Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele

Größenvergleich bei Brüchen – Beispiele Übung

• Schildere den Ablauf der Streifenmethode.

  Tipps

  Brüche sind beim Aufteilen von Anteilen hilfreich.

  Brüche können der Größe nach sortiert werden.

  Lösung

  Beim Größenvergleich von Brüchen gibt es drei wichtige Methoden:

  1. die Streifenmethode,
  2. Erweitern und Kürzen,
  3. den Zahlenstrahl.

  Die Streifenmethode bietet sich besonders bei echten Brüchen an, also wenn der Bruch kleiner als ein Ganzes ist. Dann werden zwei gleich lange Streifen erstellt, deren Unterteilung in Abschnitte vom Nenner des Bruches abhängt. Bei $\frac{5}{9}$ wird der Streifen in neun Teile unterteilt, bei $\frac{4}{7}$ in sieben. Vom Zähler hängt ab, wie viele der Abschnitte nun farbig markiert werden. Tut man dies nun bei den beiden genannten Brüchen, so erhältst du $\frac{5}{9} < \frac{4}{7}$.

• Beschreibe die Methode des Erweiterns anhand des Beispiels.

  Tipps

  Was ist wichtig, um zwei Brüche miteinander vergleichen zu können?

  Beim Erweitern wird der Wert des Bruches nicht verändert.

  Lösung

  Entscheidet man sich beim Vergleich zweier Brüche für das Erweitern bzw. Kürzen, so ist es Ziel, die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

  Der erste Schritt besteht nun darin, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Das kann man erreichen, indem die Nenner miteinander multipliziert werden.

  In unserem Beispiel werden $\frac{7}{10}$ und $\frac{6}{9}$ verglichen.

  Das Produkt der beiden Nenner ergibt 9 $\cdot$ 10 = 90. Wie wir sehen, wird der eine Bruch mit dem Nenner des anderen erweitert. Es ergeben sich $\frac{7}{10} = \frac{63}{90}$ und $\frac{6}{9} = \frac{60}{90}$. Der Vergleich zeigt uns $\frac{63}{90} > \frac{60}{90}$.

  Es gilt also $\frac{7}{10} > \frac{6}{9}$.

• Ermittle die Mitte zwischen $\frac{5}{3}$ und $\frac{9}{5}$.

  Tipps

  Unechte Brüche sind größer als ein Ganzes.

  Unechte Brüche lassen sich als gemischte Brüche schreiben.

  Bei gemischten Brüchen steht eine natürliche Zahl vor einem Bruch.

  Lösung

  Wenn man unechte Brüche miteinander vergleicht, so hilft es häufig, diese als gemischte Brüche zu schreiben. Dann kann es passieren, dass sich die natürlichen Zahlen vor dem Bruch unterscheiden und man kann den größeren Bruch leicht ermitteln.

  So ist beispielsweise $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, weil 3 > 1.

  In unserer Aufgabe ist es nicht so einfach. Beide Brüche liegen im Bereich zwischen 1 und 2, wie wir sehen, wenn wir die gemischte Bruchschreibweise verwenden. Dann ist $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ und $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

  Da wir uns auf dem Zahlenstrahl zwischen 1 und 2 befinden, reicht es, vorübergehend nur $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$ zu betrachten. Jetzt fällt es uns leichter, die Brüche zu erweitern, um die Mitte herauszufinden. $\frac{2}{3}$ wird mit 5 zu $\frac{10}{15}$ erweitert, $\frac{4}{5}$ mit 3 zu $\frac{12}{15}$. Die Mitte lässt sich nun gut ablesen. Sie liegt bei $\frac{11}{15}$. Erinnern wir uns jetzt wieder an die Position auf dem Zahlenstrahl, so heißt unser Ergebnis $1\frac{11}{15}$ oder $\frac{26}{15}$.

• Ermittle die Paare, deren Mitte $\frac{3}{8}$ ist.

  Tipps

  Versuche, eine gute Übersicht über die Brüche zu gewinnen.

  Erweitere, sofern notwendig.

  Lösung

  Hier suchen wir nicht die Mitte zweier Brüche, sondern die Brüche, die um diese Mitte liegen.

  Unsere Mitte ist der Bruch $\frac{3}{8}$. Er liegt genau zwischen vier Paaren von Brüchen, die wir bestimmen sollen.

  Um uns eine Übersicht zu verschaffen, wollen wir zuerst alle gegebenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Eine Möglichkeit wäre, alle Nenner miteinander zu multiplizieren. Um aber einen so großen gemeinsamen Nenner zu vermeiden, nehmen wir uns ruhig die Zeit, um etwas genauer hinzuschauen. Dann sehen wir, dass sich 120 als gemeinsamer Nenner gut eignet, da er ein Vielfaches aller Nenner ist.

  Nun erweitern wir entsprechend. Zuerst die Mitte $\frac{3}{8} = \frac{45}{120}$.

  1. $\frac{1}{8} = \frac{15}{120}$, $\frac{1}{24} = \frac{5}{120}$, $\frac{3}{20} = \frac{18}{120}$, $\frac{1}{2} = \frac{60}{120}$ und
  2. $\frac{5}{8} = \frac{75}{120}$, $\frac{17}{24} = \frac{85}{120}$, $\frac{3}{5} = \frac{72}{120}$, $\frac{1}{4} = \frac{30}{120}$.

  Nun lassen sich die Paare leicht ermitteln, da sie gleichweit von $\frac{3}{8}$ entfernt liegen. Gekürzt lauten sie $\frac{1}{8}$ und $\frac{5}{8}$, $\frac{1}{24}$ und $\frac{17}{24}$, $\frac{3}{20}$ und $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{4}$.

• Gib an, welche Gegenstände sich zur einfachen Darstellung von Brüchen eignen.

  Tipps

  An welchen Gegenständen lässt sich ein Bruch gut veranschaulichen?

  Lösung

  Wenn man genau hinschaut, begegnet man der Mathematik in vielen Bereichen des Lebens.

  Bestellt man eine Pizza, so kann man sich fragen, in wie viele Teile sie denn nun geteilt werden und wie viele Stücke jemand davon bekommen soll. Schon ist die Verwendung von Brüchen hilfreich. Das gilt natürlich in gleicher Weise auch für Torten, welchen das sogenannte Tortendiagramm seinen Namen verdankt.

  Eine Menge von Menschen eignet sich auch hervorragend, um den Anteil an einem Ganzen durch einen Bruch darzustellen. So lässt sich beispielsweise der Anteil der Linkshänder an dieser Menge gut sichtbar machen.

  Zwar nicht völlig ungeeignet, jedoch sicherlich nicht praktisch wäre die Verwendung einer Weltkugel oder eines derartigen Glases, da diese Gegenstände zu komplex sind und sich zur Darstellung von Anteilen nicht gut eignen.

• Bestimme den Bruch, der auf $\frac{1}{4}$ der Strecke zwischen $\frac{3}{8}$ und $\frac{1}{2}$ liegt.

  Tipps

  Führe dir vor Augen, dass Vierteln durch wiederholtes Halbieren erfolgt.

  Veranschauliche dir das beispielsweise an einer Torte.

  Lösung

  Als Ausgangspunkte haben wir die Brüche$\frac{3}{8}$ und $\frac{1}{2}$. Gesucht ist der Bruch auf dem Zahlenstrahl, der auf $\frac{1}{4}$ der Strecke zwischen diesen beiden Brüchen liegt.

  Zuerst muss die Mitte zwischen $\frac{3}{8}$ und $\frac{1}{2}$ gefunden werden. Wir erweitern und sehen, dass diese Mitte zwischen $\frac{6}{16}$ und $\frac{8}{16}$ liegen muss, also bei $\frac{7}{16}$.

  Nun wiederholt sich das Prozedere und wir ermitteln die Mitte zwischen $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$ und $\frac{7}{16}$. Dazu erweitern wir zunächst noch einmal, um weitere dazwischenliegende Brüche zu finden. $\frac{6}{16} = \frac{12}{32}$ und $\frac{7}{16} = \frac{14}{32}$. Dazwischen liegt nun offensichtlich $\frac{13}{32}$. Dies ist der Bruch, den wir gesucht haben.