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Zirkel und Geodreieck

Zu den wichtigsten Werkzeugen im Bereich Geometrie gehören neben Bleistift und Radiergummi sicherlich der Zirkel und das Geodreieck. Diese kannst du zum Beispiel verwenden, um Strecken oder Kreise zu konstruieren.

Konstruktionen an Strecken und Geraden

Hier siehst du eine Gerade $a$ sowie jeweils eine weitere Gerade, die senkrecht zu $a$ verläuft. Eine solche Gerade wird auch als Lot bezeichnet. Hier siehst du zwei Situationen, in denen die Gerade $a$, ein Punkt $P$ und ein Lot vorkommen:

  1. Auf dem linken Bild liegt $P$ auf der Geraden $a$. Hier wird das Lot errichtet.
  2. Auf dem rechten Bild liegt $P$ nicht auf $a$. Hier wird das Lot gefällt.

Gerade und Lot

Eine Strecke verbindet zwei Punkte miteinander. Das Lot zu der Strecke in deren Mittelpunkt ist die Mittelsenkrechte. Dies siehst du hier am Beispiel der Mittelsenkrechte der Seite $c$ eines Dreiecks.

Mittelsenkrechte im Dreieck

Du kannst eine beliebige Strecke teilen und dir das Verhältnis der beiden Streckenabschnitte zueinander anschauen. Ein besonderes Verhältnis ist der Goldene Schnitt. Eine Strecke wird im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie das längere Teilstück zur ganzen Strecke. Mit den Teilstrecken $a$ und $b$ und $a>b$ gilt dann:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

Der Goldene Schnitt hat eine große Bedeutung in der Malerei (seit der Renaissance) und Architektur. In der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildkomposition verwendet.

Konstruktionen mit Dreiecken und Kreisen

Dreiecke haben drei Eckpunkte. Diese werden mit drei Strecken (den Seiten) verbunden, wodurch drei Winkel entstehen.

In einem Dreieck kannst du den Inkreis und Umkreis von Dreiecken konstruieren. Der Mittelpunkt des Inkreises ist dabei der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.

Du kannst mit Zirkel und Geodreieck auch Kongruenzabbildungen durchführen. Dazu gehören Drehung und Verschiebung, Achsenspiegelung und Punktspiegelung.

Es gibt vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, unter welchen Voraussetzungen zwei Dreiecke kongruent sind. Die Kongruenzsätze kannst du auch benutzen, um bei der Angabe der entsprechenden Größen Dreiecke zu konstruieren.

Betrachte eine beliebige Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises. Das Lot zu dieser Geraden in einem Schnittpunkt (es gibt $2$) des Kreises ist eine Tangente an den Kreis.

Konstruktion von regelmäßigen Vielecken

Du kannst regelmäßige Vielecke konstruieren. Dies siehst du hier am Beispiel eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $4~\text{cm}$.

  1. Konstruiere einen Kreis mit dem Radius $4~\text{cm}$.
  2. Wähle einen beliebigen Punkt auf dem Kreisrand.
  3. Steche deinen Zirkel (wieder mit dem Radius $4~\text{cm}$) in diesen Punkt und erzeuge einen Schnittpunkt mit dem Kreisrand.
  4. Verbinde die beiden Punkte miteinander.

Nun wiederholst du die Schritte $2$ bis $4$, wobei du in Schritt $2$ jeweils den neu erzeugten Punkt wählst.

Körper und Körpernetze

Du kannst auch Netze von Prismen, Zylindern und Kegeln zeichnen.

Hier siehst du zum Beispiel das Schrägbild (links) und das Netz (rechts) eines Zylinders.

Zylinder - Schrägbild und Netz

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