Matrizen

Matrizen einfach erklärt – Grundlagen

Ob Streaming-Dienste, Computeranimationen oder Wettervorhersagen: Überall, wo komplexe Daten verarbeitet werden, stecken Matrizen dahinter. Doch was genau ist eigentlich eine Matrix, und wie kannst du mit Matrizen rechnen?

In diesem Lerntext erfährst du, was Matrizen sind, welche Arten es gibt, und lernst wichtige Regeln zum Rechnen mit Matrizen kennen.

Was ist eine Matrix? – Definition und Aufbau

Matrizen sind zentrale Bausteine in der Mathematik, insbesondere in der linearen Algebra. Doch was genau verbirgt sich hinter dem Begriff?

Matrizen werden in Klammern dargestellt. Ein Beispiel für eine $2 \times 3$-Matrix:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$

In dieser Matrix hat der Eintrag $a_{2\,1}$ den Wert $3$. Er steht in der zweiten Zeile und ersten Spalte.

Addition und Subtraktion von Matrizen

Um Matrizen zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie die gleiche Dimension haben.

Die Addition erfolgt eintragsweise. Beispiel:

$$ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3 & 1 + 5 \\ 0 + 2 & 2 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} $$

Die Subtraktion funktioniert analog.

Multiplikation mit einem Skalar

Matrizen können mit Zahlen (Skalaren) multipliziert werden. Dabei wird jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert.

Beispiel:

$$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdoot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$

Beispielrechnungen

Matrixmultiplikation – Regeln und Voraussetzungen

Die Multiplikation zweier Matrizen ist komplexer. Nicht alle Matrizen können multipliziert werden – die Spaltenzahl der ersten Matrix muss mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

$$ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} }_{3\times 2} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} }_{2\times 3} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 7 & 9 & 17 \\ 12 & 4 & 20 \\ 11 & 7 & 21 \end{pmatrix} }_{3\times 3} $$

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, es gilt also $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Matrizen – Wichtige Spezialformen

Einige Matrizen besitzen spezielle Eigenschaften:

• Nullmatrix: Alle Einträge sind null.
• Einheitsmatrix: Alle Diagonaleinträge sind $1$, sonst null.
• Diagonal-Matrix: Alle Einträge außer der Diagonale sind null.
• Transponierte Matrix: Zeilen und Spalten einer Matrix werden vertauscht.

Beispiele:

Matrizen – Anwendungsfälle

Wie du schon gelesen hast, haben Matrizen viele verschiedene Anwendungsfälle. Im Folgenden lernst du zwei davon kennen, die in der Schule eine wichtige Rolle spielen können.

Übergangsmatrizen

Übergangsmatrizen sind Matrizen, die innerhalb eines Systems die Übergänge zwischen verschiedenen Status beschreiben. Sie kommen häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oder auch der Stochastik zur Anwendung und werden auch Prozessmatrizen oder stochastische Matrizen genannt. Eine Übergangsmatrix ist immer eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen $1$ betragen und deren Einträge zwischen $0$ und $1$ liegen.

Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen lösen

Matrizen sind auch ein sehr nützliches Werkzeug, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Entsprechende Matrizen werden erweiterte Koeffizientenmatrix genannt. Sie werden häufig verwendet um das Gauß-Verfahren anzuwenden.

Ausblick – das lernst du nach Matrizen

Nachdem du nun weißt, wie Matrizen aufgebaut sind und wie du mit ihnen rechnen kannst, warten spannende Anwendungen auf dich. Beispielsweise lernst du später, Matrizen zu invertieren oder Determinanten zu berechnen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrizen