Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen – Übung

Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen – Übung Übung

• Ergänze den Text zur Berechnung des Oberflächeninhaltes des Prismas.

  Tipps

  Oben kannst du eine nicht maßstabsgetreue Skizze des Prismas erkennen. Welche Form besitzt die Grundfläche?

  Die Höhe eines Prismas erkennst du daran, dass sie senkrecht auf der Grund- und Deckfläche steht.

  Lösung

  Um den Oberflächeninhalt des Prismas zu bestimmen, nutzen wir die Formel $ O = 2 \cdot A + M$. Wir bestimmen die Grundfläche des Prismas und berechnen den Flächeninhalt. Das Prisma hat die Form eines Parallelogramms. Sein Flächeninhalt berechnet sich mit der Formel $ A= a \cdot h_a$. Setzen wir in diese Formel unsere Größen ein, erhalten wir:

  $\begin{align} A & = a \cdot h_a\\ & = 5~cm \cdot 3~cm\\ & = 15~cm^2\\ \end{align}$

  Wir berechnen auch den Umfang der Grundfläche, da wir diesen brauchen, um den Mantelflächeninhalt des Prismas zu bestimmen. Den Umfang berechnen wir, indem wir alle Seiten addieren. Da immer die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, können wir nur die zwei unterschiedlich langen Seiten nehmen und diese mit zwei multiplizieren. Wir erhalten:

  $\begin{align} u & = 2 \cdot 5~cm + 2 \cdot 4~cm\\ & = 10~cm + 8~cm\\ & = 18~cm\\ \end{align}$

  Nun können wir den Mantelflächeninhalt berechnen.

  $\begin{align} M & = 18~cm \cdot 2~cm\\ & = 36~cm^2\\ \end{align}$

  Setzen wir nun $A$ und $M$ in die Formel für $O$ ein, erhalten wir:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 15~cm^2 + 36~cm^2\\ & = 66~cm^2\\ \end{align}$

• Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.

  Tipps

  Bei der Tür handelt es sich um einen Quader, welcher ein spezielles Prisma ist. Welche Angaben sind gegeben?

  (Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.)

  Die Grundfläche des Quaders ist ein Rechteck. Wie berechnet man den Flächeninhalt und den Umfang eines Rechteckes?

  Für den Mantelflächeninhalt $M$ und den Oberflächeninhalt $O$ gelten die folgenden Formeln.

  • $M= u \cdot h$
  • $O= 2 \cdot A +M$

  Denke an die Einheiten bei $O$, denn $10~000~cm^2 \hat{=} 1~m^2$.

  Lösung

  Die Tür hat die Form eines Quaders, welcher ein spezielles Prisma ist. Die Grundfläche des Quaders ist ein Rechteck, dessen Flächeninhalt du mit der Formel $A = a\cdot b$ berechnen kannst. Setzt du die Werte für $a=70~cm$ und $b=3~cm$ ein, erhältst du:

  $\begin{align} A & = 70~cm \cdot 3~cm\\ & = 210~cm^2\\ \end{align}$

  Bevor du nun den Mantelflächeninhalt der Tür bestimmen kannst, musst du zunächst den Umfang der Grundfläche bestimmen. Dieser errechnet sich mit der Formel:

  $\begin{align} u & = 2 \cdot a + 2 \cdot b\\ & = 2 \cdot 70~cm + 2 \cdot 3~cm\\ & = 140~cm + 6~cm\\ & = 146~cm\\ \end{align}$

  Nun können wir $u$ und $h=200~cm$ in die Formel für $M$ einsetzen und erhalten:

  $\begin{align} M & = u \cdot h\\ & = 146~cm \cdot 200~cm\\ & = 29~200~cm^2\\ \end{align}$

  Jetzt haben wir alle Angaben, die wir benötigen, um den Oberflächeninhalt der Tür auszurechnen. Wir erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 210~cm^2 + 29~200~cm^2\\ & = 29~620~cm^2\\ \end{align}$

  $29620~cm^2$ entsprechen $2,9620~m^2$, da $10~000~cm^2$ genau $1~m^2$ entsprechen. Der Maler hat also nicht richtig gerechnet. Er muss $2,962~m^2$ Fläche streichen.

• Entscheide, ob die Prismen in der Materialiensammlung gelagert werden dürfen.

  Tipps

  Die Grundflächen der Prismen sind ein Trapez, ein Dreieck, ein Parallelogramm und ein regelmäßiges Sechseck. Wie lauten die Formeln für den Flächeninhalt der vier Flächen?

  Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit der Formel $A = \frac{a \cdot h_a}{2}$ berechnen, wobei $a$ die Länge einer Seite ist und $h_a$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf der Seite $a$ steht, angibt.

  Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks kannst du mit der Formel $A = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$ berechnen, wobei $a$ die Kantenlänge angibt.

  Den Flächeninhalt eines Parallelogramms kannst du mit der Formel $A = a \cdot h_a$ berechnen, wobei $a$ die Länge einer Seite ist und $h_a$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf der Seite $a$ steht, angibt.

  Den Flächeninhalt eines Trapezes kannst du mit der Formel $A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ berechnen, wobei $a$ und $b$ die Längen der parallelen Seiten sind und $h$ der Länge der Höhe entspricht.

  Lösung

  Die Grundflächen der Prismen sind ein Dreieck, ein regelmäßiges Sechseck, ein Parallelogramm und ein Trapez. Im Folgenden sind die Rechnungen für den Oberflächeninhalt der einzelnen Prismen erklärt. Wir müssen immer zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen. Anschließend berechnen wir den Umfang der Grundfläche, da wir diesen zur Berechnung des Mantelflächeninhalts benötigen. Ist der Mantelflächeninhalt berechnet, haben wir alle Größen, um den Oberflächeninhalt der einzelnen Prismen ausrechnen zu können.

  1. Prisma mit dem Dreieck als Grundfläche mit den Angaben $a=10~cm$, $h_a=5~cm$ und $h=17~cm$.

  $\begin{align} A & = \frac{a \cdot h_a}{2}\\ & = \frac{10~cm \cdot 5~cm}{2}\\ & = 25~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} u& = 5~cm+10~cm+ 7,07~cm\\ & = 22,07~cm\\ \end{align}$

  $\begin{align} M & = u \cdot h \\ & = 22,07~cm \cdot 17~cm\\ & = 375,19~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 25~cm^2 + 375,19~cm^2\\ & = 425,19~cm^2\\ \end{align}$

  Damit kann dieses Prisma leider nicht in die Sammlung.

  2. Prisma mit dem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche mit den Angaben Kantenlänge $a=2~cm$ und Höhe $h=10~cm$.

  $\begin{align} A & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2\\ & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 2^2\\ & \approx 10,39~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} u& = 6 \cdot 2~cm\\ & = 12~cm\\ \end{align}$

  $\begin{align} M & = u \cdot h \\ & = 12~cm \cdot 10~cm\\ & = 120~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & \approx 2 \cdot 10,39~cm^2 + 120~cm^2\\ & \approx 140,78~cm^2\\ \end{align}$

  Damit darf dieses Prisma in die Sammlung.

  3. Prisma mit dem Parallelogramm als Grundfläche mit den Angaben $a=7~cm$, $h_a=3~cm$, $b=4,5~cm$ und $h=12~cm$.

  $\begin{align} A & = a \cdot h_a\\ & = 7~cm \cdot 3~cm\\ & = 21~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} u & = 2 \cdot a + 2 \cdot b\\ & = 2 \cdot 7~cm + 2 \cdot 4,5~cm\\ & = 14~cm + 9~cm\\ & = 23~cm\\ \end{align}$

  $\begin{align} M & = u \cdot h \\ & = 23~cm \cdot 12~cm\\ & = 276~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 21~cm^2 + 276~cm^2\\ & = 318~cm^2\\ \end{align}$

  Damit darf dieses Prisma in die Sammlung.

  4. Prisma mit dem Trapez als Grundfläche mit den Angaben $a=10~cm$, $b=6~cm$, $c=5~cm$, $h_T=4~cm$ und $h=15~cm$.

  $\begin{align} A & = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h_T\\ & = \frac{1}{2} \cdot (10~cm + 6~cm) \cdot 4~cm\\ & = 32~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} u & = a + b + 2 \cdot c\\ & = 10~cm + 6~cm + 2 \cdot 5~cm\\ & = 26~cm\\ \end{align}$

  $\begin{align} M & = u \cdot h \\ & = 26~cm \cdot 15~cm\\ & = 390~cm^2\\ \end{align}$

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 32~cm^2 + 390~cm^2\\ & = 454~cm^2\\ \end{align}$

  Damit kann dieses Prisma leider nicht in die Sammlung.

• Bestimme, wie viel Glasur Barbara für ein Plätzchen benötigt.

  Tipps

  Die Plätzchen stellen jeweils ein Prisma mit sternförmiger Grundfläche dar.

  Die sternförmige Grundfläche besteht aus fünf Zacken und einem regelmäßigen Fünfeck. Die Zacken haben sie Form von gleichschenkligen Dreiecken. Der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks kann mit der Formel $A_{\triangle}=\frac12 \cdot g \cdot h_g$, wobei $g$ die Länge der Grundseite ist und $h_g$ die Länge der Höhe auf der Grundseite.

  Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks ist ungefähr $A \approx 1,72 \cdot a^2$, wobei $a$ die Kantenlänge ist.

  Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt der sternförmigen Grundfläche beträgt auf's Ganze gerundet ungefähr $122~cm^2$.

  Den Oberflächeninhalt berechnet man aus der Formel $O = 2 \cdot A + M$, wobei $A$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $M$ den der Mantelfläche angibt.

  Lösung

  Um zu wissen, wie viel Schokoladenglasur für jedes Schokoplätzchen benötigt wird, müssen wir den Oberflächeninhalt des Plätzchen ausrechnen. Dieser errechnet sich mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$.

  Um den Flächeninhalt der Grundfläche $A$ auszurechnen, müssen wir zunächst ihre Form bestimmen. Die Grundfläche hat die Form eines Sterns, der aus einem regelmäßigen Fünfeck und aus fünf gleichschenkligen Dreiecken, den „Zacken“, besteht. Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt der gleichschenkligen Dreiecke und anschließend den des regelmäßigen Fünfecks. Es gilt:

  $\begin{align} A_1 & = \frac{g \cdot h_g}{2}\\ & = \frac{6~cm \cdot 4~cm}{2}\\ & = 12~cm^2 \end{align}$

  Den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks berechnet man mit der Formel:

  $\begin{align} A_2 & \approx 1,72 \cdot a^2 \\ & \approx 1,72 \cdot (6~cm)^2 \\ & \approx 61,94~cm^2 \\ & \approx 62~cm^2 \end{align}$

  Um den Flächeninhalt des gesamten Sterns zu erhalten, müssen wir die Flächeninhalte entsprechend addieren. $A_1$ müssen wir mit fünf multiplizieren, da es ja auch fünf Zacken sind. Wir erhalten:

  $\begin{align} A & = 5 \cdot A_1 + A_2\\ & \approx 60~cm^2 + 62~cm^2\\ & \approx 122~cm^2 \end{align}$

  Da wir nun $A$ kennen, müssen wir noch den Mantelflächeninhalt $M$ bestimmen. Dafür brauchen wir den Umfang des Sterns. Diesen errechnen wir, indem wir alle zehn Seitenlängen des Sterns addieren. Wir erhalten:

  $\begin{align} u & = 10 \cdot 5~cm\\ & = 50~cm \end{align}$

  Da der Stern $1,5~cm$ tief und das Prisma damit hoch ist, folgt für den Mantelflächeninhalt:

  $\begin{align} M & = u \cdot h\\ & = 50~cm \cdot 1,5~cm\\ & = 75~cm^2 \end{align}$

  Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen. Wir erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & \approx 2 \cdot 122~cm^2 + 75~cm^2\\ & \approx 319~cm^2 \end{align}$

  Barbara benötigt für jeden Stern also ungefähr $319~cm^2$ Schokoladenglasur.

• Beschreibe, wie du beim Berechnen des Oberflächeninhaltes des dreiseitigen Prismas vorgehst.

  Tipps

  Überlege zuerst, welche Form die Grundfläche das Prisma besitzt.

  Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche, dann den der Mantelfläche und zuletzt den Oberflächeninhalt.

  Lösung

  Wir sehen, dass wir den Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche und den Umfang der Grundfläche brauchen. Um zu wissen, welche Formel wir verwenden müssen um den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen, müssen wir zunächst die Form der Grundfläche bestimmen. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck. Das heißt, wir berechnen den Flächeninhalt mit der Formel

  $\begin{align} A & = \frac{ 4~cm \cdot 3cm}{2} \\ & = 6~cm^2 \\ \end{align}$

  Da wir nun $A$ kennen, müssen wir noch $M$ berechnen. Dafür brauchen wir den Umfang der Grundfläche $u$. Dieser berechnet sich, indem man alle Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks addiert. Es folgt:

  $\begin{align} u & = 4~cm + 3~cm + 5~cm \\ & = 12~cm \\ \end{align}$

  Nun können wir den Mantelflächeninhalt berechnen.

  $\begin{align} M & = 12~cm \cdot 6~cm \\ & = 72~cm^2 \\ \end{align}$

  Da nun $A$ und $M$ bekannt sind, können wir den Oberflächeninhalt mit der Formel $ O = 2 \cdot A + M$ berechnen.

  $\begin{align} O & = 2 \cdot 6~cm^2 + 72~cm^2\\ & = 84~cm^2\\ \end{align}$

• Entscheide, wie viel Markus' Vater streichen muss.

  Tipps

  Die Tischplatte hat die Form eines Quaders. Die Grundfläche ist ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  An dem Tisch sind vier Stuhlbeine befestigt. Die Deckflächen der Stuhlbeine sind genauso groß wie die Flächen auf der Unterseite der Tischplatte, die der Vater nicht bestreichen kann.

  Mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas.

  Lösung

  Um die Oberflächeneinheit der Tischplatte zu berechnen, müssen wir zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen. Die Grundfläche hat die Forme eines Rechtecks. Wir müssen also die Formel $A =$ Länge $\cdot$ Breite nutzen.

  $\begin{align} A & = 1,70~m \cdot 1~m\\ & = 1,70~m^2\\ \end{align}$

  Da nun $A$ bekannt ist, können wir nun die Mantelfläche $M$ ausrechnen. Allerdings brauchen wir dafür den Umfang $u$ der Grundfläche. Es folgt:

  $\begin{align} u& = 2 \cdot 1,70~m + 2 \cdot 1~m\\ & = 5,4~m\\ \end{align}$

  $\begin{align} M & = u \cdot h\\ & = 5,4~m \cdot 0,05~m \\ & = 0,27~m^2\\ \end{align}$

  Da nun $A$ und $M$ bekannt sind, können wir mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$ den Oberflächeninhalt der gesamten Tischplatte ausrechnen. Wir erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot 1,70~m^2 + 0,27~m^2\\ & = 3,67~m^2\\ \end{align}$

  An dem Tisch sind vier Tischbeine befestigt. Es gibt vier gleich große Quadrate, die der Vater nicht anmalen kann, da er diese Flächen der Tischbeine wegen nicht erreichen kann. Diese Flächen sind genauso groß wie die Deckflächen von einem Tischbein. Das heißt, wir müssen diese vier Quadrate von dem Oberflächeninhalt der Tischplatte abziehen.

  $\begin{align} O_{\text{Tischplatte}} & = 3,67~m^2 - 4 \cdot (0,05~m)^2\\ & = 3,67~m^2 - 0,01~m^2\\ & = 3,66~m^2\\ \end{align}$

  Der Vater muss eine Fläche von $3,66~m^2$ streichen.