Teilerfremde Zahlen – ggT und kgV teilerfremder Zahlen

Teilerfremde Zahlen – ggT und kgV teilerfremder Zahlen Übung

• Ergänze die Erklärung dafür, dass $15$ und $16$ teilerfremd sind.

  Tipps

  In einer Primfaktorzerlegung sind alle Faktoren Primzahlen.

  Primzahlen haben genau zwei Teiler: Die $1$ und sich selbst.

  Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen die $1$ ist.

  Schau dir ein weiteres Beispiel an:

  • $8=2\cdot 2\cdot 2$
  • $9=3\cdot 3$

  Du siehst, dass kein Primfaktor in beiden Zerlegungen vorkommt.

  Lösung

  Merke dir:

  • Sind zwei Zahlen teilerfremd, so ist deren größter gemeinsamer Teiler die $1$.
  • Umgekehrt gilt auch: Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen die $1$ ist, sind die beiden Zahlen teilerfremd.

  Das schauen wir uns an dem Beispiel der beiden Zahlen $15$ und $16$ an.

  Zunächst schreibst du die jeweilige Primfaktorzerlegung auf:

  • $15=3\cdot 5$
  • $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$

  Da kein Faktor in beiden Zerlegungen vorkommt, sind $15$ und $16$ teilerfremd. Der größte gemeinsame Teiler ist dann die $1$. Es gilt also ggT$(15;16)=1$.

• Gib an, wie das kleinste gemeinsame Vielfache teilerfremder Zahlen ermittelt werden kann.

  Tipps

  Gemeinsame Faktoren tauchen nur einmal als Faktor in dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf.

  Hier siehst du die Primfaktorzerlegungen von $8$ und $6$. Da in beiden Zerlegungen eine $2$ vorkommt, wird diese $2$ nur einmal im $\text{kgV}$ berücksichtigt.

  Das $\text{kgV}$ von zwei teilerfremden Zahlen $a$ und $b$ ist $a\cdot b$.

  Hier siehst du die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von $15$ und $16$.

  Rechne $15\cdot 16=240$.

  Lösung

  Hier siehst du die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von $8$ und $9$.

  • In der ersten Zeile steht die Primfaktorzerlegung von $8$ und in der zweiten die von $9$.
  • An der Primfaktorzerlegung kannst du erkennen, dass die beiden Zahlen keine gemeinsamen Faktoren haben. Sie sind teilerfremd.
  • Du musst also zur Berechnung alle Primfaktoren multiplizieren. Das siehst du in der dritten Zeile.
  • Nun kannst du die jeweiligen Produkte wieder aufschreiben. Dies führt zu dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen $\text{kgV}(8;9)=8\cdot 9=72$.

  Wenn zwei Zahlen teilerfremd sind, erhältst du deren kleinstes gemeinsames Vielfaches durch Multiplikation der beiden Zahlen.

• Prüfe, ob die Zahlen teilerfremd zu $12$ sind.

  Tipps

  Hier siehst du die Primfaktorzerlegung von $12$:

  $12=2\cdot 2\cdot 3$.

  Die Teilermenge von $12$ ist $T_{12}=\{1;2;3;4,6;12\}$.

  Schreibe dir für jede Zahl die Primfaktorzerlegung auf und vergleiche die Zerlegung mit der von $12$.

  Wenn kein gemeinsamer Faktor auftaucht, ist die Zahl teilerfremd zu $12$.

  Schreibe dir für jede Zahl die Teilermenge auf und vergleiche sie mit der Teilermenge von $12$.

  Wenn nur die $1$ gemeinsames Element beider Mengen ist, dann ist die Zahl teilerfremd zu $12$.

  Lösung

  Zunächst schaust du dir die Primfaktorzerlegung von $12$ an:

  $12=2\cdot 2\cdot 3$.

  Jede Zahl, in deren Primfaktorzerlegung eine $2$ oder eine $3$ vorkommt, ist nicht teilerfremd zu $12$. Somit kann keine gerade Zahl teilerfremd zu $12$ sein. Haben zwei Zahlen den größten gemeinsamen Teiler $1$, so sind sie teilerfremd.

  Kommen wir nun zu den verschiedenen Beispielen:

  • $5$ ist eine Primzahl, die nicht in der Teilermenge von $12$ liegt. Das bedeutet, dass $5$ und $12$ teilerfremd sind. Es gilt $\text{ggT}(5;12)=1$.
  • $9=3\cdot 3$: Die $3$ ist auch Teiler von $12$. Somit ist $\text{ggT}(9;12)=3$.
  • $15=3\cdot 5$: Auch hier kommt der Teiler $3$ vor. Es gilt also $\text{ggT}(12;15)=3$.
  • $19$ ist eine Primzahl, die größer ist als $12$. Sie kann also kein Teiler von $12$ sein. Damit gilt, dass $12$ und $19$ teilerfremd sind.
  • $21=3\cdot7$: Wieder kommt die $3$ als Teiler vor. Es ist somit $\text{ggT}(12;21)=3$.
  • $35=5\cdot 7$: Weder die $5$ noch die $7$ kommen in der Primfaktorzerlegung von $12$ vor. $12$ und $35$ sind teilerfremd.

  Zusatz:

  • Jede Primzahl, die größer ist als eine beliebige Zahl $a$, muss teilerfremd zu dieser sein.
  • Jede Primzahl ist teilerfremd zu jeder anderen Primzahl.

• Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen.

  Tipps

  Wenn zwei Zahlen teilerfremd sind, kannst du diese miteinander multiplizieren.

  So erhältst du das kleinste gemeinsame Vielfache.

  Wenn zwei Zahlen gemeinsame Teiler haben, gehst du so vor:

  • Du schreibst die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen so untereinander, dass gemeinsame Primfaktoren direkt untereinander stehen.
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das Produkt der Primfaktoren. Die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, kommen in dem Produkt nur einmal vor.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Bestimmung zweier nicht teilerfremder Zahlen.

  Der Faktor $2$ kommt in beiden Zerlegungen einmal vor. Deshalb wird dieser Faktor auch nur einmal berücksichtigt. Die beiden anderen $2$en in der Zerlegung von $8$ sind davon nicht betroffen.

  Lösung

  Merke dir: Wenn zwei Zahlen teilerfremd sind, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen das Produkt dieser Zahlen.

  • $5$ und $12=2\cdot 2\cdot 3$ sind teilerfremd. Deshalb gilt $\text{kgV}(5;12)=5\cdot 12=60$.
  • $6=2\cdot 3$ und $35=5\cdot 7$ sind teilerfremd. Somit ist $\text{kgV}(6;35)=6\cdot 35=210$.

  Kommen wir nun zu den beiden verbleibenden Beispielen. Die jeweiligen Zahlenpaare sind nicht teilerfremd. Dazu gehst du so vor:

  • Bilde die Primfaktorzerlegung.
  • Schaue, ob es doppelte Primfaktoren gibt.
  • Multipliziere die Primfaktoren beider Zahlen miteinander, wobei du doppelte Faktoren jeweils nur einmal beachtest.

  Schau dir die Beispiele an:

  $\text{kgV}(9;12)$.

  • Es gilt $9=3\cdot 3$ und $12=2\cdot 2\cdot 3$.
  • In beiden Zerlegungen kommt eine $3$ vor. Diese $3$ kommt im $\text{kgV}$ dann auch nur einmal vor. Bedenke jedoch, dass es noch eine zweite $3$ in der Zerlegung von $9$ gibt.
  • Es gilt $\text{kgV}(9;12) =3 \cdot 3 \cdot 2\cdot 2 = 36$.

  $\text{kgV}(6;15)$

  • Die Zerlegungen sind $6=2\cdot 3$ und $15=3\cdot 5$.
  • Der Faktor $3$ kommt in beiden Zerlegungen einmal vor.
  • Es gilt $\text{kgV}(6;15) = 2\cdot 3\cdot 5 = 30$.

• Definiere, was ein Teiler ist, und gib an, welche Aussagen zu Teilern korrekt sind.

  Tipps

  Hier siehst du die Teilermenge der Zahl $8$:

  $T_8=\{1;2;4;8\}$.

  $30$ ist teilbar durch $6$, da $30:6=5$ ist.

  Übrigens: $30$ ist auch teilbar durch $5$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um den Begriff des Teilers.

  Definition

  Eine natürliche Zahl $a$ ist durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar, wenn die Division $a:b$ ohne Rest möglich ist.

  Beispielsweise ist $a=8$ teilbar durch $b=2$, da die Division $8:2 = 4$ keinen Rest hat.

  Umgekehrt ist dann $b$ ein Teiler von $a$. Die mathematische Schreibweise ist $b\mid a$. Diesen Ausdruck liest du als „$b$ teilt $a$“.

  Schau dir das Beispiel der Zahl $8$ genauer an. Die Teiler einer Zahl werden zusammengefasst in der Teilermenge:

  $T_8=\{1;2;4;8\}$.

  Auch die $4$ ist somit ein Teiler von $8$, denn $8:4=2$.

  Jede natürliche Zahl ist durch $1$ teilbar, da $n : 1 = n$ mit $n\in\mathbb{N}$ immer ohne Rest möglich ist.

  Die $2$ ist jedoch nicht Teiler jeder natürlichen Zahl. Betrachte zum Beispiel $3$. Die Division $3:2$ ergibt als ganzzahlige Lösung $1$ und als Rest ebenfalls $1$.

• Untersuche die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

  Tipps

  Hier siehst du zum Beispiel die Primfaktorzerlegungen von $12$ und $28$.

  In dem Produkt zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen kommen in beiden Zahlen auftretende Primfaktoren nur einmal vor.

  Wichtig: Hierbei wird jeder Faktor einzeln betrachtet. Wenn in einer Zahl bspw. der Faktor $3$ viermal vorkommt und in der anderen zweimal, dann wird der Faktor $3$ viermal benutzt, um das $\text{kgV}$ zu bestimmen.

  Wenn mehrere Primfaktoren in beiden Zahlen gemeinsam vorkommen, kommt deren Produkt im kleinsten gemeinsamen Vielfachen nur einmal als Faktor vor.

  Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist das Produkt der gemeinsam vorkommenden Primfaktoren.

  Lösung

  Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen auch so bestimmen:

  1. Multipliziere zunächst die beiden Zahlen.
  2. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler dieser beiden Zahlen.
  3. Schließlich dividierst du das Produkt durch den größten gemeinsamen Teiler dieser beiden Zahlen.

  Warum geht das? Der größte gemeinsame Teiler kommt in dem Produkt der beiden Zahlen zweimal als Faktor vor. Für das $\text{kgV}$ ist das einmal zu oft. Deshalb dividierst du durch den größten gemeinsamen Teiler.

  Das kannst du nun an Beispielen üben:

  Beispiel 1: $\text{kgV}(12;28)$

  1. $12\cdot 28=336$
  2. $\text{ggT}(12;28)=4$. Diesen kannst du mit der Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen, welche du in der Abbildung sehen kannst.
  3. Nun kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen. Es gilt $\text{kgV}(12;28)=336:4=84$.

  Beispiel 2: $\text{kgV}(78;90)$

  1. $78\cdot 90=7020$
  2. $\text{ggT}(78;90)=6$
  3. $\text{kgV}(78;90)=7020:6=1170$