Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen (Übungsvideo)

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen (Übungsvideo) Übung

• Bestimme, wie viel Liter Fruchtcocktail entstehen.

  Tipps

  Addiere geschickt alle Brüche miteinander.

  Das Kommutativgesetz besagt, dass man Brüche bei der Addition miteinander vertauschen darf. Ob man $\frac{1}{2} + \frac{5}{7}$ oder $\frac{5}{7} + \frac{1}{2}$ rechnet, ist egal. Es kommt bei beidem das gleiche Ergebnis heraus.

  Beispiel: $\frac{1}{2} + \frac{5}{7} = \frac{5}{7} + \frac{1}{2} = \frac{17}{14}$

  Lösung

  Um zu bestimmen, wie viel Fruchtcocktail entsteht, müssen wir die Brüche addieren. Wir nutzen das Kommutativgesetz und dann das Assoziativgesetz, um uns das Rechnen ein bisschen einfacher zu machen. Wir müssen also rechnen:
  $\frac{1}{2}~l + \frac{3}{8}~l + \frac{1}{2}~l + \frac{1}{8}~l$

  Das Kommutativgesetz erlaubt es uns, die Brüche bei der Addition zu vertauschen. Sinnvollerweise vertauschen wir die Brüche so, dass Brüche mit dem gleichen Nenner zusammenstehen. Wir schreiben die Gleichung also so auf:
  $\frac{1}{2}~l + \frac{1}{2}~l + \frac{3}{8}~l + \frac{1}{8}~l$

  Das Assoziativgesetz erlaubt es uns in unserer Gleichung Klammern zu setzen, um die Gleichung für uns übersichtlicher zu machen. Wir rechnen:

  $\begin{align} &\left( \frac{1}{2}~l + \frac{1}{2}~l \right)+ \left( \frac{3}{8}~l + \frac{1}{8}~l \right) \\ &= \frac{2}{2}~l + \frac{4}{8}~l\\ &= 1~l + \frac{4}{8}~l\\ &= 1\frac{1}{2} ~l \end{align}$

• Berechne die Summen und Produkte der Brüche.

  Tipps

  Bei einem Bruch nennt man die obere Zahl über dem Bruchstrich Zähler und die untere Zahl Nenner. Der Zähler bei dem Bruch $\frac79$ ist $7$ und der Nenner ist $9$

  Beim Multiplizieren von Brüchen darf man Brüche kürzen. Hier kürzen wir die $3$ im Zähler mit der $3$ im Nenner und die $8$ im Zähler mit der $8$ im Nenner.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz erlaubt es beim Addieren oder Multiplizieren von Zahlen (dazu gehören auch Brüche) die Zahlen untereinander zu vertauschen. Bei Brüchen bietet es sich daher an, die Zahlen so zu vertauschen, dass alle Zahlen mit dem gleichen Nenner nebeneinander stehen, da man beim Addieren von Brüchen alle Zahlen auf den gleichen Nenner bringen muss. Durch das Assoziativgesetz dürfen wir zwischen den Brüchen Klammern setzen. Dabei macht es Sinn die Klammern so zu setzen, dass alle Brüche mit dem gleichen Nenner von zwei Klammern umschlossen werden.

  1. Für unsere erste Additionsaufgabe folgt daraus:

  $\frac{3}{7} + \frac{5}{8} + \frac{3}{8} + \frac{4}{7}$

  $ = \frac{3}{7} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8} + \frac{3}{8}$

  $ = (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8})$

  $ = \frac{7}{7} + \frac{8}{8}$

  $ = 1 + 1$

  $ = 2$

  2. Für die erste Multiplikationsaufgabe folgt daraus:

  $ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2}$

  $ = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}$

  $ = (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) \cdot (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5})$

  Man kann die $3$ im Zähler mit der $3$ im Nenner kürzen. Genauso kann man die $4$ im Zähler mit der $4$ im Nenner küren. Analog kann man das mit der $2$ und $5$ machen.

  $ = (\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}) \cdot (\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1})$

  $ = (1 \cdot 1) \cdot (1 \cdot 1)$

  $ = 1 \cdot 1$

  $ = 1$

  3. Für die zweite Additionsaufgabe, folgt daraus:

  $ \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}$

  $ = \frac{1}{8} + \frac{5}{8} + \frac{3}{4}$

  $ = (\frac{1}{8} + \frac{5}{8}) + \frac{3}{4}$

  $ = \frac{6}{8} + \frac{3}{4}$

  Den Bruch $\frac{6}{8}$ kann man durch $2$ auf $\frac{3}{4}$ kürzen.

  $ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$

  $ = \frac{6}{4}$

  Diesen Bruch können wir noch weiter kürzen

  $ = \frac{3}{2}$

• Leite die Terme her, die mit dem Kommutativ- und Assoziativgesetz umgeformt wurden.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz besagt, dass wir die Brüche mit demselben Nenner nebeneinander setzen dürfen. Der Nenner ist immer die Zahl unter dem Bruchstrich.

  Aufgrund des Assoziativgesetzes setzen wir Klammern um Brüche mit demselben Nenner.

  Lösung

  Das Assoziativgesetz erlaubt es uns Klammern in einer Gleichung zu setzen, um besser sehen zu können, was man zusammen rechnen sollte. Dabei macht es Sinn die Klammern so zu setzen, dass Brüche mit dem gleichen Nenner von Klammern eingeschlossen werden.

  1. $\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{4}= (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}) \cdot (\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2})$

  Bei dieser Gleichung sind die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes so geordnet, dass alle Brüche mit demselben Nenner nebeneinander stehen. Durch das Assoziativgesetz sind die Brüche mit demselben Nenner in Klammern eingeschlossen.

  2. $\frac{3}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{3}= \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{4}$

  Bei dieser Gleichung wurden die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes nicht geordnet, sodass die Brüche mit demselben Nenner nicht nebeneinander stehen.

  3. $\frac{8}{6} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{2}{3}= (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (\frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6})$

  Bei dieser Gleichung sind die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes so geordnet, dass alle Brüche mit demselben Nenner nebeneinander stehen. Durch das Assoziativgesetz sind die Brüche mit demselben Nenner in Klammern eingeschlossen.

  4. $\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}= 1 \cdot 1 =1$

  Bei dieser Gleichung wurde das Ergebnis des Terms nach geschickter Klammersetzung direkt berechnet.

• Prüfe mithilfe des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes, welche Terme ergebnisgleich sind.

  Tipps

  Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, kann man auch mit einem gemischten Bruch darstellen. Die $9$ geht ein ganzes mal in die $11$ rein. Daher schreibt man vor dem Bruch eine $1$. Als Rest bleibt $2$ übrig. Daher schreibt man in den Zähler $2$ und in den Nenner $9$.

  Brüche mit unterschiedlichem Nenner addiert man so: $\frac12 + \frac23=\frac36 + \frac46=\frac76=1\frac16$

  Alle Ergebnisse sind ganzzahlig, d.h. die enthalten keine Brüche mehr. Es sind $2$, $3$, $4$ und $6$.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz erlaubt es uns Brüche bei der Addition und Multiplikation zu vertauschen. Dabei macht es Sinn die Brüche nebeneinander zu stellen, die den gleichen Nenner besitzen.
  Das Assoziativgesetz erlaubt es uns bei der Addition und Multiplikation Klammern zu setzen, die übersichtlicher darstellen, was wir zuerst rechnen sollen. Dabei macht es Sinn die Klammern so zu setzen, dass die Brüche mit dem gleichen Nenner zusammengefasst werden.

  $\begin{align} 1.~\frac{2}{3} + \frac{5}{8} + \frac{1}{3} + 1\frac{1}{8} + \frac{1}{4} &= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{5}{8} + 1\frac{1}{8} + \frac{1}{4} \\ &= (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{5}{8} + 1\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{3} + (\frac{5}{8}+ \frac{9}{8}) + \frac{1}{4} \\ &= 1 + \frac{14}{8} + \frac{2}{8} \\ &= 1 + \frac{16}{8} \\ &= 1 + 2 \\ &= 3 \end{align}$

  $\begin{align} 2.~\frac{2}{7} + \frac{3}{4} + \frac{5}{7} + \frac{5}{4} &= \frac{2}{7} + \frac{5}{7} + \frac{3}{4} + \frac{5}{4} \\ &= (\frac{2}{7} + \frac{5}{7}) + (\frac{3}{4} + \frac{5}{4}) \\ &= \frac{7}{7} + \frac{8}{4} \\ &= 1 + 2 \\ &= 3 \end{align}$

  $\begin{align} 3.~\frac{1}{9} + \frac{3}{6} + \frac{7}{6} + \frac{2}{9} &= \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{6} + \frac{7}{6} \\ &= (\frac{1}{9} + \frac{2}{9}) + (\frac{3}{6} + \frac{7}{6}) \\ &= \frac{3}{9} + \frac{10}{6} \\ &= \frac{6}{18} + \frac{30}{18} \\ &= \frac{36}{18} \\ &= 2 \end{align}$

  $\begin{align} 4.~\frac{4}{10} + \frac{2}{4} + \frac{4}{10} + \frac{2}{4} + \frac{2}{10} &= \frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{2}{10} + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \\ &= (\frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{2}{10}) + (\frac{2}{4} + \frac{2}{4}) \\ &= \frac{10}{10} + \frac{4}{4} \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{align}$

  $\begin{align} 5.~\frac{3}{8} + \frac{4}{7} + \frac{5}{6} + \frac{9}{8} + \frac{4}{42} + \frac{42}{42} &= \frac{3}{8} + \frac{9}{8} + \frac{4}{7} + \frac{5}{6} + \frac{4}{42}+ \frac{42}{42} \\ &= (\frac{3}{8} + \frac{9}{8}) + \frac{4}{7} + \frac{5}{6} + (\frac{4}{42} + \frac{42}{42}) \\ &= \frac{12}{8} + \frac{4}{7} + \frac{5}{6} + \frac{46}{42} \\ &= \frac{12}{8} + \frac{24}{42} + \frac{35}{42} + \frac{46}{42} \\ &= \frac{12}{8} + (\frac{24}{42} + \frac{35}{42} + \frac{46}{42}) \\ &= \frac{12}{8} + \frac{105}{42} \\ &= 1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} \\ &= 4 \end{align}$

  $\begin{align} 6.~\frac{10}{6} + \frac{5}{21} + \frac{6}{6} + \frac{2}{21} + \frac{21}{21} &= \frac{10}{6} + \frac{6}{6} + \frac{5}{21} + \frac{2}{21} + \frac{21}{21} \\ &= (\frac{10}{6} + \frac{6}{6}) + (\frac{5}{21} + \frac{2}{21} + \frac{21}{21}) \\ &= \frac{16}{6} + \frac{28}{21} \\ &=2\frac23 +1\frac13 \\ &= 4 \end{align}$

  $\begin{align} 7.~\frac{3}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{5}{2} &= \frac{3}{4} + \frac{5}{4} + \frac{3}{2}+ \frac{5}{2} \\ &= (\frac{3}{4} + \frac{5}{4}) + (\frac{3}{2}+ \frac{5}{2}) \\ &= \frac{8}{4} + \frac{8}{2} \\ &= 2 + 4 \\ &= 6 \end{align}$

  $\begin{align} 8.~\frac{3}{6} + \frac{8}{4} + \frac{8}{6} + \frac{7}{4} + \frac{5}{12} &= \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{8}{4} + \frac{7}{4} + \frac{5}{12} \\ &= (\frac{3}{6} + \frac{8}{6}) + (\frac{8}{4} + \frac{7}{4}) + \frac{5}{12} \\ &= \frac{11}{6} + \frac{15}{4} + \frac{5}{12} \\ &= \frac{22}{12} + \frac{45}{12} + \frac{5}{12} \\ &= \frac{72}{12} \\ &= 6 \end{align}$

• Berechne die Summe des Terms.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz erlaubt es, Brüche in der Gleichung umzustellen. Dabei macht es Sinn die Brüche so umzustellen, dass Brüche mit dem gleichen Nenner nebeneinander stehen.

  In dem Bruch $\frac47$ ist der Nenner $4$ und Zähler ist $7$.

  Hier siehst du ein Beispiel, wie man die Brüche mithilfe des Kommutativgesetzes so umstellt, dass alle Brüche mit dem gleichen Nenner nebeneinander stehen.

  Lösung

  Durch das Kommutativgesetz dürfen wir die Brüche umstellen. Dabei macht es Sinn die Brüche so umzustellen, dass alle Brüche mit dem gleichen Nenner zusammen stehen. Wir stellen also die Brüche so um, dass wir erst alle Brüche mit dem Nenner $5$, dann $7$, dann $13$ und dann $17$ haben. Danach setzen wir laut Assoziativgesetz Klammern und berechnen das Ergebnis.

  $\begin{array}{ll} & \dfrac25 + \dfrac{4}{17}+ \dfrac27 + \dfrac{13}{17} + \dfrac57+ \dfrac{5}{13} + \dfrac{8}{13} + \dfrac35 \\ & \\ =& \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{7}+ \dfrac{5}{7} + \dfrac{5}{13} + \dfrac{8}{13} + \dfrac{4}{17} + \dfrac{13}{17} \\ & \\ = & (\dfrac25+\dfrac35)+(\dfrac27+\dfrac57)+(\dfrac{5}{13}+\dfrac{8}{13})+(\dfrac{13}{17}+\dfrac{4}{17}) \\ & \\ =& \dfrac{5}{5} + \dfrac{7}{7} + \dfrac{13}{13} + \dfrac{17}{17} \\ & \\ = & 1+1+1+1 \\ & \\ = & 4 \end{array}$

• Berechne das Ergebnis der Terme mithilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes.

  Tipps

  Möchte man Brüche addieren oder subtrahieren, bringt man deren Nenner zunächst auf einen gemeinsamen Nenner.

  Möchte man Brüche dividieren, multipliziert man den Kehrwert des 2. Bruches zum ersten Bruch.

  Es gilt: Punkt- vor Strichrechnung.
  $1-2\cdot 3 \neq (1-2)\cdot 3$

  Lösung

  Du kannst die Lösung über verschiedene Wege berechnen. Wir werden das erste Beispiel gemeinsam durchgehen, die möglichen Lösungen bzw. Termumformungen der anderen Aufgaben findest du darunter.

  1. Der Term lautet $\frac38 +\frac34 +\frac{11}{8} -\frac12$. In dem Term ist ein Minuszeichen zu sehen. Hier müssen wir also beim Anwenden des Kommutativgesetzes vorsichtig sein. Wir vertauschen den zweiten und dritten Term, damit wir die Brüche mit dem gleichen Nenner addieren können.

  $\frac38 +\frac34 +\frac{11}{8} -\frac12 =\frac38 +\frac{11}{8}+\frac34 -\frac12$

  Jetzt addieren wir den Zähler und lassen den Nenner so, wie er ist. Gleichzeitig kürzen wir den Bruch. Wir setzen außerdem geschickt Klammern.

  $(\frac38 +\frac{11}{8})+\frac34 -\frac12=\frac{7}{4} +\frac34 -\frac12$

  Jetzt können wir die beiden Brüche direkt addieren, da die Nenner nach dem Kürzen gleich sind. Gleichzeitig bringen wir den letzten Bruch auch auf diesen Nenner.

  $\frac{7}{4} +\frac34 -\frac12=\frac{10}{4} -\frac24$

  Jetzt können wir letztlich die beiden Brüche subtrahieren und erhalten nach dem Kürzen das Ergebnis.

  $\frac{10}{4} -\frac24=\frac84=2$

  $\begin{align} 2.~~~3 \cdot \frac12 : \frac51 \cdot \frac{10}{3} &= \frac32 : \frac51 \cdot \frac{10}{3} \\ &= \frac32 \cdot \frac15 \cdot \frac{10}{3} \\ &= \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} \\ &= 1 \end{align}$

  $\begin{align} 3.~~~\frac52 \cdot \frac{14}{5} - \frac34 \cdot \frac83 &= \frac71 - \frac21 \\ =& 7-2 =5 \end{align}$

  $\begin{align} 4.~~~\frac{8}{9} + \frac{1}{3} +\frac{3}{1} -\frac{1}{3} - \frac{8}{9} &= \frac{8}{9} - \frac{8}{9} + \frac{1}{3} -\frac{1}{3} + \frac{3}{1} \\ &= (\frac{8}{9} - \frac{8}{9}) + (\frac{1}{3} -\frac{1}{3}) + \frac{3}{1} \\ &= 0 + 0 + \frac{3}{1} \\ &= 3 \end{align}$