Scheitelpunkt

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Inhaltsverzeichnis zum Thema Scheitelpunkt

Was ist ein Scheitelpunkt?
Scheitelpunkt bestimmen – wie geht das?
Übungsaufgaben zum Scheitelpunkt
Ausblick – das lernst du nach Scheitelpunkt
Zusammenfassung zum Thema Scheitelpunkt
Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelpunkt

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Lerntext zum Thema Scheitelpunkt

Scheitelpunkt – verständlich erklärt!

Wenn du eine Wasserfontäne beobachtest, die in einem hohen Bogen aufsteigt und wieder herunterfällt, siehst du eine typische Kurvenform – eine Parabel. Aber kennst du den höchsten Punkt, an dem das Wasser seine Richtung ändert? Genau das ist ein Scheitelpunkt. Doch was genau ist der Scheitelpunkt eigentlich, und wie kannst du ihn bestimmen?

Eine Parabel hat immer einen besonderen Punkt – den sogenannten Scheitelpunkt. Er ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel, je nachdem, ob sie nach unten oder nach oben geöffnet ist.

Was ist ein Scheitelpunkt?

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist derjenige Punkt, an dem sie ihren höchsten oder tiefsten Wert erreicht. Es ist der Punkt, an dem sich das Verhalten der Funktion ändert: Wenn sie bis dahin stieg, fällt sie anschließend und andersherum.

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion (allgemeine Form: $f(x)=ax^2+bx+c$) ist der höchste oder tiefste Punkt des Funktionsgraphen. Dabei gilt:

Öffnung nach oben ($a > 0$): Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt (Minimum).
Öffnung nach unten ($a < 0$): Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt (Maximum).

In der folgenden Abbildung siehst du zwei Parabeln (Funktionsgraphen quadratischer Funktionen), bei denen jeweils der Scheitelpunkt blau markiert ist. Bei der nach oben geöffneten Parabel ($f$) ist es der tiefste Punkt, bei der nach unten geöffneten Parabel ($g$) ist es der höchste Punkt.

Scheitelpunkte von Parabeln

Scheitelpunkt bestimmen – wie geht das?

Den Scheitelpunkt kannst du mithilfe verschiedener Methoden bestimmen.

Scheitelpunkt an der Scheitelpunktform ablesen

Der einfachste Fall, um den Scheitelpunkt an der Funktionsgleichung abzulesen, ist gegeben, wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform vorliegt:

$$f(x) = a(x - d)^2 + e$$

Hier liegt der Scheitelpunkt direkt bei $(d\vert e)$.

Beispiel:
Bei der Funktion $f(x) = 2(x - 3)^2 + 4$ liegt der Scheitelpunkt im Punkt $(3\vert 4)$.

Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln

Ist die quadratische Funktion in der allgemeinen Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ gegeben, nutzt du die quadratische Ergänzung, um die Scheitelpunktform zu erhalten.

Beispiel:
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = x^2 + 4x - 1$.

$$ \begin{array}{lcl} f(x) &=& x^2 + 4x - 1 \\[6pt] &=& (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1 \\[6pt] &=& (x + 2)^2 - 5 \end{array} $$

Der Scheitelpunkt liegt also bei $(-2\vert -5)$.

Wenn du das Vorgehen detaillierter erklärt bekommen möchtest, schau dir die Umwandlung genau an!

Expertenwissen – Scheitelpunkt mit der Ableitung bestimmen

Wenn du bereits weißt, wie du Funktionen ableiten kannst, gibt es eine weitere Vorgehensweise, die du anwenden kannst, um den Scheitelpunkt zu bestimmen. Du musst die gegebene Funktion dafür zuerst ableiten und die Ableitung anschließend gleich Null setzen. So kannst du den $x$-Wert des Scheitelpunktes und anschließend auch den $y$-Wert bestimmen. Das Vorgehen entspricht also der Bestimmung von Extrempunkten.

Übungsaufgaben zum Scheitelpunkt

Gib den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = 2(x + 4)^2 - 3$ an.

Berechne den Scheitelpunkt der Funktion: $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

Ausblick – das lernst du nach Scheitelpunkt

Nachdem du den Scheitelpunkt sicher bestimmen kannst, kannst du dein Wissen weiter vertiefen, indem du dich mit Nullstellen quadratischer Funktionen beschäftigst. Es gibt übrigens auch einen Trick, mit dem der Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnet werden kann.

Zusammenfassung zum Thema Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.
Du kannst ihn direkt aus der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ablesen.
Hast du nur die allgemeine Form gegeben, kannst du sie mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umwandeln.