Die Ziege – Extremwertaufgabe mit quadratischer Funktion

Es gibt Klassiker unter den Matheaufgaben, die wie Märchen oder Fabeln von Generation zu Generation weitergegeben werden. So auch die „Extremwertaufgabe mit der Ziege“, mit der sich wahrscheinlich auch deine Enkel und Urenkel noch herumschlagen werden. Der Plot ist schnell erzählt: Eine Ziege soll auf einer Weide eingezäunt werden, wobei eine Seite schon von einer Mauer begrenzt ist. Für die anderen drei Seiten steht eine bestimmte Länge Zaun zur Verfügung, mit der ein rechteckiges Gehege aufgespannt werden soll. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, das Gehege zu bilden, zum Beispiel schmal und lang, oder breit und kurz. Jetzt soll aber genau die Möglichkeit gefunden werden, für die die Fläche „A“ des Geheges am größten wird – bei gleichbleibender Gesamtzaunlänge „G“. Es handelt sich um eine „Extremwertaufgabe“, wobei mit „extrem“ in diesem Fall „maximal groß“ gemeint ist. Aber warum Extremwert? Da die Gesamtlänge des Zaunes feststeht, in unserem Fall zum Beispiel „Einhundert Meter“, gibt es nur einen Wert, von dem die Form des Geheges abhängt: Die Breite „x“, die wir wählen, um das Gehege aufzuspannen. Denn daraus ergibt sich auch die Länge „L“ der anderen Seite: Sie ist „Einhundert minus zwei mal x“, wie du hier sehen kannst. Wir könnten natürlich auch die Länge als „x“ definieren und berechnen, wie sich die Breite daraus ergibt. So oder so, alles hängt von einem bestimmten Wert „x“ ab. Wir suchen den Extremwert, also den Wert für „x“, bei dem die Fläche des Geheges maximal wird. Da die Fläche „A“, die wir maximieren wollen, ein Rechteck ist, wird sie aus Länge „L“ mal Breite „x“ berechnet. Hier können wir den gerade aufgestellten Term für „L“ einsetzen und erhalten so eine Gleichung für die Fläche A, die nur von „x“ abhängt. Lass uns die noch ausmultiplizieren und ordnen! Für „x“ können wir nun jeden Wert zwischen Null und Fünfzig einsetzen – das ist sozusagen unser Definitionsbereich. Größer als Fünfzig Meter kann die Breite „x“ nicht werden, denn dann bleibt schon nichts mehr für die Länge des Geheges übrig. Die Fläche wäre in dem Fall allerdings gleich Null. Genauso übrigens, wenn wir „x gleich Null“ wählen. Für welches „x“ wird nun aber „A“ am größten? „A“ ist eine quadratische Funktion, das heißt der zugehörige Funktionsgraph muss eine Parabelform haben. Da der Koeffizient vor dem „x-Quadrat“ negativ ist, handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Die beiden Nullstellen der Parabel sind die beiden eben angesprochenen Fälle: „x gleich Null“ und „x gleich Fünfzig“. Da für diese die Fläche A gleich Null wird. Die Parabel muss also ungefähr SO aussehen! Es kann also nur einen möglichen Maximalwert geben – den Scheitelpunkt der Parabel! Hier ist der größte Funktionswert zu finden – und damit die maximale Fläche A. Nun drängt sich der Verdacht auf, dass dieser Scheitelpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen, also bei „x gleich Fünfundzwanzig“ liegen muss. Lass uns das mal überprüfen, indem wir den Funktionsterm der Parabel in die „Scheitelpunktform“ bringen. Dazu brauchen wir ein besonderes Werkzeug: die quadratische Ergänzung. Wir klammern zunächst „Minus-Zwei“ aus, und müssen nun den Term in der Klammer so erweitern, dass wir ihn zu einer binomischen Formel zusammenfassen können. Die zweite binomische Formel passt: Sie bedingt, dass der Koeffizient „Minus-Fünfzig“ gleich „Zwei mal Y“ ist. Also muss „Y gleich Minus-Fünfundzwanzig“ und das fehlende Glied „Y-Quadrat“ demnach „Sechshundertfünfundzwanzig“ sein. Damit erweitern wir also. So können wir diesen Term mit der zweiten binomischen Formel zu „x minus Fünfundzwanzig zum Quadrat“ zusammenfassen, und haben nach dem Ausmultiplizieren der äußeren Klammer die Scheitelpunktform erreicht. Der Scheitelpunkt mit den Koordinaten „Fünfundzwanzig; Eintausendzweihundertfünfzig“ ist schon unsere Lösung. „x gleich Fünfundzwanzig“ ist also tatsächlich die gesuchte Extremstelle, und der Funktionswert „Eintausendzweihundertfünfzig“ ist der gesuchte maximale Flächeninhalt A für dieses „x“. Für unsere Gehege heißt das, dass es mit den verfügbaren einhundert Metern Zaun, genau Fünfundzwanzig Meter breit, und Fünfzig Meter lang gemacht werden soll. Für die Ziege heißt das, dass sie Eintausendzweihundertfünfzig Quadratmeter Platz hat, um sich den Bauch mit Klee vollzuschlagen. Fassen wir nochmal zusammen: Bei einer Extremwertaufgabe soll eine bestimmte Größe, hier die Fläche A, optimiert werden. Die Fläche A wird maximal groß für ein bestimmtes „x“, den gesuchten Extremwert. Aus den Bedingungen und Angaben der Aufgabe ergibt sich hier eine quadratische Gleichung, die die Beziehung zwischen „A“ und „x“ beschreibt. Diese können wir mit Hilfe einer „quadratischen Ergänzung“ in die „Scheitelpunktform“ bringen, und so den Extremwert „x“ sowie die optimierte Größe, also die maximale Fläche, ermitteln. Aus den Angaben der Aufgabe ergeben sich außerdem die Grenzen des Definitionsbereiches. In der Natur finden sich allerdings auch jenseits solcher Grenzen oft verblüffende Lösungen.