Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3)

Größenvergleich bei Brüchen – Anordnungen auf dem Zahlenstrahl (3) Übung

• Bestimme die Position auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Zeichne einen Zahlenstrahl mit passenden Einteilungen und trage die Brüche jeweils ein.

  Du kannst die Brüche auch auf den Nenner $6$ erweitern, damit die Aufteilung auf dem Zahlenstrahl für alle Brüche gilt.

  Lösung

  Die Zahlen lassen sich hier gut einordnen, indem man die Strecke zwischen $0$ und $1$ in Abschnitte aufteilt. $\frac{1}{2}$ wird in der Mitte zwischen $0$ und $1$ eingetragen, für $\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{3}$ teilt man die Strecke in $3$ Abschnitte auf.

  Alternativ kannst du auch erweitern:

  Einen gemeinsamen Nenner berechnet man, indem man die einzelnen Nenner miteinander multipliziert, also: $2 \cdot 3 = 6$. Um $\frac{1}{2}$ entsprechend zu erweitern, werden Zähler und Nenner mit $3$ multipliziert. $\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{3}$ werden mit $2$ erweitert. Es ergeben sich $\frac{2}{6}$ und $\frac{4}{6}$.

  Jetzt gilt:

  $0 < \frac{2}{6} < \frac{3}{6} < \frac{4}{6} < 1$

  Oder gekürzt:

  $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$

• Schildere, wie man Brüche auf dem Zahlenstrahl anordnet.

  Tipps

  Den Zahlenstrahl teilst du erst dann auf, wenn du den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche bestimmt und diese entsprechend erweitert hast.

  Die Reihenfolge der Brüche kannst du direkt am Zahlenstrahl ablesen. Zuvor musst du die Brüche aber alle auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

  Lösung

  Die richtige Reihenfolge lautet:

  1. „Wir entnehmen aus der Aufgabe, welche Brüche geordnet werden sollen.“
  2. „Haben die Brüche unterschiedliche Zähler und unterschiedliche Nenner, so wird der kleinste gemeinsame Nenner aller Brüche gesucht.“ Das ist wichtig, damit du die Brüche miteinander vergleichen kannst. Man könnte auch jeden anderen gemeinsamen Nenner suchen, aber der kleinste ist einfach der unkomplizierteste, weil du durch ihn hohe Nenner vermeiden kannst.
  3. „Wir erweitern alle Brüche auf den gefundenen kleinsten gemeinsamen Nenner.“ Erweitern bedeutet, dass du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Der Wert des Bruches verändert sich dadurch nicht. Hast du erst einmal erweitert, kannst du im Kopf die Gegenprobe machen und noch einmal auf den ursprünglichen Bruch kürzen. Wenn du dich verrechnet hast, merkst du es oft durch eine schnelle Gegenprobe.
  4. „Nachdem wir die Brüche entsprechend erweitert haben, unterteilen wir nun den Zahlenstrahl in so viele Abschnitte wie der gemeinsame Nenner groß ist.“ Würden wir nicht den kleinsten gemeinsamen Nenner verwenden, müsstest du hier unangenehm viele Abschnitte einzeichnen.
  5. „Nun können wir die erweiterten Brüche im Zahlenstrahl eintragen.“ Dadurch gewinnst du einen guten Überblick über die Anordnung auf dem Zahlenstrahl.
  6. „Wir lesen die Reihenfolge der eingetragenen Brüche ab.“

• Ordne die Brüche $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{4}{6}$ und $\frac{7}{12}$ der Größe nach.

  Tipps

  Du erweiterst einen Bruch so, dass im Nenner der kleinste gemeinsame Nenner steht.

  Den kleinsten gemeinsamen Nenner ermittelst du, indem du die Vielfachen des einen Nenners mit den Vielfachen des anderen vergleichst.

  Hast du einen gemeinsamen Nenner gefunden, musst du nur noch einen Blick auf die verschiedenen Zähler werfen und diese vergleichen.

  Lösung

  Wir wollen die Brüche $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{4}{6}$ und $\frac{7}{12}$ der Größe nach ordnen.

  Damit die Brüche auf dem Zahlenstrahl eingetragen werden können, erweitern wir die einzelnen Brüche, sodass alle Brüche einen gemeinsamen Nenner haben. Am elegantesten ist es, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Dieser ist in diesem Fall $12$. Erkennt man diesen nicht sofort, hilft es, die Vielfachenmengen der verschiedenen Nenner wie folgt aufzuschreiben:

  • $V_2=\{ 2; 4; 6; 8; 10; 12; \dots \}$
  • $V_4=\{ 4; 8; 12; \dots \}$
  • $V_6=\{ 6; 12; \dots \}$

  Die Vielfachenmenge von$12$ brauchst du nicht aufschreiben, da $12$ der kleinste gemeinsame Nenner ist. Das erkennst du, wenn du die obigen Vielfachenmengen miteinander vergleichst.

  Wir unterteilen also den Zahlenstrahl in $12$ Abschnitte und tragen die erweiterten Brüche $\frac{6}{12}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{8}{12}$ und $\frac{7}{12}$ in den Zahlenstrahl ein.

  Es lässt sich nun leicht die Reihenfolge bestimmen. Nicht erweitert lautet sie:

  $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{7}{12} < \frac{4}{6}$

• Ermittle, welcher Bruch in der Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{5}$ liegt.

  Tipps

  Brüche werden mit natürlichen Zahlen erweitert.

  Die Brüche behalten beim Erweitern ihren ursprünglichen Wert. Du musst beim Erweitern also Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.

  Lösung

  Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu ermitteln, werden diese zuerst gleichnamig gemacht. Man sucht also einen gemeinsamen Nenner.

  In unserem Beispiel suchen wir den gemeinsamen Nenner von $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{5}$. Hier bietet sich $2\cdot 5 = 10$ an.

  Wir erweitern nun mit $5$ und $2$ und erhalten $\frac{5}{10}$ und $\frac{6}{10}$. Das reicht noch nicht, weil wir zwischen $5$ und $6$ keine natürliche Zahl finden können, sodass wir noch einmal mit $2$ erweitern. $\frac{5}{10} = \frac{10}{20}$ und $\frac{6}{10} = \frac{12}{20}$.

  Hier können wir leicht eine Mitte finden. Sie liegt bei $\frac{11}{20}$.

• Bestimme die wahren Aussagen über Bruchzahlen.

  Tipps

  Brüche lassen sich wie natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl anordnen.

  Zwischen zwei unterschiedlichen Brüchen befinden sich unendlich viele andere Brüche.

  Lösung

  Überprüfen wir die Aussagen.

  • „Je weiter ein Bruch auf dem Zahlenstrahl links liegt, desto größer ist er.“ Das stimmt nicht. Brüche verhalten sich in der Hinsicht genau wie natürliche Zahlen. Je weiter rechts, also von der $0$ entfernt, sie liegen, desto größer sind sie.

  • „Um Brüche vergleichen zu können, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben.“ Ja, das ist richtig. Um Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, müssen sie mit einer natürlichen Zahl erweitert werden.

  • „Einen gemeinsamen Nenner erhält man, indem die Nenner der beiden Brüche multipliziert werden.“ Das ist auf jeden Fall ein Weg, der immer funktioniert. Allerdings können manchmal ziemlich große Nenner zustande kommen. Dann ist es manchmal einfacher, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu ermitteln.

  • „Brüche, die größer als $1$ sind, können keinen gemeinsamen Nenner haben.“ Das ist natürlich Unsinn. Jeder Bruch besteht aus Zähler und Nenner und kann somit erweitert und gekürzt werden.

  • „Zwischen zwei verschiedenen Brüchen gibt es immer eine Mitte.“ Ja, das mag schwer vorstellbar klingen, ist aber richtig. Unabhängig davon, wie nah zwei verschiedene Brüche nebeneinander liegen, existiert immer eine Mitte.

• Ermittle die beiden Zahlen mit dem gleichen Abstand zur Zahl $\frac{1}{2}$.

  Tipps

  Wie groß ist der Abstand der einen Zahl von $\frac{1}{2}$?

  Erweitere $\frac{1}{2}$, wenn notwendig.

  Wie man Brüche erweitert, hast du bereits gelernt. Manchmal liegen erweiterte Brüche vor, die du dann kürzen kannst, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividierst.

  Lösung

  Hier suchen wir nicht die Mitte zwischen zwei Brüchen, sondern die Brüche, zwischen denen diese Mitte liegt.

  In unserer Aufgabe heißt diese Mitte $\frac{1}{2}$. Gegeben sind $8$ Brüche, die zu $4$ Paaren vereinigt werden sollen.

  Zuerst bemerkst du bestimmt, dass einige Brüche nicht gekürzt sind. Das sollten wir zunächst nachholen, um uns später unnötige Rechenarbeit zu ersparen:

  • $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
  • $\frac{30}{90} = \frac{1}{3}$
  • $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

  Nun haben wir uns viel Rechenarbeit erspart und können mit der eigentlichen Aufgabe loslegen.

  Da $\frac{1}{2}$ in der Mitte der Brüche liegt, ist es auch nicht entscheidend, von welchen Brüchen wir ausgehen. Fangen wir einfach mit $\frac{3}{4}$ an.

  Schauen wir uns dazu an, wie $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ zueinander stehen. Wir erweitern $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ und sehen, dass $\frac{3}{4}$ um $\frac{1}{4}$ größer ist als $\frac{2}{4}$. Gehen wir nun von $\frac{1}{2}$ die gleiche Strecke in die andere Richtung. Wir erhalten $\frac{1}{4}$.

  In ähnlicher Weise findest du auch die anderen Paare.