Flächeninhalt und Winkel von Parallelogrammen

Flächeninhalt und Winkel von Parallelogrammen Übung

• Gib die Herleitung der Flächenformel für ein Parallelogramm wieder.

  Tipps

  Verwende $\alpha+\beta=180^\circ$. Das bedeutet, dass $\alpha$ und $\beta$ sich zu einem gestreckten Winkel ergänzen.

  Das kannst du hier an Beispielwinkeln erkennen.

  Verwende die Definition des Sinus:

  $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Die Hypotenuse in dem abgebildeten blauen rechtwinkligen Dreieck ist $b$ und eine der Katheten $h$.

  Beachte, dass $a$ und $\alpha$ recht ähnlich aussehen. Schau ganz genau hin.

  Lösung

  Du kannst an einer Seite des Parallelogramms ein rechtwinkliges Dreieck anfügen:

  • Die Hypotenuse dieses Dreiecks ist $b$.
  • Der Winkel bei $B$ ist $180^\circ-\beta=\alpha$.
  • Die Höhe $h$ ist die Gegenkathete von $\alpha$.

  Du weißt bereits, dass $A=a\cdot h$ ist. Dabei ist $h$ die Höhe, also der Abstand der parallelen Seiten $a$ und $c$ zueinander.

  Wenn du nun die Flächenformel ohne die Höhe angeben willst, verwendest du die Definition des Sinus:

  $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  • Es ist also $\sin(\alpha)=\frac hb$.
  • Multipliziere nun mit $b$. So erhältst du $b\cdot \sin(\alpha)=h$.
  • Setze dies in die Flächenformel $A=a\cdot h$ für ein Parallelogramm ein. So erhältst du $A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

  Übrigens: Es gilt $\alpha+\beta=180^\circ$ und damit $\alpha=180^\circ-\beta$. So erhältst du $\sin(\alpha)=\sin(180^\circ-\beta)=\sin(\beta)$. Nun kannst du die Formel auch mit $\beta$ aufschreiben: $A=a\cdot b\cdot \sin(\beta)$.

• Gib die Formeln für spezielle Winkel an.

  Tipps

  Hier siehst du einen Ausschnitt einer Tabelle mit speziellen Funktionswerten der trigonometrischen Funktionen.

  Achte darauf, den Sinus zu verwenden.

  Setze die speziellen Funktionswerte in die obige Formel ein.

  Es ist übrigens $\sin(90^\circ)=1$.

  Lösung

  Diesem Tabellenausschnitt kannst du spezielle Sinuswerte entnehmen. Diese kannst du dann in die Formel $A=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)$ für die Fläche eines Parallelogramms einsetzen.

  • Für $\alpha=30^\circ$ ist $\sin(\alpha)=\frac12$ und damit $A=\frac12\cdot a\cdot b$.
  • Mit $\alpha=45^\circ$ und $\sin(\alpha)=\frac12\cdot\sqrt2 $ erhältst du $A=\frac12\cdot \sqrt 2\cdot a\cdot b$.
  • Der Sinuswert von $\alpha=60^\circ$ ist $\sin(\alpha)=\frac12\cdot\sqrt3 $. So kommst du zu $A=\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a\cdot b$.
  • Schließlich ist für $\alpha=90^\circ$ der Sinuswert $\sin(\alpha)=1$. Das führt zu $A=a\cdot b$. Bei diesem Parallelogramm handelt es sich um ein Rechteck.

• Berechne für $\alpha=30^\circ$ die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

  Tipps

  Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$.

  Du kannst damit die Formel vereinfachen zu $A=\frac12\cdot a\cdot b$.

  Setze die bekannten Größen in diese Formel ein.

  Alle Werte, die du eintragen sollst, sind ganzzahlig.

  Lösung

  Für $\alpha=30^\circ$ ist $\sin(\alpha)=\frac12$. Damit kannst du die Flächenformel wie folgt angeben: $A=\frac12\cdot a\cdot b$.

  Nun kannst du zu jedem der gegebenen Parallelogramme den Flächeninhalt berechnen.

  Parallelogramm 1 mit $a=12~\text{cm}$ und $b=5~\text{cm}$

  Du erhältst dann $A=\frac12\cdot 12~\text{cm}\cdot 5~\text{cm}=30~\text{cm}^2$.

  Parallelogramm 2 mit $a=15~\text{cm}$ und $b=6~\text{cm}$

  Nun kannst du den Flächeninhalt $A=\frac12\cdot 15~\text{cm}\cdot 6~\text{cm}=45~\text{cm}^2$ berechnen.

  Parallelogramm 3 mit $a=8~\text{cm}$ und $b=12~\text{cm}$

  Auch hier erhältst du den Flächeninhalt durch Einsetzen: $A=\frac12\cdot 8~\text{cm}\cdot 12~\text{cm}=48~\text{cm}^2$.

• Leite mit Hilfe der Flächeninhaltsformel für ein Parallelogramm eine solche Formel für Dreiecke her.

  Tipps

  Schneide einmal ein Parallelogramm aus. Dann nimmst du eine Schere und schneidest dieses Parallelogramm entlang einer Diagonalen in zwei Hälften.

  Die beiden Dreiecke, die auf diese Weise entstehen, sind deckungsgleich. Man sagt dazu auch kongruent.

  Beachte, dass ein Rechteck ein spezielles Parallelogramm ist.

  Darüber hinaus sind nicht alle Dreiecke rechtwinklig.

  Lösung

  An diesem Bild kannst du anschaulich erkennen, dass du durch Zerschneiden eines Parallelogramms entlang einer Diagonalen zwei Hälften erhältst.

  • Jede dieser Hälften ist ein Dreieck.
  • Die beiden Dreiecke sind kongruent. Das bedeutet, dass sie den gleichen Flächeninhalt haben.

  Sei $A$ der Flächeninhalt des Parallelogramms und $A_{\triangle}$ der des Dreiecks, dann gilt $A=2\cdot A_{\triangle}$. Du kannst nun durch $2$ dividieren und erhältst so $A_{\triangle}=\frac12\cdot A$.

  Zuletzt verwendest du die Formel $A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

  Du kommst dann zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

  Du siehst, du kannst auch den Flächeninhalt eines Dreiecks ohne eine Höhe berechnen, wenn du zwei Seiten sowie den von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel kennst.

  Wenn zum Beispiel $\alpha=30^\circ$ und damit $\sin(\alpha)=\frac12$ ist, erhältst du $A_{\triangle}=\frac14\cdot a\cdot b$. Dies gilt allerdings nur in diesem speziellen Fall.

• Benenne die Besonderheiten für $\alpha=90^\circ$.

  Tipps

  Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A=a\cdot b$.

  Hier siehst du das Haus der Vierecke. Es sortiert die Vierecke nach ihren Eigenschaften. Das Quadrat hat die meisten besonderen Eigenschaften. Jedes Viereck in diesem Haus besitzt alle Eigenschaften der Vierecke unter ihm. Schau es dir doch einmal etwas genauer an:

  • Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.
  • Das Drachenviereck erkennst du in der mittleren Etage ganz links.

  Lösung

  Wenn $\alpha=90^\circ$ ist, stehen die Seiten $a$ und $b$ senkrecht aufeinander. Weißt du schon, welches spezielle Viereck du dann erhältst?

  Du erhältst dann ein Rechteck. Für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ erhältst du den Flächeninhalt mit der Formel $a\cdot b$.

  Das ist genau die Formel, welche du oben sehen kannst.

• Ermittle alle fehlenden Größen eines Parallelogramms.

  Tipps

  Beachte die folgenden Identitäten:

  • $a=c$
  • $b=d$
  • $\alpha=\gamma$
  • $\beta=\delta$

  Winkel, die in einem Parallelogramm benachbart sind, ergänzen sich zu $180^\circ$.

  Es ist $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.

  Lösung

  Für den speziellen Winkel $\alpha=60^\circ$ erhältst du mit $\sin(\alpha)=\frac12\cdot \sqrt 3$ die Formel:

  $A=\frac12\cdot\sqrt 3\cdot a\cdot b$.

  Da $b=d$ ist gilt somit $A=\frac12\cdot\sqrt 3\cdot a\cdot d$.

  Setze nun den bekannten Flächeninhalt sowie die bekannte Seite $d$ in diese Formel ein und forme nach $a$ um:

  $\begin{array}{rclll} 63~\text{cm}^2&=&\frac12\cdot\sqrt 3\cdot a\cdot 7\cdot\sqrt 3~\text{cm}\\ &=&\frac{21}2\cdot a~\text{cm}&|&\cdot \frac2{12}~\text{cm}\\ 6~\text{cm}&=&a \end{array}$

  So! Fast fertig. Verwende noch die Eigenschaften des Parallelogramms:

  • $a=c=6~\text{cm}$
  • $b=d=7\cdot\sqrt 3~\text{cm}$
  • $\alpha=\gamma=60^\circ$
  • $\beta=\delta=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.