Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen

Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen Übung

• Berechne die Kosten für das Bekleben eines Quaders mit farbigem Papier.

  Tipps

  Um die Kosten auszurechnen, müssen wir zunächst bestimmen, wie viel Papier wir benötigen.

  Dazu nutzen wir die Oberflächenformel eines Quaders $A=2(ab+ac+bc)$ und setzen die gegebenen Werte ein.

  Lösung

  Um die Kosten für das Bekleben eines Sitzquaders mit Papier zu berechnen, müssen wir zunächst bestimmen, wie viel Papier wir benötigen.

  Wir erinnern uns an die Formel zur Oberflächenberechnung $A=2(ab+ac+bc)$ eines Quaders, damit wir die Oberfläche des Sitzquaders und somit das benötigte Papier berechnen können.

  Wir setzen die Werte für Länge ($a=70~cm$), Breite ($b=40~cm$) und Höhe ($c=30~cm$) in die Formel ohne Einheiten ein, damit wir einfacher rechnen können.

  $A=2(70 \cdot 40+70 \cdot 30+40 \cdot 30)=2(2800+2100+1200)=2 \cdot 6100=12200$.

  Als Ergebnis erhalten wir $12200~cm^2$. Wir wissen, dass $1~m^2$ Papier $9~€$ kostet. Also müssen wir unser Ergebnis in $m^2$ umrechnen. Wenn wir von Quadratzentimeter in Quadratmeter umrechnen wollen, müssen wir durch 10 000 teilen.

  Also ist $A=12200~cm^2=1,2200~m^2$.

  Anja benötigt $1,22~m^2$ Papier, um den Sitzquader zu bekleben.

  Nun müssen wir nur noch den Preis P für das Papier bestimmen, indem wir die Menge an Papier mit dem Faktor 9 multiplizieren:

  $P=1,22 \cdot 9=10,98$.

  Gerundet auf ganze Euro kostet das Bekleben eines Sitzquaders etwa $11~€$.

• Bestimme den Lackverbrauch für 1000 Holzbausteine.

  Tipps

  Die Oberfläche eines Quaders beträgt $A=2(ab+ac+bc)$.

  Wenn wir Quadratzentimeter in Quadratmeter umrechnen, teilen wir durch 10 000.

  Lösung

  Zunächst müssen wir berechnen, wie groß die Fläche ist, die lackiert werden soll.

  Dazu bestimmen wir die Oberfläche eines Bausteins, um dann die Fläche für 1000 Bausteine auszurechnen.

  Wir setzen die Werte für a, b und c in die Oberflächenformel ein:

  $\begin{align} A&=2(6 \cdot 3+6 \cdot 1,5+3 \cdot 1,5) \\ &=2(18+9+4,5) \\ &=2 \cdot 31,5 \\ &=63 \\ \end{align}$

  Die zu lackierende Fläche ist also $63~cm^2 \cdot 1000=63~000~cm^2$ groß.

  Da wir nur wissen, wie viel Lack wir für einen Quadratmeter benötigen, rechnen wir unser Ergebnis um: $63000~cm^2=6,3000~m^2$.

  Im nächsten Schritt können wir jetzt die Menge an Lack bestimmen. Hierzu multiplizieren wir unser Ergebnis mit dem Faktor 50, da für einen Quadratmeter Fläche $50~ml$ Lack gebraucht werden:

  $V=6,3 \cdot 50=315$.

  Wir brauchen also $315~ml$ Farbe, um die gesamten Bausteine zu lackieren.

• Bestimme die Kantenlänge eines Würfels.

  Tipps

  Die Oberflächenformel eines Würfels lautet $A=6a^2$.

  Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen. Alle Flächen zusammen ergeben die Oberfläche A. In der Aufgabenstellung haben wir bereits $A=24~cm^2$ gegeben. Wir können also $24=6a^2$ schreiben.

  Setze Werte für a solange in die Gleichung $24=6a^2$ ein, bis sie richtig ist.

  Lösung

  Der Oberflächeninhalt ist gegeben. Er beträgt $24~cm^2$.

  Die Oberflächenformel eines Würfels lautet $A=6a^2$. Um die Kantenlänge zu bestimmen, müssen wir die Oberfläche durch 6 teilen und uns dann überlegen wie groß a sein kann.

  $24:6=4$

  Was sagt uns das Ergebnis?

  Alle sechs Flächen eines Würfels sind gleich groß. Jede einzelne Fläche ist also $4~cm^2$ groß.

  Eine zweite Eigenschaft, die uns helfen wird, die Kantenlänge zu berechnen, ist die quadratische Form jeder der sechs Flächen.

  Ein Quadrat wird durch $A=a \cdot a=a^2$ berechnet. Bezogen auf unsere Fläche müssen wir also eine Kantenlänge suchen, die im Quadrat den Wert 4 ergibt.

  Somit muss $a=2$ sein, denn $2^2=4$.

  Die Kantenlänge des Würfels mit dem Oberflächeninhalt ist $a=2~cm$.

• Ermittle die Oberflächen verschiedener Zuckerstücke.

  Tipps

  Die Oberflächenformel eines Quaders lautet: $A=2(ab+ac+bc)$.

  Die Oberflächenformel eines Würfels lautet: $A=6a^2$.

  Lösung

  Das Zuckerstück mit der größten Oberfläche hat die größte Auflösegeschwindigkeit.

  In den Lösungsmöglichkeiten sind jeweils die Kantengrößen verschiedener Quader angegeben. Die Oberflächenformel eines Quaders lautet: $A=2(ab+ac+bc)$.

  Wir müssen nun nacheinander die Oberflächen der einzelnen Quader berechnen.

  Zuckerstück 1 mit $a=0,1~cm$, $b=2~cm$, $c=5~cm$:

  $\begin{align} A&=2(0,1 \cdot 2+0,1 \cdot 5+2 \cdot 5) \\ &=2(0,2+0,5+10) \\ &=2 \cdot 10,7 \\ &=21,4 \\ \end{align}$

  Die Oberfläche des Zuckerstücks 1 ist $21,4~cm^2$ groß.

  Zuckerstück 2 mit $a=0,2~cm$, $b=5~cm$, $c=1~cm$:

  $\begin{align} A&=2(0,2 \cdot 5+0,2 \cdot 1+5 \cdot 1) \\ &=2(1+0,2+5) \\ &=2 \cdot 6,2 \\ &=12,4 \\ \end{align}$

  Die Oberfläche des Zuckerstücks 2 ist $12,4~cm^2$ groß.

  Zuckerstück 3 mit $a=0,5~cm$, $b=2~cm$, $c=1~cm$:

  $\begin{align} A&=2(0,5 \cdot 2+0,5 \cdot 1+2 \cdot 1) \\ &=2(1+0,5+2) \\ &=2 \cdot 3,5 \\ &=7 \\ \end{align}$

  Die Oberfläche des Zuckerstücks 3 ist $7~cm^2$ groß.

  Zuckerstück 4 mit $a=b=c=1~cm$:

  Zuckerstück 4 hat die Form eines Würfels, eine Spezialform des Quaders. Alle Kanten sind gleich groß.

  $\begin{align} A&=6a^2 \\ &=6 \cdot 1^2 \\ &=6 \\ \end{align}$

  Die Oberfläche des Zuckerstücks 4 ist $6~cm^2$ groß.

  Übrigens haben alle gegebenen Zuckerstücke die gleiche Menge an Zucker, also das gleiche Volumen von $1~cm^3$. Damit haben wir die Zuckerstücke nicht nur nach ihrer Auflösegeschwindigkeit sondern auch in ihrer Reihenfolge sortiert, in der sie sich auflösen.

• Gib die Formel für die Berechnung der Oberfläche eines Quaders an.

  Tipps

  Die Oberfläche setzt sich aus der Summe aller Flächen eines Quaders mit den Kanten a, b und c zusammen.

  Jeweils zwei Flächen eines Quaders sind gleich groß. Überlege, wie sich die einzelnen Flächen berechnen lassen.

  Beachte, dass genau zwei Formeln richtig sind.

  Lösung

  Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe aller Flächen (rechte Fläche, linke Fläche, Vorder- und Hinterfläche, Deck- und Grundfläche) eines Quaders.

  Rechte und linke Fläche haben jeweils den Flächeninhalt

  $A=\text{Breite} \cdot \text{Höhe} =b \cdot c$.

  Vorder- und Hinterfläche haben jeweils den Flächeninhalt

  $A=\text{Länge} \cdot \text{Höhe} =a \cdot c$.

  Deck- und Grundfläche haben jeweils den Flächeninhalt

  $A=\text{Länge} \cdot \text{Breite} = a \cdot b$.

  Wenn wir alle Flächen addieren, kommen wir zu der Formel:

  $A=2ab+2ac+2bc$.

  Wenn wir die 2 ausklammern, können wir auch wie folgt schreiben:

  $A=2(ab+ac+bc)$.

• Berechne die Oberfläche übereinander gestapelter Würfel.

  Tipps

  Die Oberfläche des Turms ist nicht dreimal die Oberfläche eines Würfels, da Flächen verdeckt sind.

  Überlege dir, welche Flächen übereinander liegen bzw. wie viele Flächen verdeckt werden. Diese Flächen gehören nicht zur Oberfläche des Turms.

  Es ist ratsam die Größe einer Fläche des Würfels zu bestimmen, um die Oberfläche des Turms zu bestimmen.

  Welchen Wert für a musst du in die Oberflächenformel $A=6a^2$ eines Würfels einsetzen, damit du auf eine Oberfläche von $6~cm^2$ kommst?

  Lösung

  Ein Holzwürfel hat eine Oberfläche von $6~cm^2$.

  Wenn wir drei Holzwürfel übereinander stapeln, könnten wir fälschlicher Weise annehmen, dass die Oberfläche des Turms dreimal die Oberfläche des Würfels ist. Also $A=3 \cdot 6~cm^2=18~cm^2$.

  Hierbei missachten wir allerdings, dass die Oberfläche des Turms nur eine Grund- bzw. Deckfläche hat. Wir müssen also, um die Oberfläche des entstandenen Quaders zu berechnen, die übereinander liegenden Deck- und Grundflächen der Würfel von unserem Ergebnis abziehen.

  Hierzu müssen wir uns zunächst überlegen, wie viele Flächen übereinander liegen. Die Deckfläche des untersten Würfels liegt unter der Grundfläche des mittleren Würfels und die Deckfläche desselben liegt unter der Grundfläche des obersten Würfels. Wir müssen also zwei Deckflächen und zwei Grundflächen abziehen.

  Nun müssen wir die Größe der Deck- bzw. Grundflächen bestimmen. Deck- und Grundfläche sind kongruent und haben den gleichen Flächeninhalt. Weiter gilt in einem Würfel, dass alle sechs Flächen (linke, rechte, Vorder-, Hinter-, Grund- und Deckfläche) gleich groß sind.

  Wir erinnern uns, dass die Formel für die Oberfläche in einem Würfel $A=6a^2$ lautet. Wir wissen, dass die Oberfläche eines Würfels von Thorsten $6~cm^2$ beträgt. Wenn wir nun $6~cm^2$ durch sechs (Flächen) teilen, erhalten wir die Oberfläche einer Fläche des Würfels.

  Die Oberfläche einer Fläche und damit auch der Deck- bzw. der Grundfläche des Würfels beträgt $1~cm^2$.

  Nun können wir die beiden Deck- und Grundflächen von den $18~cm^2$ abziehen:

  $\begin{align} A&=18~cm^2-(2 \cdot 2 \cdot 1~cm^2) \\ &=18~cm^2-4~cm^2 \\ &=14~cm^2 \\ \end{align}$

  Schließlich haben wir das richtige Ergebnis für die Oberfläche dreier übereinander gestapelter Würfel bestimmt, nämlich $14~cm^2$.