Was sind Kongruenzabbildungen?

Was sind Kongruenzabbildungen? Übung

• Ergänze die Erklärung zur Kongruenzabbildung.

  Tipps

  Zeichne eine Figur auf Papier und schneide diese Figur aus. Führe jede der vier Kongruenzabbildungen durch.

  Ändert sich dadurch etwas an der Figur? Ausgenommen natürlich die Lage, die ändert sich.

  Ändert sich eine Figur durch eine Achsenspiegelung oder Parallelverschiebung?

  Schneide mal eine Figur aus einem Blatt aus und drehe diese Figur. Ändert sich etwas an den Seiten der Figur oder an den Winkeln?

  Eine Streckung kannst du dir wie eine maßstabgetreue Abbildung vorstellen. So eine Streckung findest du zum Beispiel auf Straßenkarten. Stimmen da die Längen der Straße auf der Karte mit der tatsächlichen Länge der Straße überein?

  Lösung

  Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine oder mehrere der folgenden Abbildungen aufeinander abgebildet werden können:

  • Achsenspiegelung
  • Punktspiegelung
  • Parallelverschiebung
  • Drehung

  Diese Bewegungen heißen auch Kongruenzabbildungen. Bei jeder dieser Kongruenzabbildungen bleiben die Figuren vollständig erhalten. Was heißt das? Sie stimmen in den Längen ihrer Seiten überein und auch in ihren Winkeln.

• Gib an, was Kongruenz bedeutet.

  Tipps

  Merke dir: Es gibt vier Kongruenzabbildungen. Diese können mehrmals hintereinander durchgeführt werden.

  „congruentia“ kommt aus dem Lateinischen und heißt „Übereinstimmung“.

  Überlege dir, ob sich bei einer Abbildung die Länge von Strecken ändert. Dann wäre es keine Kongruenzabbildung.

  Beachte, dass eine Streckung auch eine lineare Abbildung ist.

  Lösung

  Eine Figur kann durch verschiedene Abbildungen bewegt werden:

  • Achsenspiegelung
  • Punktspiegelung
  • Parallelverschiebung
  • Drehung

  Bei jeder dieser Bewegungen von Figuren bleiben die Figuren vollständig erhalten. Das heißt, dass die Figur und die Bildfigur sich gegenseitig vollständig abdecken. Man spricht von Kongruenzabbildungen.

  Das lateinische Wort für „Übereinstimmung“ ist „congruentia“. Und deshalb sagt man auch Deckungsgleichheit statt Kongruenz.

  Lilly hat das wirklich gut erklärt. Beachte: Ein Fehler hat sich in der Aussage „Eine Abbildung, die eine Figur in eine kongruente Figur überführt, heißt lineare Abbildung.“ eingeschlichen. Eine solche Abbildung heißt eben Kongruenzabbildung. Zu den linearen Abbildungen gehört auch die Streckung, welche aber keine Kongruenzabbildung ist.

• Untersuche die angegebenen Figuren auf Kongruenz.

  Tipps

  Bei welchen Figuren stimmen Winkel bzw. Seitenlängen nicht überein?

  Mache dir klar, durch welche Kongruenzabbildung die Bildfigur entstehen könnte.

  Lösung

  Kongruent können nur Figuren sein, die gleich große Winkel und gleich lange Seiten haben.

  Du siehst in dieser Aufgabe Fünfecke und Pfeile. Sicher kann kein Pfeil kongruent zu einem Fünfeck sein.

  Aber es gibt auch ein Fünfeck, welches nicht zu dem Ausgangsfünfeck kongruent ist. Wenn du genau hinschaust, kannst du erkennen, dass ein Fünfeck unregelmäßig ist. Dieses kann nicht kongruent zu den übrigen sein.

  Ein Pfeil entsteht aus dem Ausgangspfeil durch Drehung, der andere durch Achsenspiegelung.

  Und bei einem Pfeil stimmen die Seitenverhältnisse nicht. Er sieht etwas dicker aus. Dieser kann nicht kongruent zu den übrigen Pfeilen sein.

• Bestimme die Aussagen zu den Kongruenzabbildungen.

  Tipps

  Wie lauten die vier Kongruenzabbildungen?

  Versuche doch mal mit einem Viereck ein Dreieck abzudecken und mit dem Dreieck das Viereck.

  Zwei verschiedene Rechtecke haben doch sicher die gleichen Winkel. Sind diese kongruent?

  Lösung

  Die vier Kongruenzabbildungen sind:

  • Achsenspiegelung
  • Punktspiegelung
  • Parallelverschiebung
  • Drehung

  Ganz sicher muss die Anzahl der Ecken bei Kongruenz übereinstimmen. Denn durch keine der Kongruenzabbildungen kannst du aus einem Dreieck ein Viereck machen oder umgekehrt.

  Was auf jedem Fall gilt: Kongruente Figuren stimmen in allen Winkeln und Seiten überein. Sonst kannst du sie nicht durch Kongruenzabbildungen aufeinander abbilden.

  Es reicht jedoch nicht, dass nur die Winkel übereinstimmen. Warum? Bei jedem Rechteck sind die vier Winkel gleich groß, nämlich 90°. Und sicher sind nicht alle beliebigen Rechtecke deckungsgleich, denn unterschiedliche Rechtecke haben eben auch verschiedene Seitenlängen.

• Nenne die Abbildungen, die Kongruenzabbildungen sind.

  Tipps

  Bei einer Kongruenzabbildung ändert sich wohl die Lage einer Figur. Die Längen von Seiten und die Größe von Winkeln ändern sich nicht.

  Merke dir: Es gibt vier Kongruenzabbildungen. Diese können mehrmals hintereinander durchgeführt werden.

  Eine Streckung ist eine maßstabgetreue Vergrößerung einer Figur.

  Lösung

  Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Kongruenzabbildungen aufeinander abgebildet werden. Die Anzahl der Kongruenzabbildungen, die hintereinander ausgeführt werden, ist dabei beliebig. Die einzelnen Kongruenzabbildung lauten:

  • Achsenspiegelung
  • Punktspiegelung
  • Parallelverschiebung
  • Drehung

  Bei jeder dieser Bewegungen von Figuren bleiben die Figuren vollständig erhalten. Bei einer Kongruenzabbildung ändert sich wohl die Lage einer Figur. Die Längen von Seiten und die Größe von Winkeln ändern sich nicht.

  Damit ist die Verdoppelung jeder Seitenlänge garantiert keine Kongruenzabbildung. Eine Streckung ist eine maßstabgetreue Vergrößerung einer Figur und somit auch keine Kongruenzabbildung.

• Entscheide, welche Kongruenzabbildung durchgeführt wird.

  Tipps

  Es gibt die Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Parallelverschiebung. Natürlich können auch mehrere dieser Abbildungen angewendet werden.

  Die Spiegelachse kann senkrecht sein oder waagerecht, aber auch schräg.

  Bei einer Drehung kann der Winkel zum Beispiel 80$°$ sein. Lege mal deinen Stift auf ein Papier und drehe ihn um 80$°$.

  Lösung

  Die vier Kongruenzabbildungen sind:

  • Achsenspiegelung
  • Punktspiegelung
  • Parallelverschiebung
  • Drehung

  Bei dem Pfeil kannst du dich gut an der Änderung der Pfeilspitze orientieren:

  • Der erste Bildpfeil kann sowohl durch eine Achsenspiegelung an einer senkrechten Achse, aber auch durch eine Drehung um 180° oder eine Punktspiegelung erreicht werden.
  • Der zweite Bildpfeil geht aus dem Pfeil durch Achsenspiegelung an der waagerechten Symmetrieachse hervor. Das ist dann natürlich der gleiche Pfeil, da dieser ja achsensymmetrisch mit waagerechter Symmetrieachse ist.
  • Der dritte Pfeil entsteht durch Drehung. Du kannst einfach einen solchen Pfeil auf ein Papier zeichnen und ausschneiden. Dann halte den Pfeil in der Mitte fest und drehe ihn.
  • Der vierte Pfeil entsteht aus dem Ausgangspfeil durch eine Parallelverschiebung.