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Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen

Scheitelpunkt bestimmen, quadratische Zielfunktion, Optimierungsaufgaben, Nebenbedingung

Was sind Extremwertaufgaben?

Wahrscheinlich hast du schon viele Extremwertaufgaben im Kopf gelöst, ohne viel darüber nachgedacht zu haben. Glaubst du nicht? Vielleicht hast du dir schon mal überlegt, welche und wie viele Dinge du für dein Taschengeld kaufen kannst. Tatsächlich ist das auch eine Art von Extremwertaufgabe. Denn vermutlich wolltest du möglichst viel für dein Geld haben. Und dein Restgeld minimieren, es sei denn, du gehörst zu der aussterbenden Rasse der Sparfüchse.

In der Mathematik sucht eine Extremwertaufgabe nach einem maximalen oder minimalen, also extremen Wert einer mathematischen Fragestellung. Die Fragestellung muss dafür erst einmal als mathematische Funktion formuliert werden. Diese kann dann von einer oder mehreren Variablen abhängen.

In der Schule begegnen dir normalerweise nur Funktionen, die von einer Variablen z.B. $x$ abhängen. Die Funktionsgleichung, in der $x$ vorkommt, bestimmt dann den zugehörigen Wert $y$. Dieser soll schließlich möglichst klein oder möglichst groß werden. Manchmal ist die Funktionsgleichung auch eine quadratische Funktion.

Was ist eine quadratische Funktion?

Quadratische Gleichungen kannst du sehr leicht erkennen. Sieh dir einfach den höchsten Exponenten, also die Hochzahl von $x$ an. Ist er genau $2$ und steht $x$ nirgendwo im Nenner? Du hast sie soeben entlarvt! Das Fahndungsbild der allgemeinen quadratischen Funktion sieht übrigens so aus:

$ f(x) = a\cdot x^{2} + b\cdot x + c $

Diese Darstellung wird Normalform genannt - mit $a,b,c \in \mathbb{R}$ und $a\neq 0$. Der Name der Funktion (hier $f$) ist dabei egal. Genauso, ob es den Anteil $b\cdot x$ oder $c$ gibt. Wichtig ist nur der Teil $x^{2}$.

Der Graph, also die Zeichnung einer solchen Funktion, wird Parabel genannt.

Parabeln.jpg

Kannst du erraten, wo die extremsten Werte der Parabeln sind? Ganz genau – jeweils im Scheitelpunkt. Wie du siehst, können Parabeln nach oben oder nach unten geöffnet sein. Die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts ist daher entweder der größte oder der kleinste Wert der Funktion. Aber auf jeden Fall ziemlich extrem. Das war ja einfach!

Beispiel einer Extremwertaufgabe mit quadratischer Funktion

Jetzt wird’s ernst. Du kennst jetzt die Theorie. Auf in die Praxis: Stell dir vor, deine Mutter hat einen $12\ \text{m}$ langen Zaun für euer neues Kaninchengehege gekauft. Du möchtest, dass die Kaninchen möglichst viel Auslauffläche $A$ im Garten haben sollen. Deshalb überlegst du dir, die Rückwand von der Garage deines Nachbarn zu nutzen. Weil er nett ist, hat er nichts dagegen! Auch deine Mutter findet die Idee super und meint, du solltest einfach ein rechteckiges Gehege mit dem Zaun und der Wand bauen. Die Länge $y$ und Breite $x$ des Rechtecks kann sie dir aber nicht sagen.

Kannst du die optimalen Maße des Auslaufs bestimmen? Folgende Bedingungen musst du dabei beachten:

$ 12\ \text{m} = x+x+y\\ A = x\cdot y $

Wenn du die Gleichungen ineinander einsetzt, erhältst du eine quadratische Funktion. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du dann den Scheitelpunkt bestimmen.

Extremwertaufgaben mit quadratischer Funktion - Anleitung

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