer Geraden sind. Stelle Bezüge zu den Begriffen Fleck, Laufstrecke, Zielgerade und Lichtstrahl her.

  Eine Strecke ist die Menge aller Punkte auf der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten.

  Ein Punkt teilt eine Gerade in zwei Halbgeraden, die sogenannten Strahlen.

  Lösung

  Überlege dir zuerst, welche verschiedenen Eigenschaften es bei den geometrischen Objekten gibt und entscheide dann, wie diese bezeichnet werden.

  Ein Punkt ist ein fester Ort auf der Zeichenebene und hat aber keine Ausdehnung wie z.B. ein kleiner Fleck auf deinem T-Shirt. Er wird immer mit einem großen Buchstaben bezeichnet.

  Eine Strecke hat einen Anfangs- und Endpunkt wie zum Beispiel eine Laufstrecke, die einen Startpunkt und ein Ziel hat. Du kennzeichnest sie mit zwei großen Buchstaben und einem Strich darüber.

  Ein Strahl hat einen Anfangs- aber keinen Endpunkt wie beispielsweise der Lichtstrahl oder der Sonnenstrahl. Mit einem kleinen Buchstaben wird der Strahl bezeichnet.

  Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt. Sie wird aber eindeutig durch zwei Punkte festgelegt; wie z.B. eine Ziellinie in einem Stadion. Du kennzeichnest sie mit einem kleinen Buchstaben. Meistens wählt man ein g.

• Bestimme die Maßzahl und die Maßeinheit.

  Tipps

  In dem Begriff "Maßzahl" steckt der Begriff "Zahl".

  Eine Einheit ist zum Beispiel Meter. Was ist das dazugehörige Einheitenzeichen?

  Lösung

  In dem Begriff "Maßzahl" steckt der Begriff "Zahl".

  Eine Maßeinheit wird manchmal auch kurz "Einheit" genannt. Um Streckenlängen anzugeben, werden die Einheiten km, m, dm, cm und mm genutzt.

  5 cm kannst du zum Beispiel auf deinem Lineal abmessen. 4 km aber nicht. Diese kannst du aber zum Beispiel im Stadion laufen. Das sind 10 Runden.

  Beim Sprungturm kann man von verschiedenen Höhen ins Wasser springen. Aus der Höhe von 1 m springen noch die meisten Kinder. Aus 10 m ist es den meisten schon eher zu hoch.

  Einen Schlüssel kannst du gut in deine Hosentasche stecken. Er ist nur ungefähr 6 cm lang. Ein Kugelschreiber hingegen ist mit 14 cm jedoch sehr lang und passt nicht gut in deine Hosentasche.

• Setze die Begriffe mit den geometrischen Figuren in Beziehung.

  Tipps

  Ordne immer zuerst das Objekt zu, was du ganz sicher kennst.

  Orientiere dich an Begriffen aus dem Alltag und ihren Eigenschaften. Denke z.B. an eine Zielgerade. Diese ist festgelegt durch zwei Punkte.

  Beachte auch die Bezeichnungen A, b, g und $\overline{AB}$.

  Lösung

  Ordne immer zuerst das Objekt zu, was du ganz sicher kennst. Dann wird deine Auswahl weniger und du kannst die anderen Begriffe besser zuordnen.

  Der Punkt sieht anders aus als eine Gerade, eine Strecke oder ein Strahl. Er sieht dem Buchstaben X oder einem Kreuz auf einem Lottoschein sehr ähnlich. In der Mathematik wird er mit einem großen Buchstaben bezeichnet.

  Die anderen geometrischen Figuren mögen auf den ersten Blick ähnlich aussehen. Überlege dir noch einmal die Eigenschaften einer Strecke, eines Strahls und einer Gerade.

  Am besten merkst du dir die Eselsbrücke zu den Alltags-Objekten:

  • Eine Strecke ist wie eine Laufstrecke. Sie hat einenn Ziel- und einen Startpunkt. In der Mathematik bezeichnest du sie mit zwei großen Buchstaben und einem Strich darüber.
  • Ein Strahl ist wie ein Lichtstrahl. Er beginnt in der Glühbirne, aber er hat kein Ende. In der Mathematik wird er mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet. Zum Beispiel mit einem b.
  • Eine Gerade ist wie eine Zielgerade. Sie wird durch zwei Punkte festgelegt. Aber sie hat keinen Anfang und kein Ende. Sie wird in der Mathematik mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet, z.B. mit einem g.

• Beschreibe den Begriff Abstand.

  Tipps

  Die Abkürzung für den Abstand kommt aus dem Englischen und heißt „distance“.

  Geometrische Objekte, zwischen denen man Abstände messen kann, sind Punkte und Geraden.

  Lösung

  Ein Abstand kann immer nur zwischen zwei geometrischen Objekten bestimmt werden. Er ist messbar. Daher kann man ihn mit einem Messgerät wie zum Beispiel dem Geodreieck oder einem Lineal messen. Dabei misst man immer die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den Objekten.

  Möchtest du zum Beispiel den Abstand zwischen zwei Punkten messen, legst du dein Lineal so an, dass du die beiden Punkten direkt miteinander verbindest, so dass ein gerader Strich entsteht.

  Versuche es mal mit einem A4-Papier im Hochformat. Lege das Lineal an die Kante des Papiers und miss von einer Ecke zur anderen Ecke. Der Abstand zwischen den beiden oberen Ecken ist 21 cm lang. Der Abstand zwischen der oberen und der unteren Ecke ist 29,7 cm.

  Du kannst auch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwischen zwei parallelen Geraden messen. Auch hier musst du immer eine gerade Linie zwischen den Objekten ziehen. Damit es die kürzeste Verbindung wird, musst du einen 90°-Winkel einzeichnen.

• Erkläre, wie du den Abstand zwischen zwei parallen Geraden mit einem Geodreieck messen kannst.

  Tipps

  Um einen Abstand zwischen zwei parallelen Geraden zu zeichnen, musst du erst einmal beide Geraden einzeichnen. Das sollte auch der Ausgangspunkt deiner Konstruktion sein.

  Versuche, die Schritte selber einmal mit einer Skizze nachzuvollziehen.

  Die Verbindungsstrecke steht senkrecht zu den Geraden.

  Lösung

  Wenn du den Abstand zweier paralleler Geraden bestimmen willst, dann gehst du am besten folgendermaßen vor. Dabei ist es sinnvoll, wenn du versuchst, die Schritte selber einmal mit einer Skizze nachzuvollziehen.

  • Zunächst musst du natürlich eine Gerade g einzeichnen und eine zu dieser Geraden g parallele Gerade h. Vergiss nicht, die Gerade mit einem kleinen Buchstaben zu bezeichnen.

  • Markiere einen Punkt auf der Geraden g.

  • Lege das Geodreieck in einem 90°-Winkel an diesen Punkt.

  • Ziehe eine Linie bis zur Geraden h. Achte darauf, dass du das Geodreieck festhältst und es nicht verrutschen kann. Wenn du willst, kannst du noch den 90°-Winkel einzeichnen.

  • Miss die Länge der eingezeichneten Strecke. Das ist dein Abstand.

  • Schreibe den Abstand noch auf. Denke daran, dass er mit einem d abgekürzt wird. In unserem Fall schreibst du d(g;h).