Flächeneinheiten

Flächeneinheiten Übung

• Beschreibe, wie du Flächeninhalte messen kannst.

  Tipps

  Längeneinheiten sind $\text{mm}$ oder $\text{cm}$ oder $\text{dm}$ oder $\text{m}$ ...

  Längen werden in Längeneinheiten gemessen.

  Lösung

  Du weißt noch, wie Längen gemessen werden. Hierfür verwendest du Längeneinheiten.

  Bei den Längeneinheiten gibt man eine bestimmte Länge als Grundeinheit vor. Nun schaut man, wie oft diese Länge in eine zu messende Strecke passt.

  So ähnlich ist das auch bei Flächen, beziehungsweise Flächeninhalten. Flächeninhalte werden mit Flächeneinheiten gemessen.

  • Du verwendest zum Beispiel ein Quadrat mit der Kantenlänge $1~\text{dm}$. Dieses hat den Flächeninhalt $1~\text{dm}^2$. Das heißt: Quadratdezimeter. Ein solches Quadrat ist oben links in Grün dargestellt.
  • Nun schaust du, wie viele solcher Quadrate in eine gegebene Fläche passen. Die entsprechende Anzahl ist der Flächeninhalt.

  In die abgebildete blaue Figur passen $5$ Quadrate mit dem Flächeninhalt $1~\text{dm}^2$, also hat die Figur den Flächeninhalt $5~\text{dm}^2$.

• Gib den Flächeninhalt $1,273~\text{dm}^2$ in $\text{mm}^2$ an.

  Tipps

  Merke dir:

  • Wenn du eine größere Flächeneinheit in eine kleinere Flächeneinheit umwandeln möchtest, musst du multiplizieren.
  • Wenn du umgekehrt eine kleinere Flächeneinheit in eine größere Flächeneinheit umwandeln möchtest, musst du dividieren.

  Du weißt sicher noch, dass $1~\text{dm}=10~\text{cm}$ ist.

  In dem rechten Bild siehst du ein Quadrat mit dem Flächeninhalt ein Quadratdezimeter. $10$ gelbe Quadrate mit dem Flächeninhalt ein Quadratzentimeter sind ganz rechts eingezeichnet. Es passen zehn solcher Spalten in das grüne Quadrat.

  Merke dir dieses Umrechnungsschema.

  Lösung

  Hier siehst du, wie du Flächeneinheiten umrechnen kannst:

  • Von einer größeren zu einer kleineren Flächeneinheit musst du multiplizieren.
  • Von einer kleineren zu einer größeren Flächeneinheit musst du dividieren.

  In dieser Aufgabe geht es darum, von einer größeren ($\text{dm}^2$) in eine kleinere ($\text{mm}^2$) Flächeneinheit umzurechnen. Dafür rechnest du zunächst in $\text{cm}^2$ um. Du musst jeweils multiplizieren:

  • $1,273~\text{dm}^2=1,273\cdot 100~\text{cm}^2=127,3~\text{cm}^2$;
  • $127,3~\text{cm}^2=127,3\cdot 100~\text{mm}^2=12730~\text{mm}^2$.

  Das bedeutet, dass $1,273~\text{dm}^2$ dem Flächeninhalt $12730~\text{mm}^2$ entspricht.

  Du hättest übrigens auch direkt mit $100\cdot 100=10000$ multiplizieren können.

• Ermittle jeweils den Flächeninhalt.

  Tipps

  Achte auf die Flächeneinheit.

  Es ist jeweils ein Quadrat mit einem Quadratdezimeter angegeben.

  Überlege, wie oft dieses Quadrat in die gegebene Figur passt.

  Die Quadrate sind voneinander getrennt. Du musst diese schließlich noch zählen.

  Lösung

  Wenn du den Flächeninhalt einer gegebenen Figur messen möchtest, schaust du, wie oft ein bekanntes Flächenstück in diese Figur hineinpasst.

  Am Beispiel der abgebildeten blauen Fläche bedeutet dies: Es passen $7$ eines grünen Quadrates in diese Fläche. Das grüne Quadrat hat den Flächeninhalt $1~\text{dm}^2$. Damit hat die blaue Fläche den Inhalt $7~\text{dm}^2$.

  • Die orange Figur hat den Flächeninhalt $6~\text{dm}^2$.
  • Die graue Figur hat den Flächeninhalt $9~\text{dm}^2$.
  • Die hellblaue Figur hat den Flächeninhalt $10~\text{dm}^2$.

• Bestimme, welche Flächeninhalte gleich sind.

  Tipps

  Verwende die hier abgebildeten Umrechnungen.

  Es wird jeweils von einer größeren in eine kleinere Flächeneinheit umgerechnet. Du musst also jeweils multiplizieren.

  Lösung

  Da jeweils von einer größeren in eine kleinere Flächeneinheit umgerechnet wird, musst du jeweils multiplizieren.

  $\begin{array}{rcl} 3,14~\text{a}&=&3,14\cdot 100~\text{m}^2\\ &=&314~\text{m}^2\\ &=&314\cdot 100~\text{dm}^2\\ &=&31400~\text{dm}^2 \end{array}$

  Ebenso können die übrigen Größen umgerechnet werden.

  • $0,314~\text{ha}=0,314\cdot 100~\text{a}=31,4~\text{a}=31,4\cdot 100~\text{m}^2=3140~\text{m}^2$
  • $31,4~\text{m}^2=31,4\cdot 100~\text{dm}^2=3140~\text{dm}^2$
  • $3,14~\text{m}^2=3,14\cdot 100~\text{dm}^2=314~\text{dm}^2=314\cdot 100~\text{cm}^2=31400~\text{cm}^2$
  • $0,0314~\text{dm}^2=0,0314\cdot 100~\text{cm}^2=3,14~\text{cm}^2=3,14\cdot 100~\text{mm}^2=314~\text{mm}^2$

• Benenne die fehlenden Flächeneinheiten.

  Tipps

  Hast du schon einmal in den Nachrichten von Waldbränden gehört? Dort wird oft von einigen Hektar Wald gesprochen.

  • Mit Ar werden Flächen wie ein Garten oder eine kleinere Wiese gemessen.
  • Mit Hektar werden schon größere Flächen gemessen: große Felder oder Wälder.

  Merke dir für die Umrechnungen:

  • Zum Umwandeln einer größeren in eine kleinere Flächeneinheit musst du multiplizieren.
  • Zum Umwandeln einer kleineren in eine größere Flächeneinheit musst du dividieren.

  Lösung

  Hier siehst du die vollständigen Umrechnungen von gebräuchlichen Flächeneinheiten.

  Beginnen wir ganz links.

  • Wenn ein Quadrat eine Kantenlänge von $1~\text{mm}$ hat, hat das Quadrat den Flächeninhalt $1~\text{mm}^2$. In $\text{mm}^2$ werden sehr kleine Flächen gemessen, zum Beispiel ein kleiner Punkt.
  • Bei einer Kantenlänge von $1~\text{cm}$ kommst du zu einem Flächeninhalt von $1~\text{cm}^2$. In dieser Flächeneinheit kannst du den Flächeninhalt eines DIN-A4-Blattes aus deinem Block messen.
  • Zu der Kantenlänge $\text{dm}$ gehört der Flächeninhalt $\text{dm}^2$. Damit kannst du die Fläche deiner Schreibtischplatte messen.
  • Sei die Kantenlänge eines Quadrates $1~\text{m}$, dann gehört dazu der Flächeninhalt $1~\text{m}^2$. Die Grundflächen von Wohnungen werden in $\text{m}^2$ angegeben.
  • Du kannst erkennen, dass die Kantenlängen immer mit $10$ multipliziert werden.
  • Beträgt die Kantenlänge eines Quadrates $10~\text{m}$, so entspricht dies einem Flächeninhalt von $100~\text{m}^2$. Dieser wird auch als $1$ Ar bzw. $1~\text{a}$ bezeichnet. Dein Klassenraum könnte vielleicht $1~\text{a}$ groß sein. Miss doch einmal nach.
  • Der Kantenlänge eines Quadrates von $10\cdot 10~\text{m}=100~\text{m}$ entspricht der Flächeninhalt $10000~\text{m}^2$. Dieser wird als $1$ Hektar bzw. $1~\text{ha}$ bezeichnet. Große Flächen, wie zum Beispiel ein Fußballfeld oder Wälder, werden in Hektar angegeben.

  Merke dir für die Umrechnungen:

  • Zum Umwandeln einer größeren in eine kleinere Flächeneinheit musst du multiplizieren.
  • Zum Umwandeln einer kleineren in eine größere Flächeneinheit musst du dividieren.

• Berechne die Summe der Flächeninhalte und gib diese in verschiedenen Flächeneinheiten an.

  Tipps

  Du kannst Flächeninhalte nur addieren, wenn sie in derselben Flächeneinheit gegeben sind.

  Wandle zunächst alle Flächeninhalte in eine von dir gewählte Flächeneinheit um.

  Das Ergebnis kannst du schließlich in die vorgegebenen Flächeneinheiten umrechnen.

  Wenn Arya auch mitrechnen würde und die Fläche in Hektar angeben würde, käme $0,03867~\text{ha}$ heraus.

  Lösung

  Wenn du Flächeninhalte addieren oder subtrahieren möchtest, musst du diese zunächst in dieselbe Flächeneinheit umrechnen.

  Lass uns mit Ida beginnen. Wir verwenden dann $\text{m}^2$.

  • Idas Fläche ist bereits in Quadratmetern gegeben: $350~\text{m}^2$
  • Annas Fläche: $0,23~\text{a}=0,23\cdot 100~\text{m}^2=23~\text{m}^2$
  • Lukes Fläche: $1250~\text{dm}^2=1250:100~\text{m}^2=12,50~\text{m}^2$
  • Pauls Fläche: $12000~\text{cm}^2=12000:100~\text{dm}^2=120~\text{dm}^2=120:100~\text{m}^2=1,2~\text{m}^2$

  Nun kannst du die Flächen addieren: $350~\text{m}^2+23~\text{m}^2+12,5~\text{m}^2+1,2~\text{m}^2=386,7~\text{m}^2$.

  Zuletzt rechnest du das Ergebnis noch in die anderen Flächeneinheiten um. Die Freunde liefern folgende Ergebnisse:

  • Anna: $~386,7~\text{m}^2=386,7:100~\text{a}=3,867~\text{a}$
  • Luke: $~386,7~\text{m}^2=386,7\cdot 100~\text{dm}^2=38670~\text{dm}^2$
  • Paul: $~386,7~\text{m}^2=386,7\cdot 100~\text{dm}^2=38670~\text{dm}^2=38670\cdot 100~\text{cm}^2=3867000~\text{cm}^2$