Schnittwinkel der Diagonalen im Rhombus

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler, herzlich willkommen zum Video "Geometrie - Teil 31". Das Thema des Videos lautet: Raute oder Rhombus. Das Unterthema heißt: c - Schnittwinkel der Diagonalen. Achtung! Das ist eine Aufgabe mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad. Bitte beachten! Nehmen wir uns also diese schöne Raute, diesen Rhombus vor und zeichnen die beiden Diagonalen in dieses Viereck ein. Dann erhalten wir eine Figur, die so etwa aussieht, wie ein schiefer Brief. Den Schnittwinkel, um den es geht, bezeichne ich als delta. Ich trage ihn in die Figur ein. Die Eckpunkte der Raute bezeichne ich mit den Großbuchstaben A, B, C und D. Ich betrachte nun die beiden Dreiecke ABC und ADC. Ich stelle fest, dass sie kongruent zueinander sind. Das möchte ich nun begründen. Zunächst gilt: AC =  AC, also stimmen die beiden Dreiecke in einer Seite s überein. Dann gilt: Strecke AB = Strecke AD, das ist klar, weil alle Seiten der Raute gleich lang sind. Damit stimmen beide Dreiecke in der zweiten Seite s überein. Und schließlich gilt: Strecke BC = Strecke DC, damit stimmen die beiden Dreiecke in einer weitern Seite s überein. Damit ist der Kongruentsatz Seite-Seite-Seite sss für Dreiecke erfüllt. Wir haben gezeigt, dass die Dreiecke ABC und ADC kongruent zueinander sind. Der Kongruentsatz sss wurde im Video "Geometrie - Teil 18" besprochen. Aus der Kongruenz der beiden Dreiecke folgt, dass entsprechende Winkel dieser Dreiecke gleich groß sind. Also gilt: Winkel BAC = Winkel DAC. Ich trage beide Winkel in die Zeichnung ein. Sie betragen beide alpha'. Sie sind beide gleich groß. Und wir machen weiter. Das Dreieck ABD ist kongruent zum Dreieck CDB. Das möchte ich nun zeigen. Zunächst gilt: Strecke AB = Strecke CD. Das folgt daraus, dass die Raute vier gleich lange Seiten hat. Als nächstes gilt: Strecke AD = Strecke BC, denn beide sind gleich der Länge einer Seite der Raute. Und schließlich gilt: Strecke BD = Strecke BD. Damit haben wir zwei Dreiecke, die in drei Seiten sss übereinstimmen. Wir können somit den Kongruentsatz sss siehe Video "Geometrie-Teil 18" anwenden. Damit haben wir bewiesen, das die beiden Dreiecke ABD und CDB kongruent sind. Aus der Kongruenz der beiden Dreiecke folgt, dass entsprechende Winkel der beiden Dreiecke gleich groß sind. Es gilt also, Winkel ABD = Winkel CBD. Beide sollen beta' betragen. Ich trage sie in unsere Zeichnung ein. Nach so viel Vorarbeit können wir nun einige wichtige Gleichungen formulieren. Es gilt zum Beispiel: delta+alpha'+beta'=180° Das ist richtig, denn es ist gerade die Winkelsumme im Dreieck ABM. Wir können diese Gleichung umformen, in dem wir beide Seiten mit 2 multiplizieren. Wir erhalten dann: 2delta+2alpha'+2beta'=360° Wir subtrahieren nun von beiden Seiten der Gleichung 2delta und erhalten: 2alpha'+2beta'=360°-2delta Diese Gleichung bezeichnen wir als Gleichung 2. Für Gleichung 1 schreiben wir: 2alpha'+2beta'=180° Das gilt nach dem Video "Geometrie - Teil 24". Ihr könnt es euch dort noch einmal anschauen. Wenn wir uns die beiden linken Seiten von Gleichung 1 und 2 anschauen, so stellen wir fest, dass sie gleich groß sind. Jeweils steht dort 2alpha'+2beta'. Daher setzen wir Gleichung 1 und Gleichung 2 gleich. Die beiden rechten Seiten sind gleich. Also für Gleichung 1 180°, das schreiben wir auf der linken Seite und für Gleichung 2 360°-2delta. Das schreiben wir auf der rechten Seite. Diese Gleichung formen wir nun nach delta um. Als erstes addieren wir auf beiden Seiten 2delta. Dann erhalten wir links 2delta+180° und rechts bleiben nur noch 360° übrig. Nun subtrahieren wir von beiden Seiten 180°. Wir erhalten dann 2delta auf der linken Seite, die 180° fallen weg und rechts 360°-180°. Zeile darunter: 2delta=180° Wenn 2delta=180° sind, dann ist delta=90°. Und damit haben wir den Schnittwinkel der Diagonalen berechnet. Wir tragen ihn ein und schreiben das Symbol für rechte Winkel ein, denn wenn ein Winkel ein rechter Winkel ist bei einem Schnitt, müssen die anderen auch alle rechte Winkel sein. Begründet das bitte einmal selber. Wer diese Videoreihe bis hier her aufmerksam verfolgt hat, der weiß, dass ich euch nicht entlasse, bevor wir nicht noch einen schönen Merksatz formuliert haben. Versucht es einmal. Vielleicht so: Die Schnittwinkel der Diagonalen in einer Raute sind rechte Winkel.   So, das wäre es wieder für heute, ich hoffe ihr hattet genauso viel Spaß, wie ich beim Erstellen dieses Videos. An alle viele Grüße. Tschüss.